讲授通解通法提高教学效率

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1、讲授通解通法，提高教学效率 摘要】在高中数学教学过程中，教师要尽可能地向学生讲授“通解通法〞.让学生不仅学会一道题目，而是一类题目.对教学中，课堂上讲的每一道题目，都要给予认真全面地思考，才能真正做到“授业解惑〞，真正实现高效教学，建设一个和谐、完美的课堂. 【关键词】通解通法;函数;不等式;单调性等 众所周知，在教学过程中，教师应该掌握并向学生讲授一定的解题技巧.但如何实现真正的高效教学，却值得我们一线教师更多思考.笔者认为需要向学生传授必要且适宜的“通解通法〞.现在的课外市场充满着各类质量参差不齐的教学参考书，提供的某些问题的解决方法，貌似是“通解通法〞，实那么不然.作为一线教师，

2、我们需要认真思考，仔细钻研，引导学生，并给出学生易于接受的，且能够举一反三的“通解通法〞.以下笔者通过几个例题来和大家一起探讨. 例1定义在R上的函数y=f〔x〕，满足当x>0时，f〔x〕>1，且对任意的x，y∈R，都有f〔x+y〕=f〔x〕f〔y〕，求证：对任意的x∈R，都有f〔x〕>0. 分析此题是人教版必修一函数章节中常见的一类题型，以下提供两种方法供读者体会. 解法一对任意的x∈R，都有 f〔x〕=fx2+x2=fx2fx2=f2x2≥0. 假设存在x0∈R，使f〔x0〕=0， 那么对任意的x∈R，都有 f〔x〕=f〔x-x0+x0〕=f〔x-x0〕f〔x0〕=0. 这

3、与条件“当x>0时，f〔x〕>1〞矛盾，所以假设不成立， 所以对任意的x∈R，都有f〔x〕=f2x2>0. 解法二在f〔x+y〕=f〔x〕f〔y〕中，令y=0，有 f〔x〕=f〔x〕f〔0〕. ∵x>0时，f〔x〕>1，∴f〔0〕=1. 设x0，f〔-x〕>1，那么 f〔0〕=f〔x+〔-x〕〕=f〔x〕f〔-x〕， ∴f〔x〕=f〔0〕f〔-x〕=1f〔-x〕>0. 综上所述，对任意的x∈R，都有f〔x〕>0. 比拟，解法二更为通用，利用x>0时，f〔x〕>1，再求证x=0，x>0时，f〔x〕>0也满足，也符合我们在类似题目中常和学生提到的“求什么，设什么〞的解题思路.

4、例2在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边的边长分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，求∠B的取值范围. 分析此题是高三复习课比拟常见的一道题目，它考查了等差数列、三角函数、解不等式等核心知识点，是一道区分度很高的题目.一般的解法是： 因为a，b，c成等差数列，所以b=a+c2， 所以cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac =34a2+c22ac-14， 根据根本不等式，a2+c2≥2ac，所以cosB≥34-14=12，又∠B∈〔0，π〕，且函数y=cosx在x∈〔0，π〕上是减函数，所以∠B∈0，π3. 评注上述解法很巧妙地利用了根本不等式.很多人认为

5、这就是解决本类题目的“通解通法〞，殊不知此法并不严谨.原因在于此法只考虑了cosB的下限，上限没有确定.也就是说，根据题目的条件，cosB的上限是否一定是1呢？当然，我们可以从cosB=34a2+c22ac-14出发，cosB=34a2+c22ac-14=38ac+ca-14，如果根据条件，得出ac的取值范围，再利用函数的单调性，cosB的范围就确定了，问题就迎刃而解了. 解析b=a+c2，不妨设a≤b≤c. 因为a，b，c是△ABC的三边长，所以a+b>c， 故a+a+c2>c，整理得13cosB=34a2+c22ac-14=38ac+ca-14. 令t=ac，則t∈13，1， 所

6、以，y=cosB=38t+1t-14， 当t∈13，1时，y′=381-1t2=38t2-1t2≤0， 所以y=38t+1t-14在t∈13，1上是减函数， 所以cosB∈12，1，所以∠B∈0，π3. 评注通过推导，我们发现，cosB的上限确实是1.有些人会认为，这样的考虑根本没有必要.实际上，我们看了以下的变式，就知道，如此考虑是非常有必要的. 变式1在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边边长分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，求∠B的取值范围. 分析本变式与上题不同的地方是多了“锐角〞两个字.要保证△ABC是锐角三角形，只需要△ABC的三个角都是锐角，也就是三个角

7、中最大的角是锐角即可.虽然还是考虑利用余弦定理求出cosB的范围，但是不能单纯地依赖根本不等式了. 解析因为a，b，c成等差数列，所以b=a+c2，不妨设a≤b≤c.因为a，b，c是锐角三角形ABC的三边长，所以，a+b>c，1>cosC>0.而cosC=a2+b2-c22ab， 所以a+a+c2>c，a2+b2-c2>0，a2+b2-c235， 又a≤c，所以1≥ac>35， cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac =34a2+c22ac-14=38ac+ca-14， 令t=ac，那么t∈35，1， 所以y=cosB=38t+1t-14， 当t∈35，

8、1时，y′=381-1t2=38t2-1t2≤0， 所以y=38t+1t-14在t∈35，1上是减函数， 所以cosB∈12，35，所以，∠B∈arccos35，π3. 评注此题如果不考虑cosB的上限，直接用根本不等式，那么此题就会出错.也就是说，原来利用根本不等式的方法对变式1已经不适合了.利用函数单调性的解法才是真正的“通解通法〞. 变式2在钝角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边的边长分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，求∠B的取值范围. 答案∠B∈0，arccos35.过程留给读者. 变式3在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边的边长分别是a，b，c，且a，

9、b，c成等比数列，求∠B的取值范围. 解析因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，不妨设a≤b≤c.因为a，b，c是锐角三角形ABC的三边长， 所以a+b>c，1>cosC>0.而cosC=a2+b2-c22ab， 所以a+ac>c，a2+b2-c2>0，a2+b2-c25-12， 又a≤c，所以1≥ac>5-12， cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac=12a2+c2ac-12=12ac+ca-12， 令t=ac，那么t∈5-12，1， 所以y=cosB=12t+1t-12， 当t∈35，1时，y′=121-1t2=12t2-1t2≤0， 所以y=38

10、t+1t-14在t∈5-12，1上是减函数，所以cosB∈12，5-12，所以∠B∈arccos5-12，π3. 例3设f〔x〕=1+ax1-ax〔a>0且a≠1〕，当0分析此题是2021年高考理科四川卷22题第〔3〕问.它考查了函数、不等式等根底知识，是一道区分度很高的题目.参考书或者网络上给出的解法是： 设a=11+p，那么p≥1，1当n=1时，|f〔1〕-1|=2p≤2当n≥2时， 设k≥2k∈N*时，那么f〔k〕=〔1+p〕k+1〔1+p〕k-1=1+2〔1+p〕k-1=1+2C1kp+C2kp2+…+Ckkpk， 所以1从而n-1所以n综上所述，总有∑nk=1f〔k〕-n评注

11、这种构造a=11+p，然后利用二项式定理展开，从而放缩的证明方法很巧妙.这种技巧性非常强的证法很难想到，当然不是通解通法.其实，我们可以如此思考这道问题，从而给出适合此题的、更为通用的解法： f〔k〕=1+ak1-ak=1+2ak1-ak，k∈N* 0|f〔1〕-1|=2a1-a=21a-1≤2112-1=2当n=2时，|f〔1〕+f〔2〕-2|=2a1-a+2a21-a2=21a-1+21a2-1≤2112-1+21122-1=83于是，我们会猜想∑nk=1f〔k〕-n事实上，∑nk=1f〔k〕-n=∑nk=12ak1-ak，而g〔a〕=2ak1-ak在a∈0，12上是增函数，故g〔a〕

12、∈0，22k-1，从而∑nk=1f〔k〕-n=∑nk=12ak1-ak=∑nk=12ak1-ak≤∑nk=122k-1，关于∑nk=122k-1解析∑nk=122k-1=2∑nk=112k-1 =2∑nk=12k+1-1〔2k-1〕〔2k+1-1〕=41-122-1+122-1-123-1+…+12n-1-12n+1-1 =4〔1-12n+1-1〕g〔a〕=2ak1-ak在a∈0，12上是增函数， 故g〔a〕∈0，22k-1， 从而∑nk=1f〔k〕-n=∑nk=12ak1-ak=∑nk=12ak1-ak≤∑nk=122k-1评注如此的分析和解答，才是此题的常规解答方法，才是适合此题的

13、“通解通法〞. 方法方法，利用的函数单调性，从而精准地确定cosB的取值范围，进而确定∠B的取值范围，这才是本类题目的“通解通法〞.对例3来说，参考书或者网络上给出的解法具有太强的技巧性，而本文提供的思路和方法是学生易于接受的，也是考生能够“想得到，做得出〞的.诚然，我们也需明白，没有适合所有题型的通解通法，因为题目条件千變万化，但我们对教学中、课堂上讲的每一道题目，只有给予认真全面地思考，才能真正做到“授业解惑〞，才能实现真正的高效教学.建设一个和谐，完美，高效的课堂，不正是每一名优秀教师所期待的嘛！ 【参考文献】 【1】丁聪颖.一道函数高考题的别解、巧解与通解[J].福建中学数学，2021〔2〕：45-47. 【2】李建潮.函数问题的通法通解[J].中学生数学：高中版，2021〔7〕：26. 【3】孙娜.高中数学教学中“通解通法〞能力的培养[J].高中数理化，2021〔2〕：5.