求极限的常用方法

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1、上页下页结束返回首页2021/6/16 1 x 一、时，型 （ 方 法 ： 用 最 大 项 除 分 子 分 母 ）35(2 3) ( 2) lim (2 1)x x xx 例3 51 2(2 ) (1 ) =lim 1(2 )x x xx 1 =8解：分子、分母除以x5原式2 24 1 1lim .sinx x x xx x 例2解 ： 分 子 、 分 母 除 以 -x， 得原式2 21 1 14 1lim sin1x x x xxx 1 =2 上页下页结束返回首页2021/6/16 2 二 、 利 用 无 穷 小 的 性 质例 3 lnsin)1ln(sinlim xxx 21 1 1lim

2、2sin ln(1 )cos ln( )2 20.x x xx 注 ： 有 界 量 无 穷 小 =无 穷 小解 ： 原 式 nn nnn 3 !sinlim例 4解 ： 原 式 3lim sin !n n nn n =0 上页下页结束返回首页2021/6/16 3 三 、 通 过 代 数 变 形 求 极 限22 20lim 1 1x xx x 例 5解 ： 原 式 2 2 2 20 ( 1 1 )lim 2x x x xx 1注 ： 如 果 出 现 根 式 差 ， 先 通 过有 理 化 化 简 ， 再 求 极 限 例 6 sin0lim sinx xx e ex x sin sin0 ( 1)

3、lim sinx x xx e ex x sin0 ( sin )lim 1sinxx e x xx x 解 ： 原 式注 ： 如 果 出 现 指 数 差 ， 先 提 出一 个 因 子 ， 再 寻 求 求 极 限 的方 法 上页下页结束返回首页2021/6/16 4 四 、 利 用 两 个 重 要 极 限 求 极 限例 7 2sin0lim(1 2 ) xx x 解 ： 原 式 1 42 sin0lim(1 2 ) xx xx x 4e注 ： 两 个 重 要 极 限 0 sin(1) lim 1x xx 1(2) lim(1 )xx ex 30 tan sinlim sinx x xx 例 8

4、 30 sin sincoslim sinx x xx x 原式 20 2 22sin 2lim4sin cos2 2x xx x1.2 20 1 coslimsin cosx xx x 上页下页结束返回首页2021/6/16 5 五 、 利 用 无 穷 小 量 等 价 代 换 求 极 限220 1 1lim sin 2x x x 例 9解 ： 原 式 220 1( )2lim (2 )x xx 18 30 tan sinlim sinx x xx 例 10 30 tan (1 cos )limx x xx 230 1 12lim 2x x xx 20 3 1lim1 cosxx x 例 11

5、解 ： 原 式 20 2ln3lim 2ln312x x x 注 ： 常 用 等 价 无 穷 小 量sin x x tan x xln(1 )x x 21 cos 2xx1 lnxa x a 1 1n xx n 上页下页结束返回首页2021/6/16 6 六 、 利 用 罗 比 达 法 则 求 极 限例 12 20 tanlim .tanx x xx x 30 tanlimx x xx 2 20 sec 1lim 3x xx 220 tan 1lim 3 3x xx 解 ： 原 式 例 13 1 1lim( ).ln 1x xx x 注 ： 型 不 定 式 极 限 可 直接 使 用 罗 比 达

6、 法 则 00 ，解 ： 原 式 1 1 lnlim ( 1)lnx x x xx x 1 1 ln 1lim 1lnx xxx x 1 lnlim ln 1x x xx x x 1 ln 1 1limln 1 1 2x xx 注 ： 型 不 定 式 极 限 可通 过 通 分 变 为 之 一 00 ， 上页下页结束返回首页2021/6/16 7 例 14 0lim lnx x x 10 lnlimx xx 0解 ： 原 式 120limx xx 0lim( )x x 注 (1) 型 不 定 式 极 限 可 通过 把 一 项 的 倒 数 放 到 分 母 上 变为 之 一 000 ， 0(2) l

7、im 1.xx x 10lim xxx x ( 1)ln0lim xx xx e ln0lim ( 1)lnx xx e xe 02 lim lnx x xe 例 15解 ： 原 式 ln( 1)ln0lim x xe xx e 20lim lnx x xe 10 2lnlimx xxe 210 lnlimx xxe 0 1e 六 、 利 用 罗 比 达 法 则 求 极 限 上页下页结束返回首页2021/6/16 8 六 、 利 用 罗 比 达 法 则 求 极 限1ln0lim(cot ) .xx x 0 1lim ln(cot )lnx xx 而20 1 1cot sinlim 1x x x

8、x 0lim -1cos sinx xx x 1.e故，原式 x 0 1lim lncotln xxe 例 16解 ： 原 式 10lim( )x xx x e 例 17解 ： 原 式 1ln( )0lim xx exx e 01lim ln( )xx x exe 01lim 2xxx ex ee e 上页下页结束返回首页2021/6/16 9 六 、 利 用 罗 比 达 法 则 求 极 限12 30lim( ) .3x x x xx e e e 例 18解 ： 原 式 2 3 x 0 1lim ln( )3x x xe e exe 而 2 30 1lim ln( )3x x xx e e e

9、x 2 3 0 ln( ) ln3lim x x xx e e ex 2 32 30 2 3lim 2x x xx x xx e e ee e e 注 ： 型 不 定 式 极 限 可 直接 使 用 罗 比 达 法 则 00 ， 上页下页结束返回首页2021/6/16 10 七 、 利 用 Taylor展 开 式 求 极 限2240 coslim xx x ex 2 4 2 44 4401 ( ) (1 ( )2! 4! 2 4 2!limx x x x xo x o xx 440 1 1 ( ) 1lim( ) .4! 4 2! 4x o xx 例 19解 ： 原 式 上页下页结束返回首页 若有不当之处，请指正，谢谢！