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1、专题5.1 平面向量的概念及其线性运算
【考情分析】
1.了解向量的实际背景；
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；
3.理解向量的几何表示；
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
【重点知识梳理】
知识点一 向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量
记作0，其方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单
2、位向量为
平行向量
方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
知识点二 向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与
3、向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
知识点三 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.,向量概念的4点注意
(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|0.
(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同．
(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．
比如：命题“若a∥b
4、，b∥c，则a∥c”是假命题，因为当b为零向量时，a，c可为任意向量，两者不一定平行．
(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．
【特别提醒】向量线性运算的3点提醒
(1)两个向量的和仍然是一个向量．
(2)利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点．
(3)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用．
【拓展提升】共线向量定理的深解读
定理中限定了a≠0，这是因为如果a＝0，则λa＝0，
(1)当b≠0时，定理中的λ不存在；
(2)当b＝0时，定理中的λ不唯一．
因此限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．
5、
知识点四 必备结论
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
2.在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：
(1) ＋＋＝0；
(2) ＝(＋)；
(3) ＝(＋)＝(＋)．
3．若＝λ＋μ (λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
4．对于任意两个向量a，b，都有：①||a|－|b||≤|ab|≤|a|＋|b|；②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2
6、＋|b|2)．当a，b不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．
【典型题分析】
高频考点一 平面向量的有关概念
【例1】（2020江苏启东中学模拟）给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】①错误．两向
7、量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．
【归纳总结】向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．
【变式探究】（2020湖南长沙二中模拟）对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是
8、“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.
若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．
高频考点二 向量的线性运算
【例2】 (2018全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A.－ B.－
C.＋ D．＋
【答案】A
【解析】作出示意图如图所示．＝＋＝＋＝(＋)＋(－)＝－.
【方法技巧】向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般
9、共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
【变式探究】[2017全国卷Ⅱ]设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|＞|b|
【答案】A
【解析】解法一：∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2ab＝a2＋b2－2ab.
∴ab＝0.∴a⊥b.
故选A.
解法二：利用向量加法的平行四边形法则．
在▱ABCD中，设＝a，＝
10、b，
由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
故选A.
高频考点三 根据向量线性运算求参数
【例3】(2020山东枣庄模拟)设D为△ABC所在平面内一点，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，则λ＝( )
A．2 B．3 C．－2 D．－3
【答案】D
【解析】由＝λ可知－＝λ(－)，
∴＝＋，
又＝－＋，
∴
解得λ＝－3，故选D.
【方法技巧】解决此类问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.
【变式探究】(2020河北廊坊模拟) 在△ABC中，点M
11、，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝ ；y＝ .
【答案】 －
【解析】＝＋＝＋
＝＋(－)
＝－
＝x＋y，
∴x＝，y＝－。
高频考点四 共线向量定理的应用
【例4】（2020河南商丘模拟）已知O为△ABC内一点，且＝(＋)，＝t，若B，O，D三点共线，则t＝( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设E是BC边的中点，则(＋)＝，由题意得＝，所以＝＝(＋)＝＋，又因为B，O，D三点共线，所以＋＝1，解得t＝，故选B.
【方法技巧】利用共线向量定理解题的方法
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共
12、线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔，共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
【变式探究】(2020广东惠州质检) 已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a与向量b共线，则( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
【答案】D
【解析】因为向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，又因为向量a和b共线，存在实数k，使得a＝kb，所以e1＋λe2＝2ke1，所以λe2＝(2k－1)e1，所以e1∥e2或λ＝0。
2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题5-1 平面向量的概念及其线性运算
