初中数学全等三角形辅助线技巧

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1、例1:如图，A AB久等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD¥分/ ABC交AC于点 D, CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE 反 思路分析： 1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用 2）解题思路：要求证BD=2CE,可用加倍法，延长短边，又因为有 BD平 分/ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。 解答过程： 证明：延长 BA, CE交于点F,在 A BE桥口 A BEC中， ・ ・ / 1=/2, BE=BE , / BEF= / BEC=90° , ・ •・A BEF^ A BEC, EF=EC ,从而 CF=2C

2、E。 又/ 1+/F= /3+/ F=90 ° ,故/ 1=/3。 在 A ABD 和 A AC叶，•. / 1=/3, AB=AC , / BAD= / CAF=90 ° , ・ •.A AB*A ACF, .BD=CF ,「. BD=2CE。 解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应 用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系， 为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化 归的数学思想，它是解决问题的关键。 (2)若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构 造全等三角形，利用的思

3、维模式是全等变换中的“旋转”。 例2:如图，已知 A ABC^, AD是/ BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：A ABC 是等腰三角形。 思路分析： 1)题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。 2)解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等 条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了 AD又是BC边上的中线这一条件，而 且要求证AB=AC ,可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。 解答过程： 证明：延长 AD至ij E ,使DE=AD ,连接BE。 又因为AD是BC边上的中线，BD=DC 又/ BDE= /

4、CDA A BEg A CAD, 故 EB=AC , Z E= Z2, .「AD是/ BAC的平分线 .•./ 1=/2, 1=ZE, ・•.AB=EB ,从而AB=AC ,即A AB久等腰三角形。 解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，冉将 端点连结，便可得到全等三角形。 (3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用 的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性 质定理或逆定理。 例 3:已知，如图，AC 平分/ BAD ,CD=CB,AB>AD。求证：/B+/ADC=180° 。 思路分析：

5、 1)题意分析：本题考查角平分线定理的应用。 2)解题思路：因为AC是/ BAD的平分线，所以可过点C作/ BAD的两边 的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。 解答过程： 证明：作CEXAB于E, CFXAD于F。 . AC 平分 / BAD • .CE=CF 在 RtA CBE 和 RtA CDF 中, . CE=CF, CB=CD, ,RtACBE^RtACDF, . ./B=/CDF, ・•/CDF+/ADC=180° , . ・/B+/ADC=180° 。 解题后的思考： (4)过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模

6、式 是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 例4:如图，A ABC, AB=AC , E是AB上一点，F是AC延长线上一点, 连EF交BC于D,若EB=CF0 求证：DE=DF 。 广 思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。 2）解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形 A DEBW A DFM可能全等，又知EB=CF , 所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换： 过E作EG//CF ,构造中心对称型全等三 角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。 解答过程: 证明：过E作EG//AC交BC于G, 贝叱 EGB=

7、 / ACB, 又 AB=AC,「./B=/ACB, . ./B=/EGB, •./EGD= /DCF, • .EB=EG=CF , ・./EDB=/CDF, a A DG/ A DCF, • .DE=DF。 解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法: 例 5: z\ABC 中，/ BAC=60 ,/C=40° , AP 平分/ BAC 交 BC 于 P, BQ 平分/ABC 交 AC 于 Q,求证：AB+BP=BQ+AQ 。 可编辑范本 思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。 2）解题思路：本题要证明

8、的是AB+BP=BQ+AQ 。形势较为复杂，我们可以 通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过 O 作BC的平行线。得^ ADO^AAQOo得到OD=OQ , AD=AQ ,只要再证出 BD=OD就可以了。 解答过程： 图⑴ 证明：如图（1），过O作OD // BC交AB于D, ・ ./ADO= /ABC=180° —60° —40° =80 又.•/AQO=/C+/QBC=80° , ・ ./ADO= /AQO, 又.• / DAO= / QAO , OA=AO , .•.△ADO^AAQO , ・ .OD=OQ , AD=AQ , 又

9、: OD // BP, ・ ./PBO=/DOB, 又.•/ PBO=/DBO , ・ ./DBO= / DOB, • .BD=OD , 又. / BPA=/C+/PAC=70° , /BOP=/OBA+/BAO=70° , • ./BOP=/BPO, • .BP=OB , • . AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ 。 解题后的思考： (1)本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD,构造全等三角形，即“截 长法”。 (2)本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下： ①如图(2),过O作OD // BC交AC于D,则△ADO^^ABO从而得以

10、解决。 A Q ②如图（3）,过。作DEZ/BC交耻于D,交AC于E. !3JAADO^AAQOs △ ABOf △ AEO从而得以解决口 ③如图（4;,过P作PD/7BQ交AB的延长线于D,刚△研口的也屈匚从而 得以解决. ④如图（5）,过P作PD// BQ交AC于D,则△ ABP04ADP从而得以解 决。 小结：通过一题的多种辅助线添加方法， 体会添加辅助线的目的在于构造全 等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构 造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行 线还是倍长中线，实质都是对三角

11、形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构 造了全等三角形 (5)截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段 相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关 性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 例 6:如图甲，AD // BC,点 E 在线段 AB 上，/ ADE = / CDE , / DCE= / ECB 求证：CD=AD + BC。 图甲 思路分析： 1)题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。 2)解题思路：结论是CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”， 即在

12、CD上截取CF=CB,只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等 的问题，从而达到简化问题的目的。 解答过程： 证明：在CD上截取CF=BC,如图乙 B图乙 在△严GE与AEG耳机 (CF = CB CE = CE .•.△FCE^ABCE (SAS), .•./2=/1。 又「AD // BC, ・ ./ADC + /BCD=180° , ・ ./DCE+/CDE=90° , . •/2+/3=90° , / 1 + /4=90° , .•./3=/4。 在4FDE与AADE中， =乙WE DE = DE N3=N4 .•.△FDE^AADE (ASA

13、), ・ .DF = DA, . CD=DF+CF, ・ .CD=AD + BC。 试题答案 1、分析：因为平角等于1800 ,因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转 化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形， 可通过“截长法或补短法”来实现。 证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DFLBC于点F,如图1-2 ;比平分4FG ，。年加 在H也4DS与用心, 口芭二 DF \ad^cd ・ •• RtAADE 公 RtACDF(HL), ・ ./DAE = /DCF。 又/ BAD + /DAE=180° , ・ ./BA

14、D + /DCF=180° , 即/ BAD + /BCD=180° 2、分析：与1相类似，证两个角的和是180° ,可把它们移到一起，让它们成 为邻补角，即证明/ BCP=/EAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构 证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图2-2 ,・,/1=22 且皿LB& ,二咫=FD, 在耳△万尸耳与用△势N中， \PS = PD = BF ，凡A HP必克区EF以XL）, ：.EE;血 二月枭EDWC-EI共呢 在身也/户后与舟△ CP启中, 'PE = FD ，£PEA = ZPDC AS=DC 「• RtA

15、APE0 RtA CPD(SAS) ・ ./PAE=/PCD 又. / BAP+/PAE=180° 。 ・ ./BAP+/BCP=180 AC 3、分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长 至E使CE=CD ,或在AB上截取AF=ACo 证明：方法一（补短法） 延长 AC 到 E,使 DC=CE, WJ/CDE = /CED,如图 3-2 '/ 4cB="S /. N方工/区， 在△工功与△儿ED中, 21 = Z2 e £B = £岂 AD = AD △工即(A45), 又A /3 C斗 CE=A C!+DC, .\AB=AC^D

16、C. 方法二(截长法) 在4B_L截取山』4C,如图二4 图3-3 在△儿FL与AA8中. =* 々 二 02 AD=AD h .•.△AFD^AACD (SAS), • .DF=DC , / AFD= / ACD 又. / ACB= 2/ B, • ./ FDB= / B, • .FD=FB。 ,.AB=AF+FB=AC+FD , • .AB=AC+CD 。 4、证明：（方法一） 将DE两边延长分别交AB、AC于M、N , 在AAMN 中，AM+AN>MD+DE+NE ; ① 在4BDM 中，MB+MD>BD ; ② 在4CEN 中，CN+NE>

17、CE ; ③ 由①+②+③得： AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE •.AB+AC>BD+DE+EC （方法二：图4-2） 延长BD交AC于F,延长CE交BF于G,在AABF、4GFC和4GDE中 有: AB+AF>BD+DG+GF GF+FC>GE+CE ② DG+GE>DE ③ 由①+②+③得： AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE •.AB+AC>BD+DE+EC 。 5、分析：要证 AB+AC>2AD ,由图想到：AB+BD>AD , AC+CD>AD ,所以 有AB+AC+BD+CD>A

18、D+AD=2AD ,左边比要证结论多 BD+CD ,故不能直接 证出此题，而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线，把所要证的线段转移到同 一个三角形中去 图5-2 证明！延长AD至E,他口E=AD,建搏皿，CE ,JAD为AABC的中线（已知） /,BD=CD （中线定义】 在△启CD和△££口中 3 = 8 （已证） 1 =2及府顶角相等） AD = ED （辅助线作法） .•.△ACD^AEBD (SAS) ・•. BE=CA (全等三角形对应边相等) vftAABE中有：AB+BE>AE （三角形两边之和大于第三边） • .AB+AC>2AD 。 6

19、、分析：欲证AC=BF,只需证AC、BF所在两个三角形全等，显然图中没有 含有AC、BF的两个全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有 AC、BF的全 等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这 两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条 线段，所对的角相等即可。 思路一、以三角形ADC为基础三角形，转移线段 AC,使AC、BF在三角 形BFH中 方法一：延长 AD至ij H,使得DH=AD ,连结BH ,证明4ADC和4HDB 全等，得AC=BH。 通过证明/ H=/BFH,得到BF=BH。 证明；延长AD到H使得DH=AD

20、,连接BH 1 D为BC中点 :、BD-DC 在△也仃和4口：坨中 fAD = DH ^ZADC=^BDH BD=CD 「• AADC^AHDB(SAS) AC=BH / H= / HAC v EA=EF ZHAE= /AFE 又: /BFH= / AFE • .BH=BF BF=AC 方法二：过B点作BH平行AC,与AD的延长线相交于点H ,证明△ ADC 和4HDB全等即可。 小结： 对于含有中点的问题， 通过 “倍长中线” 可以得到两个全等三角形。 而过一点作已知直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全等三 角形的作用。 思路二、以三

21、角形BFD为基础三角形。转移线段BF,使AC、BF在两个全 等三角形中 方法三：延长FD至H,使得DH=FD ,连接HC。证明4CDH和4BDF全 等即可。 A 证明：延长FD至H使得DH=FD,连接HC. ■/ D为BC中点 BD=CD 在ZlEFD和△CHD中 H口二 HD < /BDA = £8H ED= CD * ・•. ABFD^ACHD(SAS) 「• /H=/BFH v AE=FE 丁. /HAC=/AFE 又: /AFE=/BFH 「• /H=/HAC CH=CA BF=AC 方法四：过C点作CH平行BF,与AD的延长线相交于点H,证明△ CDH 和4BDF全等即可。