[理学]线性代数 胡觉亮 习题参考答案

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1、习 题 解 答 习 题 一 （A） 1．用消元法解下列线性方程组： （1） 解 由原方程组得同解方程组 得方程组的解为令，得方程组的通解为 ，其中为任意常数． （2） 解 由原方程组得同解方程组 所以方程组无解． （3） 解 由原方程组得同解方程组 得方程组的解为． （4） 解 由原方程组得同解方程组 得方程组的解为． 2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵： （1）． 解 ，得 行阶梯形：（不唯一）；行最简形：． （2）． 解 ，得 行阶梯形：（不唯一）；行最简形：． （3）．

2、解 ，得 行阶梯形：（不唯一）；行最简形：． （4）． 解 ，得 行阶梯形：（不唯一）；行最简形：． 3．用初等行变换解下列线性方程组： （1） 解 ， 得方程组的解为 ． （2） 解 ， 得方程组无解． 　 （3） 解 ， 得方程组的解为令，得方程组的通解为 ，其中为任意常数． （4） 解 ， 得方程组的解为令，得方程组的通解为 ，其中为任意常数． （B） 1．当为何值时，线性方程组有无穷多解，并求解． 解 ． 当时，，方程组有无穷多解，且解为 ． 令，得方程组的通解为 ，其中为任意常数． 0.5 B A C 0

3、.2 0.7 0.7 0.2 0.3 0.3 0.1 3．（联合收入问题）已知三家公司A、B、C具有如下图所示的股份关系，即A公司掌握C公司50%的股份，C公司掌握A公司30%的股份，而A公司70%的股份不受另外两家公司控制等等． 3 现设A、B和C公司各自的营业净收入分别是12万元、10万元、8万元，每家公司的联合收入是其净

4、收入加上其它公司的股份按比例的提成收入．试确定各公司的联合收入及实际收入． 解 A公司的联合收入为309390.86元，实际收入为216573.60元； B公司的联合收入为137309.64元，实际收入为27461.93元； C公司的联合收入为186548.22元，实际收入为55964.47元. 习 题 二 （A） 1．利用对角线法则计算下列行列式： （1）． 解 原式． （2）． 解 原式． （3）． 解 原式． （4）． 解 原式． （5）． 解 原式． 2．按定义计算下列行列式： （1）． 解 原式． （2）．

5、解 原式． 3．利用行列式的性质，计算下列行列式： （1）． 解 原式． （2）． 解 原式． （3）． 解 原式． （4）． 解 原式 ． （5），其中． 解 原式． 4．利用行列式展开定理，计算下列行列式： （1）． 解 原式． （2）． 解 原式． （3）． 解 原式 ． （4）． 解 将行列式按第一行展开，得，则 ， 所以． 5．利用行列式展开定理证明：当时，有 ． 证 将行列式按第一行展开，得，则 ， 所以．

6、 （1） 由关于与对称，得．　　　　　　　　　　　　　　 （2） 由（1）与（2）解得． 6．利用范德蒙德行列式计算行列式． 解 原式 ． 7．设，试求和． 解 ； ． 8．利用克拉默法则解下列线性方程组： （1） 解 经计算，得，所以方程组的解为． （2） 解 经计算，得，所以方程组的解为 ． 9．试问取何值时，齐次线性方程组有非零解． 解 方程组有非零解，则．又 ， 所以． 10．试问、取何值时，齐次线性方程组有非零解． 解 方程组有非零解，则．又 ， 所以或． （B）

7、1．选择题： （1）设，则( )． （A） （B） （C） （D） 解 原式． 选（A）． （2）四阶行列式的值等于（ ）． 　　（A） （B） （C） （D） 解 将行列式的第4行依次与第3行、第2行交换，再将行列式的第4列依次与第3列、第2列交换，得 ． 选（D）． （3）设线性方程组若，则方程组的解为（ ）． 　　（A） （B） 　　（C） （D） 解 将方程组写成标准形式：有 ， 所以方程组的解为 ． 选（C）． （4

8、）方程=的根的个数为（ ）． （A） （B） （C） （D） 解 方法一：将按第1列展开，知为3次多项式，因此有3个根．选（C）． 方法二：有3个根 ． 选（C）． 2．计算四阶行列式． 解 ． 3．计算四阶行列式． 解 ． 4．计算阶行列式． 解 ． 5．计算五阶行列式． 解 方法一：一般地，对于此类阶行列式，将其按第一行展开，得 ， 则 ， 有 ， 所以． 方法二：由习题二（A）的第5题，得当时，有 ， 所以． 6．计算阶行列式．

9、 解 将行列式按第一行展开，得，则 ． 7．已知1326、2743、5005、3874都能被13整除，不计算行列式的值，证明能被13整除． 证 ． 由已知，得后行列式的第4列具有公因子，所以原行列式能被13整除． 8．证明:． 证 构造5阶行列式 ， 则． （1） 将按第5列展开，得 ． （2） 比较（1）与（2）右边的系数，知结论成立． 9．证明：当时，齐次线性方程组有非零解． 证 方程组的系数行列式 ， 当，即时，方程组有非零解． 10．应用题： （1）1；（2）． 习

10、 题 三 （A） 1．下列矩阵中，哪些是对角矩阵、三角矩阵、数量矩阵、单位矩阵． ，，，． 解 是数量矩阵，也是对角矩阵；、是三角矩阵；都不是． 2．设矩阵． （1）计算； （2）若满足，求． 解 （1）； （2）． 3．设有3阶方阵，，且，，求． 解 　　　 ． 4．计算下列矩阵的乘积： （1）． 解 原式． （2）． 解 原式． （3）． 解 原式． （4）． 解 原式． （5）． 解 原式． （6）． 解 原式． 5．已知矩阵，．求： （1）与； （2）与. 解 （1）

11、，； （2），． 6．求与矩阵可交换的所有矩阵． 解 设与可交换的矩阵．由，得 令，得，其中为任意常数． 7．利用归纳法，计算下列矩阵的次幂，其中为正整数： （1）． 解 令，有 则． （2）． 解 令，有，则 ． （3）． 解 令，有 则． 8．已知矩阵，，令，求，其中为正整数． 解 ． 9．若为阶对称矩阵，为阶矩阵，证明为对称矩阵． 证 因为，所以为对称矩阵． 10．利用公式法求下列矩阵的逆矩阵： （1）． 解 ，又，所以． （2）． 解 ，又，所以． （3）． 解 ，又，所以． （4）． 解 ，又，

12、所以． 11．解下列矩阵方程： （1）． 解 ． （2）设，其中，． 解 由，得．又 ， 则可逆，且．经计算，得 ． 所以． （3）． 解 ，则 ． 12．设，且矩阵满足，求矩阵． 解 等式两边左乘以，得 ． 又，上式两边右乘以，得，即，所以 ． 13．设都是阶矩阵，证明：可逆的充分必要条件是都可逆． 证 可逆都可逆． 14．设阶方阵满足，证明可逆，并求． 证 由，得，即 ， 所以可逆，且． 15．设为阶矩阵，且，证明及都是可逆矩阵． 证 由，得及，所以及都是可逆矩阵． 16．已知为三阶方阵，且，求： （1）； （2）

13、； （3）． 解 （1）原式． （2）原式． （3），有 原式． 17．设，求． 解 ，则． 18．（1）设，证明． （2）设，且，求与． 证 （1）． （2）由，得，且．又 ， 所以． 19．利用分块矩阵计算下列矩阵的乘积： （1）． 解 将矩阵进行如下分块： ， 则原式．又 ， 所以原式． （2）． 解 将矩阵进行如下分块： ， 则原式． 20．利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵： （1）． 解 将矩阵进行如下分块： ， 则．又，所以 ． （2）． 解 将矩阵进行如下分块： ， 则．又，所以． （3）

14、． 解 将矩阵进行如下分块： ， 则．又 ， 所以． 21．设矩阵，利用分块矩阵计算． 解 将矩阵进行如下分块： ， 则．又，所以 ． 22．设矩阵，利用分块矩阵计算． 解 将矩阵进行如下分块： ， 则，所以． 23．（1）设，且阶矩阵和阶矩阵均可逆，试证明． 　　（2）设矩阵，其中为非零常数，求． 证 （1）因为，所以可逆，且 ． （2）将矩阵进行如下分块： ， 则．又，所以 ． 24．利用矩阵的初等行变换判断下列矩阵是否可逆；如可逆，求其逆矩阵． （1）． 解 ． 因为，所以不可逆． （2）． 解 ， 所以可逆，且．

15、 （3）． 解 ， 所以可逆，且． （4）． 解 ， 所以不可逆． 25．利用矩阵的初等行变换解下列矩阵方程： （1）． 解 ， 所以． （2）． 解 将方程两边转置，得．由 ， 得． 26．求下列矩阵的秩： （1）． 解 ，所以． （2）． 解 ． （3）． 解 ． （4）． 解 ． 27．设矩阵，且，求的值． 解 ． 由，得． 28．设矩阵，问取何值时，使得 （1）；（2）；（3）． 解 ，有 当且时，；当时，；当时，． 29．设是矩阵，且的秩为，而，求． 解 ，则． 30．设为

16、阶矩阵，满足，证明：． 证 由，得，所以 . 又 ， 所以. 31．设三阶矩阵，试求与． 解 ． 因为． 32．求解下列线性方程组： （1） 解 方程组的系数矩阵 ． 因为，所以方程组只有零解． （2） 解 方程组的增广矩阵 ， 所以方程组的解为． （3） 解 方程组的系数矩阵 ， 得方程组的解为 令，得方程组的通解 ，其中为任意常数． （4） 解 方程组的增广矩阵 ． 因为，所以方程组无解． （5） 解 方程组的增广矩阵 ， 得方程组的解为 令，得方程组的通解 ，其中为任意常数． （6） 解 方程组

17、的增广矩阵 ， 得方程组的解为 令，得方程组的通解为 ，其中为任意常数． 33．试问取何值时，下列非齐次线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解． （1） 解 方程组的系数行列式 ． 当，即且时，方程组有唯一解． 当时， ． 因为，所以方程组无解． 当时， ． 因为，所以方程组有无穷多解． （2） 解 方程组的系数行列式 ． 当，即且时，方程组有唯一解． 当时， ． 因为，所以方程组无解． 当时， ． 因为，所以方程组有无穷多解． 34．试问取何值时，非齐次线性方程组有解，并求解． 解 方程组的增广矩阵 ． 当时，

18、 ， 有，则方程组有无穷多解，且解为 令，得方程组的通解为 ，其中为任意常数． 35．求平面上三点共线的充分必要条件． 解 设直线方程为．则 平面上三点共线有非零解 ，即． （B） 1．选择题： （1）设为阶矩阵，以下结论正确的是（ ）． 　　(A)若、是对称矩阵，则也是对称矩阵． (B)． 　　(C)若，且可逆，则． (D)若与等价，则与相等． 解 选（C）． （2）设和均为矩阵，则必有（ ）． (A)=+． (B)． (C)=．

19、 (D)． 解 选（C）． （3）设为阶矩阵，是的伴随矩阵，为常数，则（ ）． 　　(A)． (B)． (C)． (D)． 解 由伴随矩阵的定义，知选（C）． （4）设和均为阶非零矩阵，且，则和的秩（ ）． (A)必有一个等于零． (B)一个等于，一个小于． (C)都等于． (D)都小于． 解 由，得．又，知．所以，故选（D）． （5）对于非齐次线性方程组，若，则（ ）． 　　(A)当时，有解． (B

20、)当时，有唯一解． (C)当时，有唯一解． (D)当时，有无穷多解． 解 当时，，故选（A）． 2．设矩阵，试求． 解 ，则 ． 3．设矩阵，且，试求． 解 由，得．又，有 ， 两边取行列式，得，所以． 4．设矩阵，且，试求． 解 ，则 ． 5．设矩阵，试求． 解 ，所以 ． 6．设矩阵，矩阵满足，试求矩阵． 解 由，得．又，有． 经计算可得，所以． 7．设矩阵，且矩阵满足，试求矩阵． 解 由，得．（注意）又 ， 得方程组的解为令，得为任意常数． 8．设阶矩阵，试求的秩． 解 ． 当时，为非奇异矩阵，所以； 当时，，则；

21、 当时，的阶子式 而，所以． 9．试求取何值时，齐次线性方程组有非零解，并求通解． 解 方程组的系数矩阵 ． 当时，，方程组有非零解，且 ， 得方程组的解为 令，得方程组的通解为 ，其中为任意常数． 10．试求取何值时，非齐次线性方程组无解、有唯一解或无穷多解，并在有无穷多解时求方程组的通解． 解 方程组的系数行列式 ． 当且时，方程组有唯一解． 当时， ． 因为，所以方程组有无穷多解，且通解为 ，其中为任意常数． 当时，方程组无解． 11．设矩阵，为三阶非零矩阵．试求常数，使得． 解 有非零解．又，所以． 12．证明：（1）设

22、为矩阵，则有意义的充分必要条件是为同阶矩阵． （2）对任意阶矩阵，都有，其中为单位矩阵． 证 （1）设为矩阵，为矩阵，则 有意义， 即为同阶矩阵． （2）设，则的主对角线上元素之和为 ， 而的主对角线上元素之和为，所以． 13．证明：任意阶矩阵都可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和． 证 设为任意阶矩阵，则 ， 其中为对称矩阵，为反对称矩阵．（你是否能联系到函数可以表示为奇函数与偶函数之和） 14．已知阶矩阵满足，试证可逆，并求． 证 由，得 ， 所以可逆，且． 15．设为元素全为1的阶方阵，证明：． 证 ．又，故 ， 所以． 16．设阶矩阵

23、与等价，且，证明． 证 与等价，则存在阶可逆矩阵与，使得，有 ． 注：此结论告诉我们初等变换不改变矩阵的可逆性． 17．设为阶方阵，且，证明． 证 因为，所以．又 ， 所以． 18．设是矩阵，是矩阵，其中．若，其中为阶单位矩阵．证明方程组只有零解． 证 由，得．又，得，所以方程组只有零解． 习 题 四 （A） 1．设，求和． 解 ，． 2．求解下列向量方程： （1），其中． 解 ． （2），其中． 解 ． 3．试问向量可否由向量组线性表示？若能，求出由线性表示的表达式． （1）． 解 设．由 ， 得，所以可由向量组线性表

24、示，且，得表达式． （2）． 解 设．由 ， 得，所以可由向量组线性表示，且，得表达式． 4．讨论下列向量组的线性相关性： （1）． 解 向量组所含向量个数大于向量的维数，所以该向量组线性相关． （2），其中全不为零． 解 对应的分量成比例，则线性相关，所以该向量组线性相关． （3）， ，． 解 ． 因为，所以该向量组线性无关． （4）． 解 ． 因为，所以该向量组线性相关． 5．（1）设，证明：线性相关当且仅当． （2）设，证明：线性相关当且仅当它们对应的分量成比例． 证 （１）线性相关． （2）线性相关，其中不全为零．不妨设，则 线性相

25、关，即对应的分量成比例． 6．任取，又记 ，证明必线性相关． 证 显然，即 ， 所以必线性相关． 7．若向量组由向量组线性表示为 试将向量组由向量组表示． 解 由解得 8．设为一组非零向量，按所给的顺序，每一都不能由它前面的个向量线性表示，证明向量组线性无关． 证 用数学归纳法证明．时，，则线性无关．设时成立，即线性无关．当时，若线性相关，则可由线性表示，矛盾，所以向量组线性无关． 9．设非零向量可由向量组线性表示，证明：表示法唯一当且仅当向量组 线性无关． 证 可由向量组线性表示 ． 则 表示法唯一有唯一解 　　　　　　　 　　　　　线性无

26、关． 10．设，证明：向量组线性无关当且仅当任一维向量均可由线性表示． 证 必要性：线性无关，任取，则线性相关，所以可由线性表示． 充分性：任一维向量均可由线性表示，则单位坐标向量可由线性表示，有 ， 所以，即线性无关． 11．求下列各向量组的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示． （1）． 解 ， 所以，本身为一个极大无关组； （2）． 解 ， 所以，为一个极大无关组，且 ，． （3）． 解 ， 所以，为一个极大无关组，且 ，． 12． 设A：和B：为两个同维向量组，秩分别为和；向量组 的秩为．证明：． 证 先证．显然组

27、与组分别可由组线性表示，则，且，所以． 次证．设为组的一个极大无关组，为组的一个极大无关组，则组可由线性表示，有 ． 13．设为阶可逆阵，与均为矩阵，且．试证明． 证 由，知的列向量组可由的列向量组线性表示，则． 因为可逆，则，知的列向量组可由的列向量组线性表示，则．所以． 14．设为矩阵，证明：当且仅当． 证 必要性显然，下证充分性：． 设为的任一列向量，则，所以．由的任意性知． 15．设． （1）求由向量组生成的向量空间的一组基与维数； （2）求向量在此组基下的坐标． 解 由，得 （1）为由向量组生成的向量空间的一组基，且维数为2； （2）向量在此组

28、基下的坐标为． 16．设．证明向量组是的一组基，并求向量在这组基下的坐标． 证 由， 得是的一组基，且在这组基下的坐标为． 17．在中取两组基：； ． （1）求由基到基的过渡矩阵． （2）若向量在基下的坐标为，求向量在基下的坐标． 解 设．由 ， 得（1）由基到基的过渡矩阵． （2）在基下的坐标为 ． 18．在中求一向量，使其在下面两组基： ； 下有相同的坐标． 解 由，得，即 ． 令．由 ， 得取，得． 19．求下列齐次线性方程组的一个基础解系及通解． （1） 解 由，得 令

29、，得方程组的一个基础解系，通解为，其中为任意常数． （2） 解 由，得 令，得方程组的一个基础解系，，通解为，其中为任意常数． （3） 解 由，得 令，得方程组的一个基础解系，，通解为，其中为任意常数． （4） 解 由，得 令，得方程组的一个基础解系 ，，， 通解为，其中为任意常数． 20． 判断下列非齐次线性方程组是否有解，若有解，并求其解（在有无穷多解的情况下，用基础解系表示全部解）． （1） 解 方程组的增广矩阵 ． 因为，所以方程组有唯一解，且解为． （2） 解 方程组的增广矩阵 ， 因为，所以方程组有无穷多解，且 令，得通解

30、为 其中为任意常数． 　 （3） 解 方程组的增广矩阵 ． 因为，所以方程组有唯一解，且解为． 21．设三元非齐次线性方程组，矩阵的秩为2，且, 是方程组的两个特解，试求此方程组的全部解． 解 由已知得导出组的基础解系含个解向量，设为，则可取 ． 所以方程组的通解为，其中为任意常数． 22．设是齐次线性方程组的基础解系，求证也是 的基础解系． 证 显然是的解，只需证明它们线性无关． ． 由，得 ，所以线性无关． 23．设是阶方阵．证明：存在一个阶非零矩阵，使的充要条件是． 证 存在，使得有非零解． 24．设是阶方阵，为矩阵，且．证明：

31、 （1）若，则； （2）若，则． 证 （1），则．又． （2）．由（１）得． （B） 1．设向量组线性相关，而线性无关，问： （1）能否由线性表示？为什么？ （2）能否由线性表示？为什么？ 解 （1）线性无关，则线性无关；又线性相关，则可由线性表示；所以可由线性表示． （2）若可由线性表示，又可由线性表示，则可由线性表示，有线性相关，矛盾，所以不能由线性表示． 2．若向量组，其中的第个分量为，余皆为．试 讨论该向量组的线性相关性． 解 ． 当且时，，向量组线性无关； 当或时，，向量组线性相关． 3．设向量组线性无关，，，…，，

32、试讨论的线性相关性．若向量组线性相关呢？ 解 ，且 ． （1）若线性无关，则 当为偶数时，，有，此时线性相关； 当为奇数时，，有，此时线性无关． （2）若线性相关，则，此时线性相关． 4．设为维非零向量，为阶方阵，若 ，， 试证明线性无关． 证 设． 该式两边左乘以，得 依此类推，得．由，得． 同理可证．所以线性无关． 5．设，其中为3阶方阵，为3维 向量，且，证明线性无关． 证 设． （1） （1）式两边左乘以，得． （2）

33、 （2）减去（1），得． （3） （3）式两边左乘以，得． （4） （4）减去（3），得．因为，所以． 代入（３），得，所以．代入（1），得，所以． 所以线性无关． 6．设为阶方阵，为维列向量．证明：若存在正整数，使，而， 则线性无关． 证 设，该式两边左乘以，得 ． 因为，所以． 同理可证．所以线性无关． 7．设向量组的秩与向量组相同，且组可由组线性表示，证明组与组等价． 证 设，为组的一个极大无关组，为组的一个极大无关组．由组可

34、由组线性表示，得 . 又，则，即为可逆矩阵，有 ， 即可由线性表示，所以组可由组线性表示.故组与组等价． 8．设向量组：线性无关，向量组：能由线性表示为 ， 其中，证明：向量组线性无关当且仅当的秩． 证 向量组线性无关只有零解 只有零解 　 　 　 　 　 　 只有零解． 9．设都是矩阵，试证明：． 证 先证．显然的列向量组可由的列向量组和的列向量组线性表示，则． 此证．设，与分别为与的列向量组的一个极大无关组，则的列向量组可由与线性表示，有 ， 即． 10．设是的一组基，，，． （1）证明是的一组基；

35、 （2）求由基到基的过渡矩阵； （3）若向量在基下的坐标为，求向量在基下的坐标． 证 ．　　　　　　　　　　　　　　　（１） （１）由，得，则线性无关，所以是的一组基． （2）由（１）式，得由基到基的过渡矩阵． （3）在基下的坐标 ． 11．当为何值时，齐次线性方程组只有零解？有非零解？在方程组有非零解时，求其全部解． 解 方程组的系数行列式 ． 当，即时只有零解. 当，即时有非零解，且通解为 ，其中为任意常数． 12．设是的三个特解，则（　　）也是的解． （A）；　　　 （B），； （C）；　　　　　（D)． 解 B．实质上，一般地有：若为的

36、解，则 也是的解． 13．考虑线性方程组问取什么值时有解？当有解时，求它的通解． 解 方程组的增广矩阵 ， 则当时方程组有解，且 ， 所以方程组的通解为 ， 其中为任意常数 14．设矩阵，其中线性无关，且．向量 ． 试求方程组的通解． 解 由线性无关，且，得是的一个极大无关组，则，即，从而的基础解系含 个线性无关的解向量，设为．由，得 ， 则是的解，故可取． 由，得是的一个特解．所以的通解为，其中为任意常数． 15．设为矩阵，为矩阵，且．求证： （1）的各列向量是齐次线性方程组的解； （2）若，则； （3）若，则的各列向量线性

37、相关． 证 （1）令．由，得 ， 即，所以的各列向量是齐次线性方程组的解． （2）若，则只有零解，所以． （3）若，则有非零解，所以的各列向量线性相关． 16．设为阶方阵（），证明： （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，． 证 （1）当时，，所以． （2）当时，由，得有．又中至少有一个阶子式不为零，则，所以． （3）当时，则中所有一个阶子式全为零，有． 习 题 五 (A) 1．求下列矩阵的特征值和特征向量： （1）． 解 的特征多项式 ， 所以的特征值为． 当时，解特征方程组．由 ， 得，令，得属于的

38、线性无关的特征向量，全部特征向量为． 当时，解特征方程组． ， 得，令，得属于的线性无关的特征向量是，全部特征向量为． （2） ． 解 的特征多项式 ， 所以的特征值为． 当时，解特征方程组．由 ， 得令，得属于的线性无关的特征向量是，全部特征向量为． 当时，解特征方程组． ， 得令，得属于的线性无关的特征向量是，全部特征向量为． （3） ． 解 的特征多项式 ， 所以的特征值为． 当时，解特征方程组．由 ， 得，令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为不全为零）． 当时，解特征方程组．由 ， 得令，得属于的线性无关的特征向量

39、是，全部特征向量为． （4） ． 解 的特征多项式 ， 所以的特征值为． 当时，解特征方程组．由 ， 得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为． 当时，解特征方程组．由 ， 得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为． （5） ． 解 的特征多项式 ， 所以的特征值为，，． 当时，解特征方程组．由 ， 得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为． 当时，解特征方程组．由 ， 得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为． 当时，解特征方程组．由 ， 得令，得属于特征值的线性无关的特征向

40、量为，全部特征向量为． （6）． 解 的特征多项式 ， 所以的特征值为． 当时，解特征方程组．由 ， 得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为不全为0． 当时，解特征方程组．由 ， 得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为． 2． 已知矩阵的特征值为，求的值． 解 由，得，则． 3． 已知矩阵 的特征值为，求x的值． 解 ．由，得，解得． 4． 已知三阶方阵的三个特征值分别为，矩阵．求矩阵的特征值及的行列式． 解 令，则的特征值分别为，且 ． 5．已知3阶矩阵的特征值为，求及的伴随矩阵的特征值． 解 令，则的特

41、征值为 ． 又，则特征值为． 6．设，求： （1）的特征值与特征向量；　（2）的特征值；　（3）的特征值． 解 （1）的特征多项式 ， 则的特征值为；属于特征值全部特征向量为 ，、不全为0； 属于特征值全部特征向量为，． （2），则的特征值为． （3）令，则的特征值为 ，． 7．设矩阵满足等式，试证明的特征值只能取值或4． 解 设为的特征值．由，得满足，解得 或． 8．设方阵满足，其中是的转置矩阵，为单位阵．试证明的实特征向量所对应的特征值的模等于1． 解 设为的实特征向量，对应的特征值为，则．由，得 ， 即，有．又，则，所以． 9．已知，

42、，且与相似，求常数． 解 显然的特征值为．与相似，则的特征值为．由 ， 解得． 10．已知矩阵与矩阵相似，求常数与． 解 与相似，则． （1） 又，由，得，代入（1）式，得． 所以． 11． 设矩阵．问为何值时，矩阵可相似对角化． 解 显然的特征值为．对， 可相似对角化． 由，得． 12．已知是矩阵的特征向量． （1）求参数及特征向量所对应的特征值； （2）问能否相似对角化？并说明理由． 解 （1）设特征向量所对应的特征值为.由，得 . （2）的特征多项式

43、 ， 则的特征值为．所以能相似对角化，即． 显然，所以不能相似对角化. 13．判断下列矩阵是否与对角矩阵相似；若与对角矩阵相似，求一个可逆矩阵，使 为对角矩阵． （1）． 解 的特征多项式 ， 则的特征值为． 当时，解方程组．由 ， 得，所以不能与对角矩阵相似． （2）． 解 的特征多项式 ， 则的特征值为． 当时，解方程组．由 ， 得，所以与对角矩阵相似，且．令，得属于特征值的线性无关的特征向量为． 当时，解方程组．由 ， 得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为． 令，则． （3）． 解 的特征多项式 ， 则的特征值为． 当时，解

44、方程组．由 ， 得，所以与对角矩阵相似，且．令，得属于特征值的线性无关的特征向量为． 当时，解方程组．由 ， 得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为． 令，则． 14．设矩阵．求可逆矩阵，使为对角矩阵，并计算，其中为正整数． 解 的特征多项式，则的特征值为． 属于特征值的线性无关的特征向量为． 属于特征值的线性无关的特征向量为． 令，则．且 ． 又，，所以 ． 15．设3阶方阵有特征值，对应特征向量依次为 ， 求． 解 有3个不同的特征值，则能相似对角化．令，则 ， 有．又，所以． 16．设矩阵与相似，试证： （1）与相似；　　（2）当可逆时，

45、与相似． 证 与相似，则存在可逆矩阵，使得． （1）． 因为也可逆，所以与相似． （2），所以与相似． 17．设向量，求的长度及它们的夹角． 解 ,，． 18．已知三元向量，试求一个非零向量，使为正交向量组． 解 显然正交．令，要使为正交向量组，只需 由，得取，得． 19．已知向量，试求与向量都正交的向量． 解 设，依题意，得 由，得 令，所以 ，其中、为任意常数． 20.用施密特正交化方法将下列向量组化为标准正交向量组： （1）． 解 正交化，得，，． 单位化，得，，． （2）． 解 正交化，得，，． 单位化，得,,．

46、 21．试求一个正交矩阵，使为对角阵： （1）． 解 的特征多项式 ， 则的特征值为． 属于特征值的线性无关的特征向量为；单位化，得 ． 属于特征值的线性无关的特征向量为；单位化，得 ． 属于特征值的线性无关的特征向量为；单位化，得 ． 令正交矩阵，则 ． （2）． 解 的特征多项式 ， 则的特征值为． 属于特征值的线性无关的特征向量为；显然正交，单位化，得 ． 属于特征值的线性无关的特征向量为；单位化，得 ． 令正交矩阵，则 ． （3）． 解 的特征多项式 ， 则的特征值为． 属于特征值的线性无关的特征向量为；正交化，得；单位化，

47、得 ． 属于特征值的线性无关的特征向量为；单位化，得 ． 令正交矩阵，则 ． （4）． 解 的特征多项式 ， 则的特征值为． 属于特征值的线性无关的特征向量为；正交化，得；单位化，得 ． 属于特征值的线性无关的特征向量为；单位化，得 ． 令正交矩阵，则 ． 22．设3阶实对称矩阵的特征值为6、3、3，与特征值6对应的特征向量为，求与特征值3对应的特征向量． 解 设为属于特征值3的特向量，有，即 ， 其基础解系为 ．所以属于特征值3的特征向量为 ，、不全为0． 23．设三阶实对称矩阵的特征值为，对应的特征向量为，求． 解 设对应的特征向量为，有．

48、所以属于特征值的线性无关的特征向量为． 令，则．所以 ． 24．设三阶实对称矩阵的秩为2，是的二重特征值．若 ，, 都是的属于特征值6的特征向量． （1）求的另一特征值和对应的特征向量； （2）求矩阵． 解 （1）因为是的二重特征值，故的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个．由题设知，为的属于特征值6的线性无关特征向量． 又的秩为2，于是，所以的另一特征值．设所对应的特征向量为，则有，即 得基础解系为，故的属于特征值全部特征向量为 ，． （2） 令矩阵，则，所以 ． 25．设都是阶实对称矩阵，证明与相似的充要条件是与有相同的特

49、征值． 证 必要性：与相似，则存在可逆阵，使得．有 ， 所以与有相同的特征多项式，即有相同的特征值． 充分性：若实对称矩阵与有相同的特征值，设为它们的特征值．令 ． 则与相似，与相似，所以与相似． （B） 一、选择题： 1．设，则以下向量中是A的特征向量的是（ ）． （A） （B） （C） （D） 解 当时，有．选（A）． 2．设为阶方阵，且（为某一正整数），则（ ）． 　　(A) (B)有一个不为零的特征值 (C)的特征值全为零

50、 (D)有个线性无关的特征向量 解 设为的特征值，则，有．选（C）． 3．设为阶矩阵，且与相似，则（ ）． （A） （B）与有相同的特征值与特征向量 （C）与都相似于对角矩阵 （D）对于任意常数，相似 解 由与相似，知存在可逆阵，使，由此，故与相似．选（D）． 4．设，且的特征值为，则（ ）． (A) (B)3 (C)4 (D) 解 由，得．选（C）． 5．设为阶可逆阵，为的一个特征值，则的伴随阵的一个特征值是 （ ）． (A) (B)

51、 (C) (D) 解 选（B）． 6．设为阶方阵，以下结论中成立的是（ ）． （A）若可逆，则矩阵的属于特征值的特征向量也是矩阵的属于特征值的特征向量． （B）的特征向量为方程的全部解． （C）的特征向量的线性组合仍为特征向量． （D）与有相同的特征向量． 解 选（A）． 7．当满足( )时，方阵与相似． (A)且 (B)或 (C) (D) 解 选（A）． 8．设是阶实对称矩阵，是阶可逆矩阵．已知维列向量是的属于特征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是（

52、）． （A） （B） （C） （D） 解 由于，即矩阵属于特征值的特征向量为．选（B）． 9．设是可逆矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（ ）． （A） （B） （C） （D） 解 有特征值．选（B）． 10．设，且的特征值为，则有（ ）． (A) (B) (C) (D) 解 选（B）． 11．如果阶矩阵任意一行的元素之和都是，那么有一个特征值（ ）． （A） （B）

53、（C）0 （D） 解 取，有．选（A）． 12．若阶矩阵的特征值全为零，则不正确的结论是（ ）． （A） （B） （C） （D） 解 取，但的特征值全为零，而．选（C）． 13．已知（为非零向量），为可逆矩阵，则（ ）． （A）的特征值为，其对应的特征向量为 （B）的特征值为，其对应的特征向量为 （C）的特征值为，其对应的特征向量为 （D）的特征值为，其对应的特征向量为 解 由, 得，故是P-1AP的特征值，其对应的特征向量为．选（D）． 14．设，且的特征值为，则的值为（ ）． （A）2

54、 （B） （C）4 （D） 解 ，得．选（B）． 15．已知矩阵有一个特征向量，则等于（ ）． (A) (B) (C) (D) 解 由＝，得 ，．选（B）． 16．设矩阵与相似，则（ ）． （A） （B） （C） （D） 解 选（B）． 17．设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是（ ）． (A) (B) (C) (D) 解 由于，则 ，线性无关，即． 选(B)． 18．设为3阶

55、矩阵，的特征值为，那么齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为（ ）． (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解 注意，则的基础解系所含解向量的个数等于的属于特征值0的线性无关的特征向量的个数．选(B)． 19．设3阶矩阵的特征值互不相同，若行列式，则的秩为（ ）． （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 解 注意：若与对角阵，则 中不为零的个数． 由3阶矩阵的特征值互不相同，且行列式，知只有一个特征值等于零，则．选（C）． 20．设是4阶实对称矩阵，且。若，则相似

56、于（ ）． (A) (B) (C) (D) 解 设为的特征值，由，得，所以的特征值只能是或 ．是4阶实对称矩阵，知能相似对角化；，知有3个不为零的特征值；所以的特征值为．选（D）． 二、计算题： 1．设，，其中为三阶可逆矩阵，求． 解 ．又 , 所以． 2. 设矩阵，已知有三个线性无关的特征向量,是的二重特征根． （1）求；　　（2）求可逆矩阵，使得为对角矩阵． 解 （1）因为有三个线性无关的特征向量,是的二重特征根，所以 ． 由，得． （2），其特征多项式，得的特征值为． 属于的线性无关的

57、特征向量为． 属于的线性无关的特征向量为． 令，则． 3. 设矩阵． （1）求的特征值； （2）利用(1)中结果求的特征值，其中为三阶单位矩阵． 解 （1）的特征多项式，得的特征值为 ． （2）令，得的特征值为 ． 4．设有三个线性无关的特征向量，求和应满足的条件． 解 的特征多项式． （1）当时，A有3个不同的特征值，从而必有3个线性无关特征向量． （2）当时，A有特征值． 对于要有二个线性无关的特征向量，则有．由 ， 得． 综上，当时或时，有三个线性无关的特征向量． 5．设为3阶矩阵，为的分别属于特征值的特征向量，向量满足． （1）证明线性无关；

58、 （2）令，求． 证 （1）设， （1） （1）式两边左乘以，得．　　　　　　　　　　（2） （1）-（2），得．显然线性无关，则．代入（１），得，有，所以线性无关． （2） ， 即．由第一部分知可逆，所以． 6．设3阶实对称矩阵的各行元素之和都为3，向量都是齐次线性方程组的解． （1）求的特征值和特征向量； （2）求正交矩阵和对角矩阵，使得． 解 （1）的各行元素之和都为，则有特征值，且是其对应的特征向量．又 ， 且线性无关，知有特征值，且是其对应的线性无关

59、的特征向量．因此，有 的特征值为．属于的线性无关的特征向量为；属于的线性无关的特征向量为． （2）将正交单位化，得，； 将单位化，得． 令正交矩阵，有． 7．已知矩阵与相似． （1）求之值；　　 （2）求可逆矩阵，使为对角矩阵； 　　（3）求． 解 （1）与相似，则，即 ． 将代入有，将代入有． （2）显然的特征值为． 属于的线性无关的特征向量为； 属于的线性无关的特征向量为； 属于的线性无关的特征向量为． 令，有． （3）．又 ， 所以． 8．设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，．求的特征值． 解 ．线性无关，则可

60、逆，有 ， 即与相似．而的特征多项式 ， 所以的特征值为，故的特征值为． 9．设3阶对称矩阵的特征值，是的属于特征值的特征向量．记，其中为3阶单位矩阵． （1）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量； （2）求矩阵． 解 （1）设为的属于特征值的特征向量，即，则 ， 即为的特征值，为相应的特征向量．所以是矩阵的特征向量． 令，则的特征值为 ． 的属于的线性无关的特征向量为，全部特征向量为． 设的属于的特征向量为．为对称矩阵，显然也是对称矩阵，则 ， 方程组的基础解系为，就是的属于的线性无关的特征向量，全部特征向量为不全为零． （2）令，有，

61、所以．又 ， 则． 10．设向量都是非零向量，且满足条件．记阶矩阵，求： （1）； （2）矩阵的特征值和特征向量． 解 （1）． （2）设为的任一特征值．由，得，有，即的特征值全为零． 不妨设向量中分量，，考虑齐次线性方程组．由 ， 得基础解系 ， 即属于特征值0的全部特征向量为，其中是不全为零的任意常数． 11．设4阶方阵满足条件．试求方阵的伴随矩阵的一个特征值． 解 由，得为的特征值． 由，得．又，则．所以有特征值． 12．设．已知线性方程组有无穷多解，试求： （1）的值； （2）正交矩阵，使得为对角矩阵． 解 （1）对线性方程组的增

62、广矩阵施行初等行变换： ， 方程组有无穷多解． （2），的特征多项式，得矩阵的特征值为． 对应的特征向量分别为． 将单位化，得 ． 令, 则有． 13．设三阶矩阵的三个特征值分别为，对应特征向量依次为 ． （1）将用向量组线性表示；　　（2）求． 解 （1）设．由 ， 得，所以． （2） ． 14．设矩阵的特征多项式有一个二重根，求的值，并讨论是否可相似对角化． 解 的特征多项式． （1）若是特征多项式的二重根，则，解得．此时的特征值为．对，由 ， 得，所以可相似对角化． （2）若不是特征多项式的二重根，则 ， 解得．此

63、时的特征值为．对，由 ， 得，所以不能相似对角化． 15．某生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐．新、老非熟练工经过培养及实践至年终考核有成为熟练工．设第年1月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记成向量． （1）求与的关系式，并写成矩阵形式； （2）验证，是的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； （3）当时，求． 解 （1）由题设，得即所以 ， （1） 其中． （2）由，，得是的属于特征值的特征向量，是的属于特征值的特征向量；又，所以,线

64、性无关． （3）由（1）式，可得． 由（2）知可相似对角化．令，有．所以 ． 又，有 ， 从而． 16．设矩阵． （1）k为何值时，存在可逆矩阵，使得为对角矩阵？ （2）求出和相应的对角矩阵． 解 的特征多项式 ， 所以的特征值为． （1）对，由 ， 得时，，此时可相似对角化． （2）的属于的线性无关的特征向量为； 的属于的线性无关的特征向量为． 令，有． 17．已知是的特征向量． （1）确定常数； （2）确定特征向量对应的特征值； （3）能否相似对角化？并说明理由． 解 （1）设是的特征向量对应的特征值．由，解得 ． （2），其特征多

65、项式 ， 所以对应的特征值为． （3）对，由 ， 的，所以不能相似对角化． 18．设矩阵，，．求的特征值与特征向量，其中为的伴随矩阵，为3阶单位矩阵． 解 ．设的特征值对应的特征向量为，则有．于是有. ， 即为的特征值，对应的特征向量为． 的特征多项式，所以的特征值为，． 的属于特征值的线性无关的特征向量为，． 的属于特征值的线性无关的特征向量为． 由，得 ，，． 令，则的特征值分别为 ， 且对应于特征值的全部特征向量为，其中是不全为零的常数；对应于特征值的全部特征向量为，． 19．设，存在正交矩阵，使得为对角矩阵．若的第一列为，求常数、正交矩阵及对角矩

66、阵． 解 由题意，得的第一列是的特征向量，即存在数，使得 ， 解得． ，其特征多项式，所以的特征值为． 属于的正交单位化的特征向量为；属于的正交单位化的特征向量为；属于的正交单位化的特征向量为． 令正交矩阵，有． 三、证明题： 1．设均为阶方阵，且．试证：有公共的特征向量． 证 考虑方程组，其系数矩阵的秩 ， 则方程组有非零解，即，故 ， 即是的公共特征值，是属于特征值的公共的特征向量． 2．设是阶方阵，且满足．试证:． 证 设． （1） 若，则，即，有． （2）若，则，即，有． （3）若，则的基础解系就是的属于特征值的线性无关特征向量；又，则的基础解系就是的属于特征值1的线性无关特征向量；从而有个线性无关特征向量：，所以能相似对角化． 令，有 ， 则，所以． 3．阶矩阵满足，证明不是的特征值． 证 由，得，所以可逆，有，所以不是的特征值． 习 题 六 （A） 1．写出下列二次型的矩阵． （1）． 解 ． （2）． 解 ． （3）． 解 ． （4） 解 ． 2．已知二次型的秩为2，求．