电大土木工程《工程数学》期末考试答案小抄解答题

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1、工程数学 解答题 １．设，求⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹． 解: ２．设，求． 解: ３．已知，求满足方程中的． 解: ５．用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵： ⑴ ； ⑵ ； ⑶ ． 解:(1) (2) (3) ６．求矩阵的秩． 解: 所以秩为3. 1．用消元法解线性方程组 解: 2．设有线性方程组 为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解? 解: (1)当时,秩秩,方程组有唯一解; (2)当时, ,秩秩,方程组有无穷多解; (3)当时,

2、 秩秩,方程组有无解. ３．判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一种表出方式．其中 解: 向量不能由向量组线性表出. ４．计算下列向量组的秩，并且判断该向量组是否线性相关？ 解: 该向量组是线性相关的； ５．求齐次线性方程组 的一个基础解系． 解: 故一般解为 一个基础解系为． ６．求线性方程组 的全部解． 解: 全部解为 （,为任意常数） 1．设为三个事件，试用的运算分别表示下列事件： ⑴ 中至少有一个发生； ⑵ 中只有一个发生； ⑶ 中至多有一个发

3、生； ⑷ 中至少有两个发生； ⑸ 中不多于两个发生； （6）中只有C发生； 解: 2．袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率： ⑴ 2球恰好同色； ⑵ 2球中至少有1红球． 解: 3．加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率． 解: 设A,B分别表示第一, 第二道工序出合格品, 那么故 4．市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品

4、占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率． 解: 设A,B,C分别表示甲厂, 乙厂和丙厂生产的产品, D表示买到一个热水瓶是合格品, 那么又 故由全概率公式得 5.某射手每发命中的概率是0.9，连续射击4次，求：（1）恰好命中3次的概率；（2） 至少命中1次的概率。 解： （1）恰好命中3次的概率为 （2）至少命中1次的概率为 6. 设随机变量的概率分布为 试求． 解: 7. 设随机变量具有概率密度 试求． 解: 8. 设，求． 解: 又 9.设，计算⑴；⑵． 解: 令 ,

5、 那么,故 ⑴ ⑵ １０．设是独立同分布的随机变量，已知，设，求． 解: 1．设对总体得到一个容量为10的样本值 4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0 试分别计算样本均值和样本方差． 　2．设总体的概率密度函数为 试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数． 解: (1) 矩估计法. 因为, 所以, 故 (2)似然函数为 取对数得 　3．测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为（单位：m）： 108.5 109.0 110.0 110.5

6、 112.0 测量值服从正态分布,在⑴；⑵未知的情况下，分别求的置信度为0.95的置信区间． 解: ⑴时；选统计量因为所以查正态分布表故于是 即的置信度为0.95的置信区间为 ⑵ 未知的情况下，选统计量查分布表求出使成立的,于是 即的置信度为0.95的置信区间为 4．设某产品的性能指标服从正态分布，从历史资料已知，抽查10个样品，求得均值为17，取显著性水平，问原假设是否成立． 解: 作假设 样本均值,选统计量计算检验量值 取显著性水平,查正态分布表得临界值因为 应拒绝, 即原假设不成立． 　5．某零件长度服从正态分布，过去的均

7、值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm）： 20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5 问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（）． 解: 作假设 样本均值未知, 选统计量计算检验量值 取显著性水平,查分布表得临界值因为应接受, 即用新材料做的零件平均长度没有起变化． ⒉设，求． 解： ⒋写出4阶行列式 中元素的代数余子式，并求其值． 答案： 1．用消元法解线性方程组 解：　　方程组解为 ６．求下列线性方

8、程组的全部解． 解：　　方程组一般解为 令，，这里，为任意常数，得方程组通解 10．用配方法将二次型化为标准型． 解： 　令，，， 即 则将二次型化为标准型　 5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是，求所需设计次数的概率分布． 解： ………… ………… 故X的概率分布是 9. 设，计算⑴；⑵． 解： 1已知，其中，求． 　　1. 解：利用初等行变换得 　　　　　　　 　　　　　　　 即　　　　 　 　　由矩阵乘法运

9、算得 　　　　　 　　　 　3. 设，求和.（其中 ,） 3. 解：设 　　　 　 = = 4. 某一批零件重量，随机抽取4个测得重量（单位：千克）为 14.7, 15.1, 14.8, 15.2 可否认为这批零件的平均重量为15千克(已知)？ 4. 解：零假设．由于已知，故选取样本函数 　　　　　　　　　　　　　　　 经计算得 　　　　　　　　　　　　， 已知， 故接受零假设，即可以认为这批零件的平均重量为15千克.　　　　　　　 1设矩阵，求（1），（2）． 　　1.解： （1）

10、 ………6分 （2）利用初等行变换得 　　　　　　　 　　　　　　　 即　　　　 　………16分 　2. 当取何值时，线性方程组 有解，在有解的情况下求方程组的全部解． 　　2. 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 　　　　　 由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。　　　　　………8分 　　此时相应齐次方程组的一般解为 　　　　　 （是自由未知量） 分别令及，得齐次方程组的一个基础解系 　　　　　 令，得非齐次方程组的一个特解 　　　　　 由此得原方程组的全部解为 　　　　

11、　　（其中为任意常数）　　　　………16分 　 4. 已知某种零件重量，采用新技术后，取了9个样品，测得重量（单位：kg）的平均值为14.9，已知方差不变，问平均重量是否仍为15（）？ 　　4. 解： 零假设．由于已知，故选取样本函数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………5分 已知，经计算得 　　　　　，　　　 　　　………11分 　　由已知条件， 故接受零假设，即零件平均重量仍为15．　　　　　　　　　　　 　　………16分 1．已知矩阵方程，其中，，求． 1．解：因为，且

12、即 ……6分 所以 ． ……10分 2．设向量组，，，，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组． 2．解：因为 （ ）= ……6分 所以，r() = 3． ……8分 它的一个极大线性无关组是 （或）． ……10分 3．用配方法将二次型化为标准型，并求出所作的满秩变换． 3．解： 　　　　 　 　

13、　　　 　 令 （*） 即得 　　 　　 ……6分 由（*）式解出，即得 或写成 　　 ……10分 4．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率． 4．解：设=“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，=“取到的都是白子”，=“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则 　　（1） 　　　

14、　　 ．　　 　　　　 ……5分 　　（2） 　　　　　 ．　　　　　　　　 ……10分 5．设随机变量X ~ N（3，4）．求：（1）P（1< X < 7）；（2）使P（X < a）=0.9成立的常数a ． (，，)． 5．解：（1）P（1< X < 7）= == = 0.9973 + 0.8413 – 1 = 0.8386 ……5分 （2）因为 P（X < a）=== 0.9 所以

15、 ，a = 3 + = 5.56 ……10分 6．从正态总体N（，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得= 21，求的置信度为95%的置信区间．(已知 ) 6．解：已知，n = 64，且 ~ 　　　　　 ……2分 因为 = 21，，且 ……6分 　　所以，置信度为95%的的置信区间为： ．　　　　 ……10分 　1设矩阵，是3阶单位矩阵，且有，求． 1. 解：由矩阵减法运算得 　　　　　 ………5分

16、 利用初等行变换得 　　　　　　　 　　　　　　　 即　　　　 　　由矩阵乘法运算得 　　　　　　　　………16分 　2. 求线性方程组 的全部解． 　2. 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 　　　　　 　　　　　 此时齐次方程组化为 　　　　　 令，得齐次方程组的一个基础解系 　　　　　　　　　 　………12分 令，得非齐次方程组的一个特解 　　　　　 由此得原方程组的全部解为 　　　　　　（其中为任意常数）　 　　　………16分 　3. 设，试求⑴；⑵．（已知 ）

17、3. 解：⑴ 　　　　　　　　 　　………8分 ⑵ 　　　　　　　 　　　　　　　 　 　　　　　　………16分 1．设矩阵，解矩阵方程． 1．解：因为 ， 得 ……10分 所以． ……16分 2．设齐次线性方程组，为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解． 2．解：因为 A = 时，，所以方程组有非零解． ……8分 方程组的一般解为： ，其中为自由元． 令 =1得X1=，则方程组的基础解系为{X1}．

18、 通解为k1X1，其中k1为任意常数． ……16分 3．某射手射击一次命中靶心的概率是，该射手连续射击5次，求： （1）命中靶心的概率； （2）至少4次命中靶心的概率． 3．解：射手连续射击5次，命中靶心的次数 　　（1）设：“命中靶心”，则 　　 　　　　　 ．　 　 ……8分 　　（2）设：“至少4次命中靶心”，则 　　 　　　　　 ．　　　　　　 ……16分 4．设随机变量X ~ N（8，4）．求 和． (，，)． 4．解：因为

19、 X ~ N（8，4），则 ~ N（0，1）． 所以 == == ==0.383 ． ……8分 = = . ……16分 1．设矩阵，求（1）；（2）． 1．解：（1） = ……8分 （2）因为 = 所以 =． ……16分 2．设齐次线性方程组的系数矩阵经过初等行变换，得 求

20、此齐次线性方程组的一个基础解系和通解． 2．解： 因为 得一般解： （其中是自由元） ……7分 令，得； 令，得． 所以，是方程组的一个基础解系． ……14分 方程组的通解为：，其中是任意常数． ……16分 3．设是两个随机事件，已知，，，求：（1） ；（2）． 3．解：（1）=== ……7分 （2） ……16分 4．设随机变量X的密度

21、函数为，求：(1) k； (2) E(X )，D(X)． 4．解：（1）因为 1==== 3 k 所以 k = ……6分 (2) E(X) === ……10分 E() == D(X) = E() - = ……16分 1. 已知，证明可逆，并求． 1．解： ， 因为 ，所以 可逆 且 2. 设矩阵，求

22、（1），（2）． 2．解： （1） （2）利用初等行变换得 　　　　　　　 　　　　　　　 即　　　　 3. 设矩阵，求及． 3．解： 利用初等行变换得 　　　　　　　 　　　　　　　 即　　　　　　　　　 由矩阵乘法得 　　　　　 　　　　　　　　　 4. 已知，其中，求． 4．解：由方程，得，且 利用初等行变换得 　　　　　　　 　　　　　　　 即　　 　　由矩阵乘法得 　　　　　 5. 设矩阵，求矩阵的秩． 5．解：用初等行变换将矩阵化为阶梯形 　　　　　 由此可知矩阵

23、的秩为2．　　　　 6. 求向量组，，，的秩，并求该向量组的一个极大无关组． 6．解：将向量组组成的矩阵化为阶梯形 　　　 　　 由此可知该向量组的秩为3，且是一个极大无关组． 7. 分别说明当取何值时，线性方程组 无解、有唯一解、有无穷多解．在有无穷多解的情况下求出一般解． 7．解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 　　　　　　… 　　当时，方程组无解。当时，方程组有唯一解。当时，方程组有无穷多解。　　　　　　　　 　　在方程组有无穷多解的情况下，一般解为 　　　　　　（其中为自由未知量）　　　 　　8. 求线性方程组 的全部解． 8．解：将方程

24、组的增广矩阵化为阶梯形 　　　　　 此时齐次方程组化为 　　　　　 分别令，和，得齐次方程组的一组基础解系 　　　　　　 　　　　　　　　　　 令，得非齐次方程组的一个特解 　　　　　 由此得原方程组的全部解为 　　　　　　（其中为任意常数）　　 10．当取何值时，线性方程组 有解，在有解的情况下求方程组的全部解． 10．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 　　　　　 由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。　　 　　此时齐次方程组化为 　　　　　 分别令及，得齐次方程组的一个基础解系 　　　　　 令，得非齐次方程组的一

25、个特解 　　　　　 由此得原方程组的全部解为 　　　　　　（其中为任意常数）　　　 11. 假设为两事件，已知，求． 11．解： 12. 一批产品分别来自甲、乙、丙三个厂家，其中50%来自甲厂、30%来自乙厂、20%来自丙厂，已知这三个厂家的次品率分别为0.01，0.02和0.04。现从这批产品中任取一件，求取出的产品是合格品的概率. 12．解：设如下事件： 　　　　　：“产品来自甲厂” 　　　　　：“产品来自乙厂” 　　　　　：“产品来自丙厂” 　　　　　：“产品是合格品” 由全概公式有 　　　　　 　　　

26、　　　　　 由对立事件的关系可知 　　　　　　　　 13. 一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球．今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽取出的是黑球的概率. 13．解：设如下事件： 　　　　　：“第1次抽取出的是黑球” 　　　　　：“第2次抽取出的是黑球” 显然有，由全概公式得 　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　 14. 已知某批零件的加工由两道工序完成，第一道工序的次品率为0.03，第二道工序的次品率为0.01，两道工序的次品率彼此无关，求这批零件的合格率. 14．解： 设如下事件： 　　　　　：“第一道工序加工的零件是次品” 　　　　　：“第二道工序加工

27、的零件是次品” 　　　　　：“零件是合格品” 由事件的关系有 　　　　　　　　　　　　　　　 已知相互独立，由加法公式得 　　　　　 　　　　　　　　　　 由对立事件的关系可知 　　　　　 15. 设，求；（2）；（3）. 15．解： （1） （2） （3） 17. 设，求⑴；⑵． 17． 解：⑴由期望的定义得 　　　　　　　 　 ⑵ 　　　　　 18. 某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布．今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值

28、为15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间． 18．解：由于已知，故选取样本函数 　　　　　　　 已知，经计算得 　　　　　　　　 滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为　　　 19. 据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg／cm2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（）． 19．解： 零假设．由于已知，故选取样本函数 　　　　　　　　　　 已知，经计算得 　　　　　，　 　　由已知条件， 故拒绝零假设，即这批砖

29、的抗断强度不合格。　　　 20. 对一种产品的某项技术指标进行测量，该指标服从正态分布，今从这种产品中随机地抽取了16件，测得该项技术指标的平均值为31.06，样本标准差为0.35，求该项技术指标置信度为0.95的置信区间（）． 20．解： 由于未知，故选取样本函数 　　　　　　　　 已知，经计算得 　　　　　　　　　　　　　　　 该项技术指标置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为　　　　　 1．设矩阵，求：（1）；（2）． 1．解：（1）因为 所以 ． （2）因为

30、 所以 ． 2．求齐次线性方程组 的通解． 2．解： A= 一般解为 ，其中x2，x4 是自由元 令x2 = 1，x4 = 0，得X1 =； x2 = 0，x4 = 3，得X2 = 所以原方程组的一个基础解系为 { X1，X2 }． 原方程组的通解为： ，其中k1，k2 是任意常数． 3．设随机变量．（1）求；（2）若，求k的值． （已知）． 3．解：（1）＝1－ 　　 = 1－＝1－（） 　　　　　

31、 = 2（1－）＝0.045． 　　　 　　（2） 　　 ＝1－ ＝1－ 　　　　 即　k－4 = -1.5， k＝2.5．　　　 4．某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5 cm，标准差为0.15cm.从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm） 10.4，10.6，10.1，10.4 问：该机工作是否正常(, )？ 4．解：零假设.由于已知，故选取样本函数 ～　　　 经计算得，， 由已知条件，且

32、故接受零假设，即该机工作正常.　 　 　 11．设矩阵，求． 11．解：利用初等行变换得 　　　　　　　 　　　　　　　 即　　　　　　　　　　　　　　 ………10分 由矩阵乘法得 　　　 ……16分 12．．当取何值时，线性方程组 有解，在有解的情况下求方程组的全部解． 12．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 　　　　　 由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。　………7分 　　此时齐次方程组化为 　　　　　 分别令及，得齐次方程组的一个基础解系 　　　　　 ………10分 令，得非

33、齐次方程组的一个特解 　　　　　 ………13分 由此得原方程组的全部解为 　　　　　　（其中为任意常数）　　 ……16分 13．设，试求：(1)；(2)． （已知） 13．解：(1) 　　　　　 　　　　 　　　　　 　　　　　　 　　………8分 　　(2) 　　　　　　　　　　 　……16分 13．设，试求: (1)；(2)． （已知） 13．解：(1) 　　　　　　　　 　　 ……8分 (2) 　　　　　　　 　　　　　　　 　 　　 ……16分

34、　3.设，试求⑴；⑵．（已知 ） 3. 解：⑴ 　　　　　　　　　　　 　　⑵ 　　　　　　　　　 　4. 某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm，样本标准差s = 0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平，） 4. 解：零假设．由于未知，故选取样本函数 　　　　　 已知，经计算得 　　　　　， 　　由已知条件， 故接受零假设，即可以认为这批管材的质量是合格的。 　1设矩阵，且有，求． 　　1. 解：利用初等行变换得 　　　　　　　 　　　　　　

35、　 即　　　　　　 　　　 　　由矩阵乘法和转置运算得 　　　　　 　2. 当取何值时，线性方程组 有解，在有解的情况下求方程组的一般解． 2. 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 　　　　　 由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解．此时方程组的一般解为 　　　　　 　3. 设，试求⑴；⑵．（已知 ） 3. 解：⑴ 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　⑵ 　　　　　　　　　 11．设矩阵，且有，求． 解：利用初等行变换得 即　　 ……

36、10分 　　由矩阵乘法和转置运算得 　　　　　　 ……16分 12．求线性方程组 的全部解． 解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 　 　　方程组的一般解为 　　　　　　（其中为自由未知量） ……7分 令=0，得到方程的一个特解. ……10分 方程组相应的齐方程的一般解为 　　（其中为自由未知量） 令=1，得到方程的一个基础解系. ……13分 于是，方程组的全部解为 （其中为任意常数） ……16分 31