[小学一年级]一年级数学应用题

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1、同学们已经知道，下面的五组成对的数相加之和都等于10： 　　1+9=10 　　2+8=10 　　3+7=10 　　4+6=10 　　5+5=10 　　巧用这些结果，可以使计算又快又准。 例1 计算 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 解：对于这道题，当然可以从左往右逐步相加： 　　1+2=3 3+3=6 　　6+4=10 10+5=15 　　15+6=21 21+7=28 　　28+8=36 36+9=45 　　45+10=55 这种逐步相加的方法，好处是可以得到每一步的结果，但缺点是麻烦、容易出错；而且一步出错，以后步步都错。若是利用凑十法，就能克服这

2、种缺点。 二、凑整法 　　同学们还知道，有些数相加之和是整十、整百的数，如： 　　1+19=20 11+9=30 　　2+18=20 12+28=40 　　3+17=20 13+37=50 　　4+16=20 14+46=60 　　5+15=20 15+55=70 　　6+14=20 16+64=80 　　7+13=20 17+73=90 　　8+12=20 18+82=100 　　9+11=20 　　又如： 　　15+85=100 14+86=100 　　25+75=100 24+76=100 　　35+65=100 34+66=100 　　45+55=100

3、 44+56=100等等 　　巧用这些结果，可以使那些较大的数相加又快又准。像10、20、 30、40、50、60、70、80、90、100等等这些整十、整百的数就是凑整的目标。 例2 计算 　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 解：这是求1到19共10个单数之和，用凑整法做： 100 例3 计算 　　2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 解：这是求2到20共10个双数之和，用凑整法做： 　　110 例4 计算 　　2+13+25+44+18+37+56+75 解：用凑整法： 三、用已知求未知 　　利用已经获得较简单的知识来解

4、决面临的更复杂的难题这是人们认识事物的一般过程，凑十法、凑整法的实质就是这个道理，可见把这种认识规律用于计算方面，可使计算更快更准。下面再举两个例子。 例5 计算 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 解：由例2和例3，已经知道从1开始的前10个单数之和以及从2开始的前10个双数之和，巧用这些结果计算这道题就容易了。　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 　　=（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）+（2+4+6+8+10+12+14+16

5、+18+20） 　　=100+110（这步利用了例2和例3的结果） 　　=210 例6 计算 5+6+7+8+9+10 解：可以利用前10个自然数之和等于55这一结果。 　　5+6+7+8+9+10 　　=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-（1+2+3+4） 　　（熟练后，此步骤可省略） 　　=55-10=45 　四、改变运算顺序 　　在只有加减运算的算式中，有时改变加、减的运算顺序可使计算显得十分巧妙！ 例7 计算 　　10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 解：这题如果从左到右按顺序进行加减运算，是能够得出正确结果的。但因为算式较长，多次加减又繁

6、又慢且容易出错。如果改变一下运算顺序，先减后加，就使运算显得非常“漂亮”。下式括号中的算式表示先算， 　　10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 　　=（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1） 　　=1+1+1+1+1=5 五、带着“+”、“-”号搬家 例8 计算 　　1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11 解：这题只有加减运算，而且1-2不够减。我们可以采用带着加减号搬家的方法解决。要注意每个数自己的符号就是这个数前面的那个“+”号或“-”号，搬家时要带着符号一起搬。 　　1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11 　　=1+3-2+5-4

7、+7-6+9-8+11-10 　　=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+（11-10）[先减后加] 　　=1+1+1+1+1+1 　　=6 　　在这道题的运算中，把“+3”搬到“-2”的前面，把“+5”搬到了“-4”的前面，……把“+11”搬到了“-10”的前面，这就叫带着符号搬家。巧妙利用这种搬法，可以使计算简便。 习题一 　　1．计算：13+14+15+16+17+25 　　2．计算：2+3+4+5+15+16+17+18+20 　　3．计算：21+22+23+24+25+26+27+28+29 　4．计算：5+6+7+8+9+10+11+12+13+14

8、+15+16+17+18+19+20 　　5．计算：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-0 　　6．计算：10-20+30-40+50-60+70-80+90 　　7．计算：（2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9） 　　8．计算：（2+4+6+…+20）-（1+3+5+…+19） 9．计算：（2+4+6+…+100）-（1+3+5+…+99） 第二讲 速算与巧算（二） 例1 哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1块，妹妹拿2块；哥哥拿3块，妹妹拿4块；接着哥哥拿5块、7块、9块、11块、13块、15块，妹妹拿6块、8块、10块、12块、14块、16块。你说谁拿

9、得多，多几块？ 解：方法1：先算哥哥共拿了多少块？ 　　再算妹妹共拿了多少块？ 　　72-64=8（块） 方法2：这样想：先算每次妹妹比哥哥多拿几块，再算共多拿了多少块。 　(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15) 　　=1+1+1+1+1+1+1+1 　　=8（块） 　　可以看出方法2要比方法1巧妙！ 平时注意积累，记住一些有趣的和重要的运算结果，非常有助于速算。比如，请同学记住几个自然数相加之和： 　　1+2=3 　　1+2+3=6 　　1+2+3+4=10 　　1+2+3+4+5=15 　　1

10、+2+3+4+5+6=21 　　1+2+3+4+5+6+7=28 　　1+2+3+4+5+6+7+8=36 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 例2 星期天，小明家来了9名小客人。小明拿出一包糖，里面有54块。小明说：“咱们一共10个人，每人都要分到糖，但每人分到的糖块数不能一样多，谁会分？”结果大家都无法分，你能帮他们分好吗？ 解：按小明提的要求确实无法分。 因为要使得每个人都得到糖，糖块数人人不等，需要糖块数最少的分法是：第一人分到1块，第二人分到2块，…第十人分到10块。但是，这种分法共需要有 1+2+3+4+

11、5+6+7+8+9+10=55（块） 而小明这包糖一共才54块，所以按这种方法无法分。如果改变一下，有一人少得1块糖，比如说，应该得10块糖的小朋友只分到了9块，但是这样一来，他就和另一个先分得9块糖的那个小朋友一样多了，这又不符合小明提出“每人分到的糖块数不能一样多”的要求。 （注意：“按小明提的要求无法分”就是此题的答案。在数学上“无解”也叫问题的答案。） 例3 时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，……照这样敲下去，从1点到12点，这12个小时时钟共敲了几下？ 解：这是一道美国小学奥林匹克试题，要求在3分钟内就要得出答案。 方法1：凑十法 方法2：如果能记住从1到10

12、前十个自然数之和是55，计算会更快。 　　（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+11+12 　　=55+11+12=78（下） 习题二 1．三个小朋友分5块糖。要求每人都分到糖，但每人分到的糖块数不能一样多，你能分吗？ 2．①把16只小鸡分别装进5个笼子里，每个笼子里都要有鸡，而且每个笼子里的鸡的只数也不能相同，如何分装？ ②按同样要求，把15只小鸡装进5个笼子能办得到吗？ ③按同样要求，把14只小鸡分装到5个笼子能办得到吗？ 3．①把100块糖分给10个小朋友。要求每人都分到单数块糖，而且每人分到糖块数都不一样，如何分？ ②把99块糖按同样要求分给10个小朋友，你能

13、分吗？ 4．从1到20这20个数中，所有的双数之和与所有的单数之和的差是多少？ 5．小方家的钟除了几点钟敲几下外，每半点钟也敲一下。比如说，0点半敲1下，1点钟敲1下，1点半敲1下，2点敲2下，2点半敲1下，……照这样敲下去，从夜里0点开始，计到白天中午12点钟，在这12个小时之内时钟共敲了多少下？ 习题二解答 1．答案是不能分。 所需糖块数最少的一种分法是：第1个人分1块，第2个人分2块，第3个人分3块，这样三个人共需要有1+2+3=6（块），但总的糖块数只有5块，不够分。如果第3个人也分得2块，这样糖是够分了，但是这样就有2个人分得糖块数一样多了，又不符合分糖的要求了。 2．①

14、5只笼子装16只小鸡的装法是1，2，3，4，6。 1+2+3+4+6=16（只） ②5只笼子装15只小鸡的装法是1，2，3，4，5。 1+2+3+4+5=15（只） ③5只笼子装14只小鸡，要求每笼都有鸡，而且笼笼鸡数不等，无法分装。 3．①记住1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100立即可知100块糖按要求分给10个人的分法是：各人所得糖块数分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。 ②99块糖按要求分给10个小朋友无法分。 4．解：方法1： 单数之和：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100 双数之和：2+4+6+8+10+1

15、2+14+16+18+20=110 差：110-100=10 方法2：改变运算顺序 　　(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)-(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)　　=(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)+(18-17)+(20-19) =1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 =10 5．解：先记录时钟敲的整点数和半点数如下： 列算式求和，并改变运算顺序： 1+1+1+2+1+3+1+4十1+5+1+6+1+7+1+8+1+9+1+10+1+11+1+12　　=(1+2+

16、3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)+(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) 　　=78+12 　　=90（下） 第四讲 数数与计数（二） 数数与计数时，注意不应漏掉，不应重复。如果漏掉了，要加上；如果重复了，要减掉。 例1 小朋友排队，小红前面4个人，后面3个人，问这队共有几个人？ 解：这队的总人数要数上小红，所以是4+3+1=8（人）。 例2 排好队，来报数，正着报数我报七，倒着报数我报九，一共多少小朋友？ 解：见下图 正着报数“我”报了一次，倒着报数“我”又报了一次，所以把两次报数加起来时，“我”被加了两次。因此算这队的总人数时，应从两次报数之和

17、减1。 7+9-1=15（人）。 也可以这样想：正着报数报到我为止，倒着报数时，我就不报了，只报到我的后面相邻的那个人他应该报8，所以全队总人数是： 7+（9-1）=15（人）。 例3 少先队员排成队去参观科技馆。从排头数起刘平是第20个；从排尾数起，张英是第23个。已知刘平的前一个是张英。问这队少先队员共有多少人？ 解：画示意图，用点代表少先队员。 由图可见，从排头数起时，把张英和刘平数了一次。由排尾数起时，又把刘平和张英数了一次，可见把他两人多数了一次，所以点总人数时，应减去多数的那一次才对。 20+23-2=41（人）。 例4 45个小朋友排成一队去春游。从排头往后数

18、，小刚是第19个；从排尾往前数，小莉是第12个，问小刚和小莉中间有几个人？ 解：画示意图。用点“”代表人 　　由图可见，小刚和小莉中间的人数是： 　　45-（19+12）=14（人）。 例5 一班同学做花，做红花的有38人，做黄花的有39人，没有做花的有3人。如果全班55人，那么既做红花又做黄花的有多少人？ 解：画图如下： 　　由图可见，做花的人：55-3=52（人）。 　　图中阴影部分表示两色花都做的人： 　　38+39-52=25（人）。 习题四 1．学生排成一队，在小进的前面有6人，后面有8人，问这队共有多少人？ 2．12辆汽车组成一列车队向前行进。从前面数起，红色

19、的小轿车是第7辆。问从后面数它是第几辆？ 3．游泳池里男生都戴蓝帽，女生都戴红帽。池中一个男生小强边看边数，他看见蓝帽4个，红帽5个。问池中男女生共多少人？ 4．说稀奇、道稀奇，鸭子队里有只鸡。正着数它第六，倒着数它第七。请你帮助算一算，小鸭一共有几只？ 5．一个小组的小学生共有5人，已知他们都做了语文作业或数学作业。又知做完语文作业的有3人，做完数学作业的有4人。问语文和数学作业都做完的有几人？ 6．在100名学生中统计，有65人会骑自行车，有73人会游泳，有10人既不会骑自行车又不会游泳。问既会骑自行车又会游泳的人有多少？ 7．某班有学生45人，订阅《中国少年报》的有29人，订阅

20、《小朋友》的有28人，其中两种都订阅的有16人，问两种刊物都没有订阅的人有多少？ 习题四解答 1．解 　　由图可知：总人数是 　　6+8+1=15人。 2．解：方法1：数一数；先画示意图如下，用●代表红色小轿车，用○代表其他车。 从后面往前数一数，红色小轿车是第6辆。 方法2：算一算；这队车共有12辆，从前面往后数，红色小轿车是第7辆，所以红色小轿车前面有7-1=6辆车，因此从后面往前数，红色小轿车是第12-6=6辆。 3．解：画示意图如下： 因为男生小强边看边数时，没有看见自己的蓝帽，他把自己漏数了。所以算总人数时，要把他加上，即 4+5+1=10（人）。 4．解：画示

21、意图，用○代表小鸭，用●代表小鸡。 由图可见，正数算上了小鸡，倒数也算上了小鸡。这样两数之和6+7=13中，把小鸡计算了两次。所以求小鸭的数目时就要减去两个小鸡。 6+7-2=11（只）。 5．解：画示意图如下： 两种作业都做完的人既算在了做完语文作业的3人中，又算在了做完数学作业的4人中，因此这部分人被多算了一次，（如图中阴影部分所示）所以两种作业都做完的人数是： 3+4-5=2（人）。 6．解：画图如下： 由图可知：会骑车或是会游泳的总人数是 　　100-10=90（人）。 两种都会的人数是65+73-90=48（人）。（图中阴影部分所示） 7．解：画示意图如下： 因

22、为至少订1份刊物的人： 　　28+29-16=41（人）。 　　两种刊物都没有订的人： 　　45-41=4（人）。 第五讲 数数与计数（三） 例1 　　小朋友，张开手，　　五个手指人人有。 　　手指之间几个“空”，请你仔细瞅一瞅？ （注）“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。 解：见右图看一看、数一数可知：5个手指间有4个“空”。“空”又叫“间隔”，也就是，人的一只手有5个手指4个间隔。 例2 小朋友在一段马路的一边种树。每隔1米种一棵，共种了11棵，问这段马路有多长？ 解：画示意图如下： 由图可见，这段马路的11棵树之间有10个“空”，也就是10个间隔。每个间隔长1米，10

23、个间隔长10米。也就是说这段马路长10米。像这类问题一般叫做“植树问题”。可以得出一个公式：当两头都种树时： 例3 把一根粗细一样的木头锯成5段，需要4分钟。 ①如果把这根木头锯成10段，需要几分钟？ ②如果把这根木头锯成100段，需要几分钟？ 解：画出示意图： 由图可见，把木头锯成5段，只需锯4次。 所以锯一次需1分钟。 ①同样道理，把这根木头锯成10段，只需锯9次，所以需9分钟。 ②同理，把这根木头锯成100段，只需锯99次，所以需99分钟。 例4 鼓楼的钟打点报时，5点钟打5下需要4秒钟。问中午12点时打12下需要几秒钟？ 解：画示意图。钟打一下用一个点代表，打5下画

24、5个点。 由图可见，钟打5下中间有4个时间间隔，4个间隔是4秒钟，每个间隔就是1秒钟。由此推理钟打12下时有12-1=11个时间间隔，故用11秒钟。 习题五 1．一队男生8人。老师要求在2名男生中间插进1名女生，问可插进多少女生？ 2．小冬用12张纸订成一个本子。从头数起，每隔3纸夹进一片树叶，问这个本子内共放进多少片树叶？ 3．在一条20米长的小路两旁种小松树，如果每隔5米种一棵，而且两头都种树，问这段小路上共种多少棵？ 4．一根钢管长6米，每分钟锯下1米，几分钟锯完？ 5．一根木头锯成4段，要付锯工费1元。如果要把这根木头锯成13段，要付锯工费多少元？ 6．小明与爸爸一同上

25、楼。小明上得快、爸爸上得慢，小明上2层，爸爸上1层。问小明上到五楼时，爸爸上到几楼？ 7．沿着跑道插着11面旗，旗与旗离得一样远，第一面旗插在起点。运动员从起点起跑经过6秒钟到达第6面旗，问运动员到达第11面旗时，需要跑11秒钟吗？ 8．三点钟时，挂钟打响三下，用了12秒。到六点钟时，挂钟打响六下，要用几秒钟？ 习题五解答 1．解： 方法1：按老师要求，在2名男生中间插进1名女生后，写出队伍的排外情况是： 男女男女男女男女男女男女男女男 数一数，可知插进的女生共7人。 方法2：也可以这样想：这道题中，把男生看成“树”，把女生看成“间隔”，就能按植树问题的公式解这道题。因为两头都

26、是男生，就像两头都有树一样，女生数应等于男生数减1，即8-1=7（人）。 2．解：画示意图如下： 可以这样想：把每3张纸粘在一起成为一张“厚纸”，12张纸共粘成4张厚纸。按题目要求，相当于每两张厚纸之间放入一片树叶，可知共放入3片树叶。 3．解：画示意图如下：（只画一旁种树情况） 由图可见，每5米为一段，20米长的路可分为4段，由于路两端都要种树，所以种的棵树等于段数加1，即一旁种树4+1=5（棵），两旁共种5+5=10（棵）。 4．解：画示意图如下： 由图可见，把6米长的钢管锯成1米长的6段，只需锯6-1=5（次），题中说，每分钟锯下1米，就是说锯1次需要1分钟，所以锯5次需5分

27、钟即5分钟把钢管锯完。 5．解：把一根木头锯成4段只需锯4-1=3次，按题意付锯工费1元。当把这根木头锯成13段时只需锯13-1=12次，每锯3次付费1元，锯12次应付锯工费4元。 6．解：见右图当小明跑五楼时，实际上跑过了4层楼梯，所以爸爸此时只走过了2层楼梯，即走到了三楼。 7．解：画出示意图： 在起点插着第一面旗，但在起点运动员起跑时，时间是从0秒开始计时的。运动员跑到第六面旗时，实际上是跑了5段间隔，这时他用了6秒钟的时间；当他跑到第11面旗时，实际上又跑了5段间隔，所以又用了6秒钟，总起来共用了12秒钟，而不是11秒钟。 8．解：“当—当—当”钟打响了三下，三响之间的间隔是

28、两次，两个时间间隔用12秒，一个时间间隔就是122=6（秒）。如果钟打六下，六响之间的间隔是5次，因而钟打六下要65=30（秒）。 第六讲 数数与计数（四） 本讲采用枚举法解决数数与计数的问题。比如老奶奶数鸡蛋，她小心翼翼地把鸡蛋从蓝子里一个一个地往外拿，边拿边数。篮子里的鸡蛋拿光了，有多少个鸡蛋也就数出来了。 这种最简单的数数与计数的方法就叫做枚举法。 例1 用分别写有数字1和2的两张纸片，能够排出多少个不同的二位数？ 解：用代表这两张纸片。把所有可能的排法枚举出来，可知能排出两个二位数来。它们是： 例2 用分别写有数字0，1，2的三张纸片能排出多少个不同的二位数？ 解：因为“

29、0”不能作为首位数字，所以只能排出4个二位数，它们是： 1作十位数字，0或2作个位数字： 2作十位数字，0或1作个位数字： 例3 用分别写有数字1，2，3的三张纸片能排出多少不同的三位数？ 解：用枚举法，即把所有可能排出的每一个三位数都写出来。再数一数共有多少个。 共6个不同的三位数。 例4 小明左边抽屉里放有三张数字卡片右边抽屉里也放有三张卡片。如果他每次从左右两边抽屉里任意各拿一张出来，组成一个二位数，在纸上记下来之后，再把卡片放回各自原来的抽屉里。然后再拿、再组数、再记、再放回……这样一直做下去，问他一共可能组成多少个不同的二位数？ 解：不妨假设小明先从左边抽屉拿，把拿出的

30、数字卡片排在十位；再从右边抽屉拿，把拿出的数字卡片排在个位。下面是记下来的所有不同的二位数：11，12，13，21，22，23，31，32，33。共9个不同的二位数。 例5 有一群人，若规定每两个人都握一次手而且只握一次手，求他们共握多少次手？假设这群人是： ①两个人，②三个人，③四个人 解：画图。用点“”代表人。如果两人握一次手就在两个点之间连一条线。那么，点和点之间连线的条数就代表握手的次数。见以下的图。 ①两个人： 两点之间只能连一条线，表示两个人共握1次手。 ②三个人： 三点之间有三条连线，表示三个人共握3次手。 ③四个人： 四点之间有六条连线，表示四个人共握6次手。

31、 例6 铁路上的火车票价是根据两站距离的远近而定的，距离愈远，票价愈高。如果一段铁路上共有五个车站，每两站间的距离都不相等，问这段铁路上的火车票价共有多少种？ 解： 如图所示，用一条线段表示这段铁路，用线段上的五个点代表五个车站，各点间距离不同表示各车站间距离不同，因而票价不同。 由图可见，各段长度不同的线段就表示各种不同的票价。 数一数，票价种数是：4+3+2+1=10种。 例7 小明到小华家有甲、乙两条路，小华到小英家有a，b，c三条路（如下图所示）。小明经过小华家去找小英，他想每次都不走完全重复的路线，问有多少种不同的走法？ 解：共有6种不同的走法，见下图。 习题六 1

32、．用三张数字卡片，可以排出多少个不同的三位数？其中最大的比最小的大多少？ 2．有四张数字卡片从中抽出三张组成三位数，问这些卡片可能组成多少个不同的三位数？ 3．用两套数字卡片可组成多少个不同的二位数？ 4．在一次小学数学竞赛的领奖台上有五名同学上台领奖，他们每两个人都互相握了一次手。问他们共握了多少次手？ 5．全区六所小学举行小足球赛，每个学校派出一个代表队，要求规定每两个校队之间都要赛一场，问一共要赛多少场？ 6．右图是小英家和学校之间的街道图。问小英去上学时，共有多少种不同的走法？（不准故意绕远走） 7．如右图所示，一只蚂蚁从一个正方体的A点沿着棱爬向B点，如不故意绕远，一共有

33、几种不同的走法？ 习题六解答 1．解：注意，0不能当作首位数字。所能排出的三位数字共有4个。它们是：407，470，704，740。 最大的数是740，最小的数是407。 最大的数比最小的数大740-407=333。 2．解：注意0不能当作首位数字。所能排出的三位数字共18个。 　　102，104，120，124，140，142； 　　201，204，210，214，240，241； 　　401，402，410，412，420，421。 3．解：共组成25个不同的二位数。 11，12，13，14，15； 21，22，23，24，25； 31，32，33，34，3

34、5； 41，42，43，44，45； 51，52，53，54，55。 4．解：画图。用点代表人，用两点之间的连线代表两个人的一次握手。按这种规定连线的总条数就是握手的总次数。数一数，共有10条连线，所以共握手10次。 5．解：共赛15场。见下图。 ①方法1：如右图所示这样数： 一小和二小、三小、四小、五小、六小共赛5场； 二小再和三小、四小、五小、六小共赛4场； （二小不能再和一小赛，因为它们已经比赛过了，下同） 三小再和四小、五小、六小共赛3场； 四小再和五小、六小共赛2场； 五小再和六小共赛1场。 比赛场次总数：5+4+3+2+1=15（场）。 ②方法

35、2：每个学校都要和其他的五个学校各赛一场，共5场。因而六个学校所赛的场次是56=30场。但是这样计算还有个问题，比如说一小和二小赛了一场，这一场比赛被两个学校都计算在了自己所赛的场次里，因而被计了两次。所以总场数也就多计了一倍。也就是说，六个学校实际赛的总场次数是302=15（场）。 6．解：小英由家到学校共有6种走法，见下图粗黑线所示。 7．解：蚂蚁沿着棱由A点爬到B点有6种不同的走法，见下图粗黑线所示。 第七讲 填图与拆数（一） 例1 如右图，把3、4、6、7四个数填在四个空格里，使横行、竖行三个数相加都得14。怎样填？ 解：先看竖行，最上格中已有个5。要使5+（ ）=14，括号

36、里的数就要填9。把9拆成两个数：9=3+6，（因为3和6是题中给出的数）分别填在竖行的两个空格里。但进一步想，应该把哪一个填在中间空格里呢？这就需要看横行。横行两头的空格应填剩下的两个数4和7，因为4和7相加和为11，而11+3=14，可见中间空格应填3。 例2 如图所示。在圆圈里填上不同的数，使每条直线上三个数相加之和都等于12。 解：见下图（1）、（2）、（3）。把12分拆成三个不同的数相加之和，得七种分拆方式： 　　12=9+2+1 12=8+3+1 　　12=7+4+1 12=7+3+2 　　12=6+5+1 12=6+4+2 　　12=5+4+3 从各式中选择有一个相同

37、加数的两个式子。12=1+5+6和12=1+4+7两式，将相同的加数1填在中间圆圈里，不同的加数分别填在横行和竖行的其他圆圈里。答案有很多种不同的填法，这里只填了三种，同学们还可以自己选择另外的填法。 例3 如右图所示。把1、2、3、4、5五个数填入五个圆圈里，要求分别满足以下条件： （1）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于8； （2）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于9； （3）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于10。 解：见下图（1）、（2）、（3） （1）将8分拆成三个数之和（注意，这三个数要从1、2、3、4、5中选取） 8=1+2+5 8=1+3+4 因为中间圆圈里的数

38、是要公用的，所以应把“1”填在中间圆圈里其他四个数填在边上； （2）解法思路与（1）相同，分拆方式如下： 9=1+3+5 9=2+3+4 （3）解法思路与（1）相同 10=1+4+5 10=2+3+5。 习题七 1．如右图所示。在正方形的空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数相加得数都是18。 2．如右图所示。在正方形空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、斜行的四个数相加都得34。 3．如右图所示。把适当的数填到三角形的空圈里，使每条直线上3个圈中的数相加都是10。 4．如图所示。从2、3、4、5、6中选取适当的数填入小圆圈，使同一个大圆上的小圆圈中的四个数的和①

39、都等于15，②都等于16。 5．如右图所示，圆圈里填上不同的数，使每条直线上的三个数相加之和都等于10。 6．如图所示。在圆圈里填上不同的数，使每条直线上的三个数相加之和都是15。 7．如下页图所示。把1、2、3、4、5、6、7、8、9分为三组，填到三个小三角形的各个角上的圆圈里，使每个小三角形的三个角的圆圈里的数之和都是15。同时使大三角形三个角的圆圈里的数之和也是15。 习题七解答 1．在图中， 用较大的黑体字表示方格中原有的已知数，如10、6、7三个数。仔细观察可知，可以先在第二横行右边空格里填2，因为要使横行三个空格里的数之和是18，（已有的两个数之和是10+6=16）

40、就需要在这个空格中填上18-16=2。当然，也可以先填左下角空格的那个数，因为它所在的斜行中已有两个数7和6，而7+6=13，所以应在这个空格里填18-13=5。接着用同样的思考方法就可以填出其他空格里的数了。 2．见图。 解法思路与第1题相同。因为要求每行的四个数之和是34，而第三横行已有的三个数之和为9+7+12=28，所以此行空格中可填6。也可先填图中另一斜行，因这斜行中已有的三个数之和是13+10+7=30，所以，这斜行的空格，也就是图的左下角的空格中应填4。接着，用同样的思考方法填出其余所有空格。 3．见图。 解法与第1题相同。因为三角形的一边已有两个数3和2，其和为3+2=

41、5，要使这边的三数之和是10，可知这边的右下角圆圈中应填10-5=5。其余两圆圈中的数可按同样方法填出。 4．见图。 ①和是15：因为大圆上有两个小圆圈中已有了1和7，它们的和是1+7=8，所以同一个大圆上另外的两个小圆圈中应填的两个数之和应是15-8=7，将7分拆成两个数有两种分拆方式： 将2和5填入一个大圆上的两个空圈中，将3和4填入另一个大圆上的两个空圈中。②见右图。和是16，解法思路和①相同。因为 1+7=8， 16-8=8 将8分拆成两个数，有两种分拆方式： 将2和6、3和5分别填入大圆上的空圈中。 5．解：见下图（1）～（4）把10分拆成三个不同的数的和，共有4种分

42、拆方式： 10=1+2+7=1+3+6=1+4+5 10=2+3+5 选择有一个共同加数的两个式子，把共同的加数填在中间的圆圈里，其他四个加数分别填在两头的圆圈里就构成一种填法。本题有6种符合题目要求的填法，这里只举其中4种填法，还有2种填法你能找出来吗？ 6． 解见下图。把15分拆成三个不同的数相加之和，共有12种分拆方式： 　　 　　15=1+2+12 15=1+3+11 　　15=1+4+10 15=1+5+9 　　15=1+6+8 15=2+3+10 　　15=2+4+9 15=2+5+8 　　15=2+6+7 15=3+4+8 　　15=3+5+7 15=4+5

43、+6 　　因为题目中已有2、3、8三个数填在3个圆圈里，观察上面各式，既用到2、3、8这三个数，又要有另一个数是共同的，这样的式子有如下三个：15=1+2+12，15=1+3+11，15=1+6+8，将三式中共用的加数“1”写在中间圆圈里，再在其他三个圆圈里填上适当的数。 7．解：见下面两图，将15分拆，采取两步分拆法如下： 适当选取四组数，填入四个三角形中（3个小三角形与1个大三角形），可以得到一些不同的填法。选法的窍门是：先任选一组数如3、5、7，将它们分别填在大三角形的三个角顶圆圈中，再找分别包含3、5、7的三组数填在小三角形中，它们是3，8，4；5，9，1；7，6，2。如上图所示

44、。 第八讲 填图与拆数（二） 本讲主要介绍在填图与拆数中找关键数的思考方法。 例1 如右图所示。把三个1、三个2、三个3分别填在九个格内，使横行、竖行、斜行三个数加起来的和都等于6。 解：找关键数先填。因为中间格的数和横行、竖行、斜行都有关，所以它是关键数，确定了它，其他各格就容易填了。 （1）尝试法：若中间填“1”，再填其他格，如右图。结果有一条斜线上的数都是1，其和为3，不合题目要求。 若中间格填“3”，再填其他格，如右图结果有一条斜行上的数都是3，其和为9，不合题目要求。 若中间格填“2”，再填其他格，经检查，符合题目要求，如图。 （2）分析法：显然在每一横行、竖行和斜行

45、只能填一个“1”或一个“3”。因为若填两个1后，即使再填一个最大的3，这一行的这三个数之和才是5，小于6，不符合题目要求；同样，若填两个3后，即使再填一个最小的数1，这一行的三个数之和就是7，大于6，也不符合题目要求。 如果在一行里填入两个“2”，即使在此行里再填一个2，这一行的三个数之和也可等于6，符合题要求。 由此得出，中间方格必须填“2”。中间方格填好之后其他各格中的数也就容易填出了。 例2 如图。把1、2、3、4、5填入右图的圆圈中，使每条斜线上的三个数相加之和都是8。 解：中间圆圈里的数是个关键数，应该首先确定它。如何确定它呢？这样想：假如我们已经按题目要求把1、2、3、4、

46、5填入了五个圆圈中，这样每条斜线上的三个数相加都得8。那么当我们把两条斜线上的数都加起来，它们的和应为8+8=16， 但是五个圆圈中所填数之和应为 1+2+3+4+5=15， 两个和数之差是1，即：16-15=1。 这个差是如何产生的呢？这是因为把两条斜线上的和数相加时，中间圆圈中的数被加了两次，即多加了一次。把一个数多加了一次和就多了1，可见此数是1。 然后，再求每条斜线两端的数。可求出两数之和应为8-1=7把7分拆成两个数，有两种分拆方式： 　把2和5填入一条斜线两端的圆圈中。 把3和4填入另一条斜线两端的圆圈中。 例3 如图所示。把1、2、3、4、5、6、7七个数填在右图

47、中的七个圆圈里，每个数只能用一次，使每条线上的三个数相加之和都等于12。 解：见图。中间圆圈里的数是关键数，应该如何确定它呢？ 与例2的想法类似。假设已经按题目要求把数全部填入了圆圈，那么每条线上的三个圆圈中的数相加应该都得12。我们如果进一步把三条直线上的数都加起来，得数应为：12+12+12=36。 不难看出，这样就把中间圆圈里那个数加了三次。因而它比七个圆圈中的数相加之和：1+2+3+4+5+6+7=28 多了 36-28=8 也就是8应是中间圆圈里的数的2倍所以中间圆圈里的数应是8的一半， 即 82=4 下面再确定每条线上另外的两个圆圈里的数，方法如下：12-4=8 例

48、4 如图所示。把1、2、3、4、5、6六个数分别填入右图的圆 圈里，使三角形每条边上三个数之和都等于9。 解：见图。 三个角上圆圈里的数是关键数，因为它们中的每个都是两条边上共有的数。先确定关键数。这样想：六个数之和是1+2+3+4+5+6=21每条边上三个数之和是9，9+9+9=27这样算每个角上圆圈里的数都被加了两次，因此角上三个圆圈中的数之和是 27-21=6 把6分拆成三个数之和：6=1+2+3； 把1、2、3分别填入三个角上的圆圈里，其余的圆圈里的数就容易填了。 习题八 1．见图。把2、3、4、5、6、7、8、9、10、11填入右图空白 圆圈内，使每个大圆上四个小圆

49、圈内的数的和都是29。你能填吗？ 2．见图。把2、3、4、6、7、10、11分别填入大圆上的小圆圈内，使每个圆上四个小圆圈中的数字和都是24。你能填吗？ 3．见图。把2、3、4、5、6填入右图的五个方格里，使横行、竖行的三个数之和等于：①11、②12、③13。 4．见图。把5、6、7、8、9、10六个数分别填入右图中的六个圆圈里，使三角形每条边上的三个数之和都等于21。 5．见图。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数分别填入圆圈里，使每个正方形的四个数相加之和都等于24。 6．见图。把1、2、3、4、5、6、7填入右图圆圈中，使横行、竖行、斜行三个圆圈中的数相加之和都等

50、于12。 7．见图。把11、12、13、14、15、16、17七个数填入右图的圆圈中，使横行、竖行的圆圈中的每三个数之和都是42。 8．见图。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11这十一个数，分别填入图中空格内，使相邻的两个或三个空格内的和等于①14、②15。 9．把1、2、3、4、5、6、7、8、9各数分别填入“七一”图形中的九个空格内，使每一横行、竖行的四个、三个或两个空格中的数相加之和都等于13。（见下图） 10．见下图。把1、2、3、4、5、6、7各数填入“十一”图形中的七个空格里，使每一横行、竖行的三个或两个空格中的数相加之和都是10 习题八解答 1．解：见图。

51、找关键数先填。三个大圆相交处的小圆圈中的数是关键数。仔细观察。图中一个大圆上已有9和7两个数，所以 这个大圆上A，B两个小圆圈（如图示）所填的两数之和应为29-（9+7）=13。把13分拆成两数之和（注意要选用题中已给的数） 只有11+2和8+5两种分拆方式可供选用；经试验可知8和5这组数不合用，只能选用11和2这组数。最后可确定将11填入三个大圆相交处的A圈中。接着可较容易地填上其他数了。 2．解：见图。由中间的大圆圈上的三个已知数1，5，8，可求出这个大圆上的最后一个数：24-（1+5+8）=10，这样还剩下2、3、4、6、7、11六个数未被选用。应把它们分别填入六个小圆圈。仔细观察

52、可知： 另外的两个大圆相交处的小圆圈（B圈）中的数是关键数。而且有一个大圆上已经给出了数9，所以该大圆上其余三个小圆圈所填数之和应为24-9=15。因而将15分拆成三个数之和（注意必须选用题中所给的数） 15=7+6+2 经尝试B圈中只能填6。然后再确定左边大圆上三个小圆圈应填的数是11、4和3。 3．解：见下图，解题思路与例3相同，略写如下： 2+3+4+5+6=20。 ①11+11-20=2即中间格填2。 ②12+12-20=4即中间格填4。 ③13+13-20=6即中间格填6。 4．解：见图解题思路与例4相同，略写如下： 　　21+21+21=63 　　5+6+7+

53、8+9+10=45 　　63-45=18（三个角上的三个数之和） 分拆18=5+6+7即三个角上的三个圆圈里应填5、6、7。 5．解：见图， 找关键数先填，不难看出，标有字母A和B的两圆圈中的数是关键数，因为它们是正方形公用的数，解法： 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 　　24+24+24=72 　　72-55=17 　　17=10+7=9+8（这就是两组关键数10和7，以及9和8）。 6．解：见图，找关键数先填。不难看出，中间圆圈里的数是关键数。求关键数： 　　1+2+3+4+5+6+7 　　=28 　　12+12+12=36 　　36-28=8

54、（相当两个中间圆圈里的数之和） 　　82=4（就是一个中间圆圈里的数） 　　12-4=8 　　 　　行三个数之和他是12。 　　7．解：先求关键数：横行和竖行公用的两个圆圈的数是关键数。 　　11+12+13+14+15+16+17=98 　　42+42+42=126 　　126-98=28（28是横行和竖行公用的两个圆圈里的数的和）将28分拆： 　　　（见下面三个图）。 　　8．解：先求关键数。六字的“点”和“横”公用的方格中的数是关键数。 　　方法1： 　　145=70 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66 　　公用的方格中的数是70-66=4再适当选择其他的数填入其他空格。 　　方法2：见下图 　　155=75 75-66=9 　　公用的方格中填9，再适当选择其他各数填入方格。 9．解：见下图，求关键数即共用方格中的数 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 　　134=52 52-45=7 10．解：见下图，先确定“十”字中间方格中的数 　　1+2+3+4+5+6+7=28 　　103=30 　　30-28=2（中间方格中的数 39