北师大版高中数学导学案《分类加法计数原理和分步乘法计数原理》

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1、 1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理 学习目标：：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理提示和解决一些简单的应用问题； 学习重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 学习难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 自主学习 1 分类加法计数原理 问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ 问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 思考

2、：你能说说以上两个问题的特征吗？ （2）归纳结论:分类加法计数原理 2 分步乘法计数原理 问题3：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以,,…，,,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 用列举法可以列出所有可能的号码： 思考：你能说说这个问题的特征吗？ （2）归纳结论:分步乘法计数原理 3．注意：分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题 ②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各

3、种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成. 展示交流 例1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. ①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ ②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 例2 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两

4、边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？ 例3.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 A～G 或 U～Z , 后两个要求用数字1～9．问最多可以给多少个程序命名？ 提示：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第 1 步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类． 拓展巩固 1. .书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书． （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的

5、书两本，有多少种不同的取法？ 2 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 反思与收获： 1．2．1排列 学习目标：知道排列数的意义，记住排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。 学习重点：排列、排列数的概念 学习难点：排列数公式的推导 自主学习： 问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？ 提示：解

6、决这一问题可分两个步骤： 第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 人，有 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 人中去选，于是有 种方法． 根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 = 种 问题2．从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 提示：解决这个问题分三个步骤： 第一步先确定左边的数，在4个字母中任取 个，有 种方法

7、； 第二步确定中间的数，从余下的 个数中取，有 种方法； 第三步确定右边的数，从余下的 个数中取，有 种方法 由分步计数原理共有： = 种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法 结论：排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的

8、个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示 注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列 排列数公式 全排列： 全排列数：（叫做n的阶乘）规定 0! =1 . 合作探究 例1．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？ 展示交流： 练习

9、1(1）从5本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？ (2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 练习2．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？提示：在本问题的。到 9 这 10 个数字中，因为。不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此。是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题 反思与收获 1．2．2组合 学习目标：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别，能判断一

10、个问题是排列问题还是组合问题。 学习重点：组合的概念和组合数公式 学习难点：组合的概念和组合数公式 自主学习 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 组合数的概念： 组合数公式

11、 规定: . 合作探究 例1．判断下列问题是组合还是排列 （1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？ （2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？ （3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？ （4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？ （5）10个人互通电话一次，共多少个电话？ 问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？（2）什么样的两个组合就叫相同的组合

12、 例2． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问： (l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？ 展示交流： 例3．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？ (2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？ 例4．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽

13、出 3 件 . (1）有多少种不同的抽法？ (2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？ 拓展巩固 1．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？ 2．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球， （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ （2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 反思与收获： 1．3．1二项式定理 学习目标：记住二项式定

14、理和二项展开式的通项公式 学习重点：二项式定理及通项公式的记住及运用 学习难点：二项式定理及通项公式的记住及运用 自主学习： ⑴； ⑵ ⑶． 二项式定理： ⑴的展开式的各项都是次式，即展开式应有下面形式的各项： ，，…，，…，， ⑵展开式各项的系数： 每个都不取的情况有种，即种，的系数是； 恰有个取的情况有种，的系数是，……， 恰有个取的情况有种，的系数是，……， 有都取的情况有种，的系数是， ∴， 这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的二项展开式，⑶它有项，各项的系数叫二项式系数， ⑷叫二项展开式的通项，用表示，即通项． ⑸ 特例： 合作

15、探究 例1．展开． 例2．求的展开式中的倒数第项 展示交流： 例3．展开． 例4．求（1），（2）的展开式中的第项． 拓展巩固 1．（1）求的展开式常数项； （2）求的展开式的中间两项 2．（1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数及二项式系数 反思与收获： 课题：1. 2 排列与组合 【使用说明】独立完成导学案所设计的问题，并在不会或有疑问的地方用红笔标出，规范书写. 课上小组合作探究完成，并及时用红笔纠错，补充. 【学习目标】 掌握排列、组合问题的解题策略 【学习重点】 （1）特殊元

16、素优先安排的策略： （2）合理分类与准确分步的策略； （3）排列、组合混合问题先选后排的策略； （4）正难则反、等价转化的策略； （5）相邻问题捆绑处理的策略； （6）不相邻问题插空处理的策略。 【学习难点】 综合运用解题策略解决问题。 【学习过程】 一、方法介绍 排列问题的应用题是学生学习的难点，也是高考的必考内容,笔者在教学中排列 问题归纳为三种类型来解决： 特殊方法： （1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。 （2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。

17、 （3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进行排列。 二、合作探究 （一）.能排不能排排列问题(即特殊元素在特殊位置上有特别要求的排列问题) 解决此类问题的关键是特殊元素或特殊位置优先.或使用间接法．（特殊优先） 1.（1）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (2)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (3)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ (4)7位同学站成一排，其中甲不能在排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？ 2.某天课表共六节课，要排政治、语文、

18、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？ （二）.相邻不相邻排列问题(即某两或某些元素不能相邻的排列问题) 相邻排列问题一般采用大元素法,即将相邻的元素“捆绑”作为一个元素，再与其他元素进行排列，解答时注意“释放”大元素，也叫“捆绑法”．不相邻排列问题(即某两或某些元素不能相邻的排列问题)一般采用“插空法”． 3．7位同学站成一排， (1)甲、乙和丙三同学必须相邻的排法共有多少种？ (2)甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？ （3）甲、乙两同学间恰好间隔2人的排法共有多少种？ （三）.机会均等排列问

19、题(即某两或某些元素按特定的方式或顺序排列的排列问题)解决机会均等排列问题通常是先对所有元素进行全排列,再借助等可能转化，即乘以符合要求的某两（或某些）元素按特定的方式或顺序排列的排法占它们（某两（或某些）元素）全排列的比例，称为“等机率法”；或将特定顺序的排列问题理解为组合问题加以解决. 4. 7位同学站成一排． (1)甲必须站在乙的左边? (2)甲、乙和丙三个同学由左到右排列? 三、反馈练习 1.（2005辽宁卷）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答） 2

20、.（2004. 重庆理）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 （ ） A． B． C． D． 3.（2003京春理）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ） A.42 B.30 C.20

21、 D.12 4. 7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数。 （1）甲排中间；（2）甲不排两端；（3）甲，乙相邻； （4）甲在乙的左边（不要求相邻）；（5）甲，乙，丙连排； （6）甲，乙，丙两两不相邻。 对排列组合中的“分配”问题的探究 一、方法介绍 （1）、解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能够熟练确定一个问题是排列还是组合问题，牢记排列数和组合数的公式以及组合数的性质，容易产生的错误主要是在分类的过程中，标准不明确，前后不统一，要么重复，要么遗漏，因此在解题时要认真的分析题目的条件，作出正确的分类或分步； （2）、解决排列组合综合问题时，要

22、注意 ① 把具体问题转化为排列或组合问题。 ② 通过分析确定是采用分类计数原理还是分步计数原理。 ③ 分析题目的条件，避免选取时重复或遗漏。 ④ 列处计算公式，通过排列数或组合数公式计算结果。 下面对排列组合中的“分配”问题做出简单的探究 排列组合中的“分配”问题是排列组合中的一类常见问题，如：教师分配到班级中教学；护士、医生分配的学校给学生查体；小球放置在有标号的盒子里等都是排列组合中的常见“分配问题”；下面通过例题，对常见的几种“分配”问题简单作出探究： 二、合作探究 （一）.相同元素的“分配”问题 1.有10名三好学生名额，分配到高三年级的6个班，每班至少一个名额，共

23、有多少种不同的分配方案？ （二）.不同元素的“分配”问题 分析：不同元素的“分配”问题，有时比较容易混淆，作为分配问题，可以分两步来完成，先分组后发放的原则，这样就对分配问题有更加明确的理解； 2.有不同的6本书分别分给甲、乙、丙三人， ⑴如果甲1本，乙2本，丙3本有多少种方法？ ⑵如果一人1本，一人2本，一人3本，共有多少种方法？ ⑶平均分成3堆，每堆2本，共有多少种分法？ ⑷如果每人2本，共有多少种分法？ 3.把6个不同的小球放在编号为的三个盒子里，要求每个盒子都不空，共多少种不同的方法？ 对排列组合中的“分配”问题练习 1.

24、4.把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ） A．168 B．96 C．72 D．144 2．若，则等于 （A） 14 12 13 15 3.用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，2，4不相邻的有 （B） 360个 408个 504个 576个 4.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选取会英语和日语的各一人，则不同的选法有________种. 5．从6名短跑运动员中选出4人参加4 100米接力赛，如

25、果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有 A．180种 B．240种 C．300种 D．360种 6.书架上原有5本书，再放上2本，但要求原有书的相对顺序不变，则不同的放法有_____________种. 7.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中 （1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ （2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？ （3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？ （4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？ 8.有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式

26、？ （1）分成1本、2本、3本三组； （2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本； （3）分成每组都是2本的三组； （4）分给甲、乙、丙三人，每人2本. 9.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？ （1）只有一名女生； （2）两队长当选； （3）至少有一名队长当选； （4）至多有两名女生当选. 10.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座

27、位不能坐，并且这2人不左右相邻，共有多少种不同排法？ 11.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？ 12. 有7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下各有不同站法多少种？（1）2名女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）老师不站中间，女生不站两端。 1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 学习目标：记住二项式系数的四个性质

28、。 学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 自主学习 1二项式系数表（杨辉三角） 展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数定义域是，性质： （1） ．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 图象的对称轴 ． （2） ． 当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；

29、 当是偶数时， 取得最大值；当是奇数时， 取得最大值． （3）各二项式系数和： 合作探究： 例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 例2．已知，求： （1）； （2）； （3）. 展示交流： 例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数 例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数 拓展巩固 1．若对于任意实数，有，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（　） A.3 B.5 C.6 D.10 5． 的展开式中常数项为 　　　　　 ．（用数字作答） 6．若的二项展开式中的系数为，则　　　（用数字作答）． 反思与收获： 15