河南省郑州市高三第二次质量预测 理科数学试题及答案

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1、 2015年高中毕业年级第二次质量预测 理科数学 参考答案 一、选择题 BCDCB \ DDCAD \ CA 二、填空题 13.； 14. ；15. ； 16. (2) (3) (4). 三、解答题 17.解：(Ⅰ)设等差数列公差为，由题意知，因为成等比数列，所以， ，即 所以 ……… 4分 所以. ……… 6分 A B C O A1 B1 C1 （Ⅱ）， ……… 8分 所以. ……… 12分 18. （1）证明：取中点，连接， 因为平面平面，， 所以平面 所以. 又， 所以平面， 所以

2、 .……… 4分 在菱形中，.所以平面， A B C O A1 B1 C1 所以.　　 ……… 6分 （2）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设是面的一个法向量，则， 即取可得……… 10分 又,所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值 =. ……… 12分 19.解：（1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A,则……… 3分 （2）设销售A商品获得的利润为（单位：元）, 依题意, 视频率为概率，为追求更多的利润， 则商店每天购进

3、的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件. 当购进A商品4件时， 当购进A商品5件时， 当购进A商品6件时， = ……… 9分 由题意，解得，又知，所以x的取值范围为， … 12分 20.解:（1）因为椭圆,由题意得, ，， 所以解得所以椭圆的方程为 …… 4分 （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,因为，所以有, 设，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为，解方程组 得,即, 则△=,即 ……… 6分 要使,需,即, 所以,所以又,所以, 所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径

4、为,,,所求的圆为, ……… 10分 此时圆的切线都满足或, 而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足, 综上, 存在圆心在原点的圆满足条件. ……… 12分 21.解：（1）由已知得函数的定义域为 = 当时，在定义域内恒成立，的单调增区间为， 当时，由得 当时，；当时， 的单调增区间为，减区间为 ……… 5分 （2）由（1）知当时，的单调增区间为，减区间为. 所以所以恒成立， 当时取等号. 令=，则 ……… 7分 当时，；当时， 从而在上单调递增，在上单调递减 所以， ……… 10分 所以，存在使得不等式成立 只需 即：

5、…… 12分 22．（10分）选修4－1：几何证明选讲 解：（1）证明：连结，由题意知为直角三角形. 因为，，∽， 所以，即. 又， 所以. ……… 5分 （2）因为是圆的切线，所以， 又，所以， 因为，又，所以∽. 所以，得 ……… 10分 23．（10分）选修4－4：坐标系与参数方程 解（1）由 得， 所以曲线可化为，， 由得， 所以，所以曲线可化为. ……… 5分 （2）若曲线，有公共点，则当直线过点时满足要求，此时，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点， 联立，得， ，解得，综上可求得的取值范围是. ……… 10分 24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解：（I）不等式，即， 当时，即 解得 当时，即 解得 当时，即无解， 综上所述 ……… 5分 （Ⅱ）， 令 时，，要使不等式恒成立， 只需即. ……… 10分 - 11 -