2016年中考第一轮复习第26讲《圆的有关计算》专题训练含答案

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1、第26讲　圆的有关计算 考纲要求 命题趋势 1．会计算圆的弧长和扇形的面积． 2．会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积． 3．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系. 　　能运用弧长公式、扇形面积公式进行相关的计算，会借助分割与转化的方法探求阴影部分的面积是中考的热点，利用圆的面积公式、周长公式、弧长公式、扇形的面积公式求圆锥的侧面积和全面积是中考考查的重点，常以选择题、填空题的形式出现. 知识梳理 一、弧长、扇形面积的计算 1．如果弧长为l，圆心角的度数为n，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为l＝__________. 2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图

2、形叫做扇形．若扇形的圆心角为n，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝__________或S＝lr；扇形的周长＝2r＋l. 二、圆柱和圆锥 1．圆柱的侧面展开图是__________，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的__________，宽等于圆柱的__________．如果圆柱的底面半径是r，则S侧＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh. 2．圆锥的轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个__________，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的__________，扇形的半径等于圆锥的__________．因此圆锥的侧面积：S侧＝l2πr＝πrl(l为母线长，r为底

3、面圆半径)；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2. 三、正多边形和圆 1．正多边形：各边__________、各角__________的多边形叫做正多边形． 2．多边形的外接圆：经过多边形__________的圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形． 3．正多边形的__________的圆心叫做正多边形的中心，__________的半径叫做正多边形的半径． 4．中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距． 5．正多边形每一边所对的__________的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形的每个中心角都等于__________． 温馨提示

4、(1)正多边形的各边、各角都相等． (2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心． (3)边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心． (4)边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 四、不规则图形面积的计算 求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有： 1．直接用公式求解． 2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解． 3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．

5、 4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解． 5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解． 自主测试 1．已知圆柱的底面半径为2 cm，高为5 cm，则圆柱的侧面积是(　　) A．20 cm2 B．20π cm2 C．10π cm2 D．5π cm2 2．如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是(　　) A．1 B． C． D． 3．已知扇形的圆心角为150，它所对应的弧长为20π cm，则此扇形的半径是__________cm，面积是___

6、_______cm2.(结果保留π) 4．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60，OC＝2. (1)求OE和CD的长； (2)求图中阴影部分的面积． 考点一、弧长、扇形的面积 【例1】如图，在△ABC中，∠B＝90，∠A＝30，AC＝4 cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A′B′C′的位置，且A，C，B′三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为(　　) A．4cm B．8 cm C．π cm D．π cm 解析：点A所经过的最短路线是以点C为圆心、CA为半径的一段弧线，运用弧长公式计算求解．求解过

7、程如下： ∵∠B＝90，∠A＝30，A，C，B′三点在同一条直线上， ∴∠ACA′＝120.又AC＝4， ∴的长l＝＝π(cm)．故选D. 答案：D 方法总结 当已知半径r和圆心角的度数求扇形面积时，应选用S扇＝，当已知半径r和弧长求扇形的面积时，应选用公式S扇＝lr，当已知半径r和圆心角的度数求弧长时，应选用公式l＝. 触类旁通1 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两根竹条AB和AC的夹角为120，AB长为9，贴纸部分的宽BD为6，则贴纸部分面积(贴纸部分为两面)是(　　) A．24π B．36π C．48π D．72π 考点二、圆柱和圆锥

8、 【例2】一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是(　　) A．5π B．4π C．3π D．2π 解析：侧面积是：π22＝2π.底面的周长是2π.则底面圆半径是1，面积是π.则该圆锥的全面积是：2π＋π＝3π.故选C. 答案：C 方法总结 圆锥的侧面展开图是扇形，半圆的面积就是圆锥的侧面积，根据半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求得圆锥底面圆的半径，进而求得面积和全面积，正确理解圆锥的底面的周长等于展开图中扇形的弧长是解题的关键． 触类旁通2 如图，把一个半径为12 cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧

9、面(衔接处无缝隙且不重叠)，则圆锥底面半径是______cm. 考点三、阴影面积的计算 【例3】如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF，EO，若DE＝2，∠DPA＝45. (1)求⊙O的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 解：(1)∵直径AB⊥DE，∴CE＝DE＝. ∵DE平分AO，∴CO＝AO＝OE. 又∵∠OCE＝90，∴∠CEO＝30.在Rt△COE中，OE＝＝＝2.∴⊙O的半径为2. (2)连接OF，如图所示． 在Rt△DCP中，∵∠DPC＝45， ∴∠D＝90－45＝45. ∴∠EOF＝2∠D

10、＝90. ∵S扇形OEF＝π22＝π，S△OEF＝OEOF＝22＝2. ∴S阴影＝S扇形OEF－S△OEF＝π－2. 方法总结 阴影面积的计算方法很多，灵活性强，常采用转化的数学思想： (1)将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解． (2)将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解． (3)将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解． (4)将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解． 1．(2012浙江舟山)已知一个圆锥的底面半径为3 cm，母线长为10 cm，则这个圆锥的侧面积为(　　) A．15π cm

11、2 B．30π cm2 C．60π cm2 D．3cm2 2．(2012浙江衢州)用圆心角为120，半径为6 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是(　　) A．cm B．3cm C．4cm D．4 cm 3．(2012四川南充)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是(　　) A．120 B．180 C．240 D．300 4．(2012山东临沂)如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB＝4，∠BED＝120，则图中阴影部分的面积

12、之和为(　　) (第4题图) A．1 B． C． D．2 5．(2012四川成都)一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积(即表面积)为__________．(结果保留π) (第5题图) 6．(2012湖南长沙)在半径为1 cm的圆中，圆心角为120的扇形的弧长是__________cm. 7．(2012四川乐山)如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于E，过O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G. (第7题图) (1)求证：OFDE＝OE2OH； (2)若⊙O的半径为12，且OE:OF:OD＝2:

13、3:6，求阴影部分的面积．(结果保留根号) 1．如图，⊙O半径是1，A，B，C是圆周上的三点，∠BAC＝36，则劣弧的长为(　　) A． B． C． D． 2．已知圆锥底面圆的半径为6 cm，高为8 cm，则圆锥的侧面积为(　　)． A．48 cm2 B．48π cm2 C．120π cm2 D．60π cm2 3．如图，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6 cm，点P是母线BC上一点且PC＝BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是(　　) A．cm B．5

14、cm C．3 cm D．7 cm 4．如图，如果从半径为9 cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为(　　) A．6 cm B．3cm C．8 cm D．5cm 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，CA＝CB＝4，分别以A，B，C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是__________． 6．如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是2 cm，则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是__________ cm2. (第6题图) 7．如图，AB

15、为半圆O的直径，C，D，E，F是的五等分点，P是AB上的任意一点．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为__________． (第7题图) 8．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝5，∠BOC＝50，OE⊥AC，垂足为E. (1)求OE的长； (2)求劣弧AC的长(结果精确到0.1)． 参考答案 导学必备知识 自主测试 1．B　2．C　3．24　240π 4．解：(1)在△OCE中， ∵∠CEO＝90，∠EOC＝60，OC＝2， ∴OE＝OC＝1，∴CE＝OC＝， ∵OA⊥CD，∴CE＝DE，∴CD＝2. (2)∵S△ABC＝ABCE＝4＝2， ∴S阴影＝π22－

16、2＝2π－2. 探究考点方法 触类旁通1．C　S＝2＝2＝48π. 触类旁通2．4　因为扇形的弧长为212π＝8π，即底面周长为8π，则底面半径为＝4(cm)． 品鉴经典考题 1．B　因为底面半径为3 cm，则周长为6π cm， 所以圆锥的侧面积为6π102＝30π(cm2)． 2．C　由题意知l＝＝4π(cm)， 圆锥的底面半径为4π2π＝2(cm)， ∴这个圆锥形纸帽的高为＝4(cm)． 故选C. 3．B　设圆锥的底面半径为r，母线为R，圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为n，则扇形的面积为2πrR＝πrR.由题意得πrR＝2πr2，nπR2360＝πrR，则R＝2r，

17、所以n＝180. 4．C　如图，连接AE. ∵AB是直径，∴∠AEB＝90. 又∵∠BED＝120，∴∠AED＝30， ∴∠AOD＝2∠AED＝60. ∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD＝60. ∵点E为BC的中点，∠AEC＝90， ∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形． 由△AOD，△ABC是等边三角形知△DEC，△BOE，△DOE也是等边三角形， ∴和弦BE围成的部分的面积＝和弦DE围成的部分的面积， ∴阴影部分的面积＝S△EDC＝2＝.故选C. 5．68π　圆锥的母线长是＝5， 圆锥的侧面积是8π5＝20π， 圆柱的侧面积是8π4＝32π，

18、几何体的下底面面积是π42＝16π， 则该几何体的全面积(即表面积)为20π＋32π＋16π＝68π. 故答案是68π. 6．π　扇形的弧长l＝＝π(cm)． 7．(1)证明：∵BD是直径，∴∠DAB＝90. ∵FG⊥AB，∴DA∥FO， ∴∠EOF＝∠EDA，∠EFO＝∠EAD， ∴△FOE∽△ADE， ∴＝，即OFDE＝OEAD. ∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH， ∴OFDE＝OE2OH. (2)解：∵⊙O的半径为12，且OE:OF:OD＝2:3:6， ∴OE＝4，ED＝8，OF＝6， 代入(1)结论得OH＝6，AD＝12. 在Rt△OBH中，OB

19、＝2OH，∴∠BOH＝60， ∴BH＝BOsin 60＝12＝6， ∴S阴影＝S扇形GOB－S△OHB＝－66＝24π－18. 研习预测试题 1．B　2．D　3．B 4．B　留下的扇形的弧长为2π9＝12π， 所以围成一个圆锥的底面圆的周长为12π. 则底面圆的半径为12π＝2πr，所以r＝6. 而圆锥的母线长为9， 所以由勾股定理，得到圆锥的高为＝3(cm)． 5．8－2π　6.2π　7．π 8．解：(1)∵OE⊥AC，垂足为E，∴AE＝EC. ∵AO＝BO，∴OE＝BC＝2.5. (2)∠A＝∠BOC＝25， 在Rt△AOE中，sin A＝，∴OA＝. ∵∠AOC＝180－50＝130， ∴劣弧AC的长＝≈13.4.