高一数学弧度制人教版知识精讲

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1、 高一数学弧度制人教版 【同步教育信息 】 一 . 本周教学内容：弧度制 二 . 重点、难点： 本节重点是角度制与弧度制的换算。 【典型例题】 [ 例 1] 已知两个角的差是 1，和是 1 弧度，求这两个角的度数和弧度数。 1 解： 设两个角分别为 、 ，则 1rad 180 由 1rad 180 ，故 2 又由 1

2、 rad ，故 180 180 2 1 8 0r a d， 180 rad 3 6 0 360 [ 例 2] 试问 9rad 和 10rad 的角的终边分别在第几条象限？ 解： 1rad (180 ) 57 18 ，则 57 1rad 58 ， 513 9rad 522

3、即 360 153 9rad 360 162 ，故 9rad 的角的终边在第二象限 又由 570 10rad 580 即 360 210 10rad 360 220 故 10 弧度的角的终边在第三象限 [ 例 3] 一个半径为 R 的扇形，它的周长为 4R ，求这个扇形的弧所对的弦长以其所在弓形的 面积。 解： 设弧长为 L ，则 l 2R 4R ， l 2R 又设弧长所对

4、圆心角为 ，则由 l 2，故 AB 2R sin1 ，故 R 又 S扇OAB l R R 2 ， S OAB 1 OA 2 sin 1 R 2 sin 2 2 1 2 2 故 S弓 S扇 OAB S OAB R 2 R2 sin 2 2 A C B

5、 R O [ 例 4] 扇形的面积一定，问它的中心角 取何值时，扇形的周长 C 最小，这个最小值是多 少？ 解： 设扇形面积为 S， 则 S 1 Rl 1 R2 2S 2 2 2S 2S R

6、 2R R 2R 故 R 2 ，则 C 2R l 2R R 2 R 2 2R 2S 4 S R 2S S 时，周长 C 取最小值，此时 2S 2rad 当且仅当 2R ，即 R R2 R 所以，当扇形中心角为

7、 2rad 时，扇形周长 C 最小，最小值为 4 S [ 例 5] 已知 (0 , ) ，且 7 的终边与 的终边关于 y 轴对称，求 。 2 ) ， k 8 2k 解： 由已知，则 7 2k ( k 又由 0 ，即 0 k 4 8 2 4 8 2 1 k 3 ，故 k 0 或

8、k 1 即 或 3 2 ，又由 k 8 2 8 综上， 或 3 8 8 [ 例 6] 若 是第三象限，求 的终边所在的象限，并确定 与 终边之间的关系。 解： 由 是第三象限角，所以 2k 0 ， 0 ( , ) ， k 3

9、 2 故 0 0 2 则 2( k) 0 2 2 ( ) 终边关于 y 轴对称 故 为第四象限角， 由 ，故 与 [ 例 7] 已知 A | 2k , k ， B | (4k 1) , k ，求 A 与 B 之 间有何关系？ 解： 若 B ，则 (

10、 4k 1) 或 (4k 1) ， k Z 当 (4k 1) 时，由 2 (2k ) ，则 A 当 (4k 1) 时，由 2( 2k 1) ，则 A 因此， B A ，若 A ，则 2k ， k Z 当 k 2n ， n Z 时， 2 (2n) ，即 4n ， n Z ，故B 当 k 2n 1 ， n Z 时， 2( 2n 1) ，即 4n

11、 ， n Z 故 B ，因此， A B ，综上所述， A=B [ 例 8] 已知 A | 2k , k ， B | k , k ，求 A 与 B 3 3 6 2 有何关系？ 解： 若 A ，则 2k ， k 3 6

12、 即 2k 1 或 2k 2 故 B 因此， A B 3 3 2 2 若 B ，则 k ， k 3 2 2n 2 2n 当 k 2n 2， n 时， 3

13、 2 3 6 当 k 2n 1， n 时， 2n 1 2n 3 2 3 6 A 因此， B A 故有， 综上所述， A=B 或解：把 k 分三种情形， k 3n 或 k 3n 1 ，或 k 3n 2 ，则 A | 2k 6 , k | 2n 6 ,

14、n 3 | 2n , n | 2n 5 , n 6 2 | 2n 7 , n | 3 , k 6 2n 2 n 对 B，把 k 分六种情形， k 6n 2 或 k 6n 1 ，或 k 6n ，或 k 6n

15、 3 ， ，则有： B=A [ 例 9] 已知集合 A | 3k , k ， B | 5k , k, 且 k 10 ，求 4 6 与集合 A B 中角终边相同的角的集合。 解： 设 A B ，则 A 且 B ，即存在 k1 ， k2 且 k2 10 使得： 3k1 5k2 18k1 20k 2 k1 10 k 2

16、 4 6 9 由 k1 10 ，又 k2 且 k2 10 ，则 k2 0 或 k2 9 或 k 2 9 ，则 k2 9 k1 0 或 k1 10 k1 10 故 0 或 15 15 即 0 k 2 或 9 或 2 k 2 9 k2 2 即 A B 0, 15

17、 , 15 ，所以，与 A B 终边相同的角的集合为 2 2 | 2k , k | 2k 15 , k 2 | 2k 15 , k 2 [ 例 10] 单位圆周上一点 A（ 1，0）依逆时针方

18、向旋转， 已知点 A 在 1 分针转过 [ (0 , )] ， 经过 2 分钟到达第三象限，第 14 分钟回到原来的位置，求 。 解： 依题意 2k 2 2k 3 k k 3 ， k 2 4 3 2 由 0 ，则 2 ，又由 14 2n ， n N * 4 故 n 3 即 7 21 则 n 4 或 n

19、5 7 4 n 4 2 2 因此， 4 或 5 7 7 【模拟试题】 一. 选择题： 1. 钟表分针长 5cm ，经过 20 分钟，分针端点转过的弧长是（ ） A. 5 cm B. 10cm C. 10 cm D. 10 cm 3

20、 3 3 2. 设 M k , k ， N | ，则集合 M N =（ ） | 2 5 A. , 3 5 10 C. , 3 , 4 , 7 5 10 5 10  B. 7 , 3 , 4 10 5 5 D. 7 , , 3 , 4 10 5 10 5 3. 设扇形周长为定值，当扇形面积取最大值时，该扇形中心角为（ ） rad 。 1 1 C. 2 D. 4

21、 A. B. 4 2 二. 填空题： 1. 设角 的终边与 2 终边关于 y 轴对称且 ( 2 , 2 ) ，则 。 3 2. 已知 A | k k , k ，B | 1 2 ，则 A B 。 4 3. 已知弓形弦长 3cm，它所对圆周角为 ，则

22、此弓形面积为 。 3 三. 解答题： 1. 已知 、 满足 4 2 ，求 2 的范围。 3 ， 3 3 3 1 lg 2 2. ABC 中， A ， B ， C 分别对应三边 a 、b 、c ，且 lg a lg c lg sin B ， 2 B (0 , ) ，试判断 ABC 的形状。

23、 2 【试题答案】 一 . 1. D 2. D 3. C 二 . 1. 或 5 3 3 2. | 3 3 | 0 4 4 3 3 3. 4 三. 1.

24、 解：设 m( ) n( ) 2 ，则 (m n) (m n) 2 m n 2 m 1 2 1 2 3 由 ) ) m n 1 3 6 ( ， ( n 2 3 2 2 2 又由 2 1 ( ) 3 ( ) ，故 5 2 6

25、 2 2 6 2. 解：由 lg a lg c 1 lg 2 ， lg a lg 2 2 c 2 即 a 2 ，又由 lg sin B 1 lg 2即 sin B 2 ，又 B (0 , ) c 2 2 2 2 故 B 4 利用余弦定理有： b2 a 2 c2 2ac cos B a 2 ( 2a) 2 2a 2a 2 a 2 2 即 b a ，故 A B ， C 4 2 因此， ABC 是等腰直角三角形。