油泵齿轮压装机设计【三维CATIA模型】【含11张CAD图纸】
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利用带弹簧曲柄滑块机构的运动肢奇异性产生期望的动静态非线性刚度特性
摘要：
不同于避免闭环机构的奇异性，本文利用运动奇异性构造具有期望非线性刚度特性的柔顺机构，丰富了柔顺机构综合的方法。发展了由曲柄滑块机构的运动臂的角度产生动静态非线性刚度特性的理论。基于虚功原理，建立了带弹簧曲柄连杆机构的运动静力学模型。分析了摩擦刚度对扭矩-位置角关系的影响。研究表明，当机构在运动肢奇异位置附近工作时，相应的弹簧刚度可以产生四种非线性刚度特性中的一种，包括双稳态、局部负刚度、零刚度或正刚度。因此，具有期望刚度特性的柔顺机构可以通过采用机构的伪刚体模型来构造，该机构的关节或连杆被相应的挠曲代替。最后，制作了一个三对称恒扭矩柔顺机构，通过实验测试获得了扭矩-位置角曲线。测量表明，柔顺机构可以产生几乎恒定的扭矩区。
1.导言
带弹簧的机构被定义为一个刚体连杆机构，其关节是放置弹簧的。对于这种类型的机构，这种类型机构的动静态驱动力/扭矩相对于位置参数是非线性的。驱动力/扭矩和位置参数之间的非线性关系称为动静态非线性刚度特性。具有这种特性的弹簧机构可应用于恒力机构、隔振器和重力平衡器。基于刚体替换法的柔顺机构类型综合和基于伪刚体模型。柔顺机构可以单片制造，并应用于许多需要高精度的应用中，因为没有间隙和摩擦，例如基于弯曲梁的能量采集器，微动开关和高精度驱动器。然而，屈曲梁只产生双稳定性，而产生其他非线性刚度特性。此外，双稳态屈曲梁的力学模型是非常复杂的。通过采用伪刚体替代，具有放置弹簧的四杆机构可用于设计具有双稳态行为的柔顺机构，这发展了双稳态机构的配置。当用刚体替换法综合加工相应性能的柔顺机构时，设计者应掌握刚体连杆机构的一系列性能。因此，人们应该在连杆设计方面有丰富的经验性能分析。因此，利用一些公共属性来构造具有非线性刚度特性的柔顺机构是有意义的。运动奇异性是连杆机构的一个基本特性，它严重影响连杆机构的性能，因此许多学者对奇异性分布、奇异性识别和避免奇异性给予了极大的关注。然而，运动奇点有两个方面，可以用来构造新类型的装置。空间并联机构的运动奇异性被用来构造几种类型的可重构并联机构。当并联机构在奇点附近工作时，它们对外部载荷很敏感。该特性被应用于设计力传感器。利用四杆机构的运动奇异性，合成了一种具有负刚度特性的新型柔顺机构。当两个曲柄共线时，平面平行四边形连杆机构被用于通过应用刚体替换方法来构造一种可重新配置的柔性夹持器。一种新的医疗器械是利用并联机构在奇异时获得额外自由度的特性设计的。本文以带弹簧的曲柄滑块机构为例，利用刚体连杆机构的一个共同特性——运动肢奇异性来构造动静态非线性刚度特性。论文的其余部分组织如下:第2节讨论了机构的动静态模型，第3节将非线性刚度特性分为四种类型。第4节分析了弹簧刚度对机构从非奇异位置移动并通过运动肢奇异位置时产生的非线性刚度特性的影响。第5节指出，该机构仅在从运动肢体奇异位置移动到非奇异位置时产生正刚度特性。第6节描述了通过创建机构在运动肢体奇异位置周围工作的预期零刚度(恒定扭矩)特性的方法。第7节进一步讨论了非线性柔顺机构的设计，并通过实验测试进行了验证。最后，第8节得出了一些重要结论。
2. 机构的动静态模型
图1显示了带有弹簧的曲柄滑块机构的示意图。曲柄AB绕销接头A逆时针旋转，带动滑块沿水平线移动，连杆AB和滑块通过联轴器BC连接。三个销接头放置扭转弹簧，其刚度分别为KRA、KRg和KRc。棱柱形接头C增加了拉伸弹簧，其刚度为Kpc。
图一带弹簧的曲柄滑块机构
笛卡儿坐标系统O-xyz固定在底座上，原点O固定在点A上，x轴的正方向指向水平右侧，y轴的正方向垂直向上，z轴由右手定则确定。
向量AB和BC分别由r1和r2定义。x轴和y轴上的向量位置C相对于框架O-xyz的投影分别由r3和e定义。标量r1和r2分别是链路AB和BC的长度。标量r和e分别是点C在x轴和y轴上的坐标。链路长度r1和r2以及偏移量e应满足： -(r1 +r2)0表示Td沿着z轴的正方向，Td<0对应于指向负z轴的Td方向。销接头的角位移为
Ψ A = (θA − θA0)k
其中，e是x轴相对于连杆AB的旋转角度，表示连杆AB的输入位置角度，θA0对应于初始角度。本文中，θA值不允许弹簧失效。
这里我们考虑θA，作为机构的总坐标。因此，关节A的虚拟角位移为
δΨ A = （dΨ A /dθA ）δθA = δθAk
驱动扭矩引起的虚功是
δWd = Td · δΨ A = Tdk · δθAk = TdδθA.
扭簧置于销上产生的扭矩a是TA = −KRAΨ A = −KRA(θA − θA0)k,
因此由TA引起的虚拟功可以计算为δWTA = T A · δΨ A = −KRA(θA − θA0)δθA.
旋转接头B的角位移为Ψ B = (θB − θB0)k = (π − θA − θC)k,
其中标量θB是从矢量BA到矢量Bc的旋转角度，标量θC是从x轴的负方向到矢量CB的旋转角度。θB 和 θC满意θB = π − θA − θC
如果θB 和θC的初始值分别用θB0 和 θC0, 表示，则有θB0 = π − θA0 − θC0.
根据机构的位移分析，可以得出以下结论
θC = arcsin（r1 sin θA − e/ r2 ),
θC0 = arcsin(r1 sin θA0 − e /r2) .
关节B的角位移为δΨ B = (dΨ B/ dθA) δθA = {d(θB − θB0) /dθA }δθAk = (dθB/ dθA) δθAk = −{d(θA + θC)/ dθA} δθA k = ( −1 − r1 cos θA/ a) δθAk
其中a =
在接头B处增加的扭簧扭矩为TB = −KRBΨ B = −KRB(θB − θB0)k
因此，由玻璃化转变温度引起的虚功可由下式获得
对于销接头C，角位移为Ψ C = (θC − θC0)k.
相应的虚拟位移是δΨ C =（ dΨ C/ dθA ）δθA = {d(θC − θC0)/ dθA }δθAk =（ r1 cos θA/ a ）δθAk
放置在接头C处的弹簧扭矩为
因此，扭矩引起的虚功Tc可表示为
对于棱柱形关节C，根据机构的位移分析，点C在x轴上的坐标投影可以如下获得r3 = r1 cos θA + a.
相应的初始坐标投影可以写成r30 = r1 cos θA0 + a0,
其中
点C在x轴上的瞬时投影和初始投影可以表示为以下表达式
r3 = (r1 cos θA + a)i,
r30 = (r1 cos θA0 + a0)i
点C的位移为PC = r3 − r30.
相应的虚拟位移可以产生为
附着在棱柱形接头上的平移弹簧的力可由下式获得δWFC = FC · δPC = −KPC(r1 cos θA + a − r1 cos θA0 − a0) × (−r1 sin θA − b/a)δθA
根据虚功原理δWd + δWTA + δWTB + δWTC + δWFC = 0
组合方程(2)至(9)，施加在曲柄AB上的驱动扭矩的大小为
这意味着该机制的势能达到局部最小值，那么该机制对应于图2所示的e和e是稳定的。
根据方程式的构造。(10)Eq的物理意义。(10)是驱动扭矩抵抗由连接在接头处的弹簧引起的力或扭矩。
该机构的弹性势能可以表示为
根据虚功原理，下列表达式为
3. 非线性刚度特性的分类
当某些位置满足方程。(10)等于零，即Td=0，该机构处于无外部载荷的静态平衡，包括稳定平衡和不稳定平衡[23]。
如果Td = dU /dθA =0,
当该机制的势能达到局部最大值时，这意味着
该机构位于不稳定的平衡位置，对应于θb，如图2所示。
对于图1所示的带弹簧的曲柄滑块机构，当输入位置角θA满足以下条件时
θA = arcsin （e/ r1 − r2） ,
或者θA = arcsin （e /r1 + r2） .
该机构位于左极限位置和右极限位置，这两个位置都是运动奇异位置。
图二扭矩/能量与位置角的关系
等式(7a)可以得出以下表达式dr3 / dθA = −r1 sin θA − b / a.
等式(14)表明，当机构位于由等式(13a)和(13b)表示的两个极限位置时，以下表达式dr3 / dθA = 0
这表明输出速度和输入速度之间的比率为零，并被称为运动学肢-奇点[24]。
图3显示了该机构围绕右极限位置工作的运动，该位置也是两个运动学肢体奇异位置之一。该机构从初始非奇异位置移动，没有偏转弹簧(图3(a))，经过运动学肢体奇异位置(图3(b))，然后到达末端非奇异位置(图3(c))。
如图3所示，在运动过程中，位于接头C处的弹簧势能从零增加到最大值，然后下降到零。因此，如果扭转弹簧的刚度不太大，机构的势能可能有一个局部最大值和两个局部最小值，这对应于不稳定位置(如图3所示)和两个稳定位置(如图3所示的θa和θc)。这种动静态非线性刚度特性称为双稳态特性。
图三机械的不同位置
并且只有当销接头是附接弹簧时，该机构才不会表现出势能先增加然后减少的现象，这意味着在运动期间没有最大势能，因为销接头在运动期间沿一个方向旋转。因此，该机构仅产生正刚度特性，而不产生双稳态特性。
根据方程。(10)和(11)中，驱动扭矩抵抗由所有弹簧引起的所有力/扭矩，并且机构的总势能是每个弹簧势能的总和。换句话说，该机构可以产生四种类型的动静态非线性刚度特性，其由放置在接头处的弹簧的刚度决定。
图4显示了四种非线性刚度特性，包括双稳态特性、局部负刚度特性、局部零刚度特性和正刚度特性，图4描述了驱动扭矩随输入位置角而变化。与一般的弹性弹簧或结构不同，施加在具有弹簧的机构上的驱动力/扭矩不符合胡克定律。如果机构进行图3(a)-3(c)所示的运动，它可能产生图4(a)-(d)所示的四种类型的非线性刚度特性，如下所述:
(1)图4(a)描述了包括三个域的双稳态特性，其中域I和域iii为正刚度，域ii为负刚度。当Tdmax×Tdmin <0时，该机构在运动过程中表现出从位置b到位置c的突变现象，其中位置a和c是稳定的，位置b是不稳定的。
(2)图4(b)描述了类似于双稳态特性的局部负刚度特性。然而，在运动过程中，扭矩是正的，因此该机构不会表现出卡入现象。
(3)图4(c)表示局部零刚度特性，可通过分配适当的参数进行设计。
(4)图4(d)显示了当机构从运动学肢体奇异位置移动到非奇异位置时出现的正刚度特性。
值得注意的是，图4(a)至4(c)所描述的非线性刚度特性存在于当且仅当该机构从非奇异位置移动时，通过2e kinemltid肢体-s(接近度和/Aaches)
图四机构的四个非线性特性
另一个非单数位置。因此，为了清楚地说明非线性刚度特性，第4节讨论了机构的初始位置处于运动肢体奇点的情况，第5节说明了机构从运动肢体奇点位置移动的情况。
当销接头处的扭转弹簧刚度过大或棱柱接头处的平移弹簧刚度为零时，也会产生正刚度特性，这将在第4节中讨论。
4. 具有初始非奇异位置的线性刚度特性
显然，附加弹簧使机构产生非线性刚度特性。此外，不仅弹簧使机构表现出非线性刚度特性，而且几何参数也影响刚度特性。在本节中，讨论了通过添加弹簧来产生非线性刚度特性的理论，随后开发了一种用于构造期望刚度特性的方法，其中以局部零刚度(恒定扭矩)特性构造为例。
4.1非线性特性生成理论该机构有四个接头，可放置弹簧，产生非线性刚度特性。有必要探索由每个弹簧引起的特定刚度特性，以便分配适当的弹簧刚度来设计具有预期非线性刚度特性的机构。为了分析产生非线性特性的理论，相应的弹簧刚度被专门设置为非零，而其他弹簧刚度被指定为零。
4.1.1非线性刚度特性
KRA=KRB=KRC=0, KPC≠0
在这种情况下，由等式1表示的驱动扭矩。(10)简化为
Td = KPC(r1 cos θA + a − r1 cos θA0 − a0) × (−r1 sin θA − b/a).
比较Eqs后。(10)和(16)，驱动扭矩抵抗由放置在棱柱形接头C处的平移弹簧引起的力
由方程式计算的势能。(11)写为
求解Eq。(17)相对于eA等于零导致
θA1 = θA0,
θA2 = arcsin （e /r1 + r2） ,
θA3 = arctan （ C1 + C2/ C3 + C4）
其中
θA1 和 θA3是方程公共项的两个解。(16)和(17)如下式所示
r1 cos θA + a − r1 cos θA0 − a0 = 0,
而θA2是方程项的解。(16)如下:
−r1 sin θA − b/a = 0.
从上面可以看出，如果θA=θA1 或 θA=θA3,，那么U=0。
当θA≠θA1 和 θA≠θ3时，存在U>0。因此，我们可以得出结论，当θA=θA1 和θA=θA3 时，该机制位于局部最小能量点。分别是。根据参考文献。[28]，当θA=θA1 和θA=θA3分别对应于θa 和 θc时，机制处于平衡状态，如图2所示。
微分方程。(16)关于θA产量
如果机构位于θA=θA2，这是方程的解。(20)，然后
等式(17)可导致
U |θA=θA2 > 0.
因此，我们可以得出结论，如图2所示，当位于对应于θA=θA2时，该机制处于不稳定平衡状态。
当几何参数为r=10 cm、r2=50 cm和e=3 cm，初始输入位置角设为θA0=−5°时，驱动扭矩和势能变化与输入位置角的关系如图5所示。本文中，平移弹簧和扭转弹簧的单位分别为N/cm和N.cm/()。应该指出的是，初始输入位置角应该满足
图五势能与输入位置的关系
arcsin （e /r1 − r2） < θA0 < arcsin（ e/ r1 + r2） ,
以便允许该机构从非奇异位置开始经过正确的运动学肢体奇异位置。
图5表明，当KRA=KRB=KRC=0 时，运动学肢端奇异位置处于不稳定平衡点。此外，可以看出，平移弹簧刚度的增加增加了正向和负向的驱动扭矩值。势能也随着平移弹簧刚度的增加而增加。
4.1.2当KRB=KRC=0, KPC=0, KRA ≠0时的非线性刚度特性
将弹簧刚度代入方程式。(10)获得驱动扭矩为
Td = KRA(θA − θA0).
很明显，方程式所代表的驱动力矩。
(24)是为了抵抗因扭簧置于销接头处而产生的扭矩
根据方程式。(24)上，可以获得
dTd/dθA = KRA > 0
等式(25)表明驱动力与输入位置角θA成正比。在这种情况下，该机构表现出正刚度特性。根据方程式。(11)势能也可由下式获得
当r1=10 cm, r2=50 cm, e=3 cm, θA0=−5°时，驱动力和势能曲线如图6所示。
图6显示了当扭转弹簧仅放置在旋转接头A处时，该机构表现出正刚度特性。
4.1.3 KRA = KRC = 0、Kpc=0和KRB≠0时的非线性刚度特性
在这种情况下，方程。(10)简化为
方程之间的比较。(5b)和(27)揭示了方程的物理意义。(27)是驱动力抵抗由连接在销接头B处的扭转弹簧引起的扭矩
将弹簧刚度代入方程式后。(11)产生势能为
根据方程，当r1=10 cm, r2=50 cm, e=3 cm, θA0=−5°时。(27)和(28)，我们描述了驱动扭矩和势能随输入位置角度变化的变化，如图7所示。
图7表明，将扭转弹簧放置在主关节上，可以使机械装置产生主动刚度特性。
图六势能对输入位置角的关系
4.1.4KRA = KRB = 0，Kpc =0， KRC≠0时的非线性刚度特性
驱动力可以简化为
考虑到Eq。(6)、Eq的物理意义。(29)是驱动扭矩将抵抗由于在销接头C处增加的扭转弹簧而产生的扭矩
将弹簧刚度代入方程式。(11)获得势能如下
当r1=10 cm, r2=50 cm, e=3 cm, θA0=−5°,图8描述了由方程表示的驱动扭矩和势能。
图8显示了当销接头C专门连接扭转弹簧时，该机构产生正刚度特性。
此外，当KRA=KRB=KRC时，图6至图8表明由KRB引起的驱动扭矩曲线的刚度最大，由KRA引起的刚度第二大，由KRc引起的刚度最低。
4.2弹簧刚度对非线性刚度特性的影响
第4.1节说明，Kpc使机构产生双稳特性，包括负域，KRA、KRB或KRc仅允许机构显示正刚度特性。总扭矩可通过KRA、KRb、KRc和Kpc扭矩的线性叠加获得。因此，在KPC≠0的条件下，可以通过设计KRA、KRB、KRC和Kpc的不同值来构造期望的非线性刚度特性。
当r1=10 cm, r2=50 cm, e=3 cm, θA0=−5°，Kpc=1 N/cm时，机构对于不同KRA、KRb和KRc值的非线性刚度特性如图9所示，其中KRA=KRB=KRc。
图9表明，当平移弹簧Kpc不为零时，当扭转弹簧刚度KRA、KRb和KRc设置为不同值时，一个非线性特性可以转换为另一个非线性特性。对于给定的平移弹簧刚度，当扭转弹簧刚度小时，机构表现出双稳态特性。扭转弹簧刚度的增加延迟了不稳定的平衡位置，并推进了第二稳定点。随着扭转弹簧刚度的增大，双稳态特性可能退化为局部负刚度特性，甚至正刚度特性。
此外，局部最大势能点的存在是双稳态特性的前提。当扭矩曲线有局部负估计域，但没有最大势能点时，机构不表现出突跳现象。
当r1=10 cm, r2=50 cm, e=3 cm, θA0=−5° 且Kpc=1 N/cm时，图10描绘了当一个扭转弹簧刚度完全为零时机构的非线性刚度特性。
图10显示，当Kpc被给定为常数时，KRB效应最大，KRA效应第二大，KRc对机械力的非线性日光特性的影响最小。
图七势能与位置角的关系
5. 具有初始肢体奇异位置的非线性刚度特性
第4节表明，当扭转弹簧刚度足够大时，机构可能产生正刚度。第5节主要讨论了另一种产生正刚度特性的方法，即使机构从右运动学边缘奇异位置(图3(b))移动到非奇异位置(图3(c))。
从右极限运动奇异位置开始的机构的扭矩对位置角可以通过代入得到
θA0 = arcsin （e/ r1 + r2）
代入公式。(10)，此处不再详述。
在这种情况下，当放置在棱柱形关节C上的平移弹簧沿一个方向移动时，势能随着输入旋转角度的增加而增加，并且除了初始位置之外不存在局部最小值。因此双稳态特性确实如此
由Kpc引起的不存在。对于连接在三个销接头处的三个扭转弹簧，势能仅增加。因此，总势能在机构运动过程中增加，机构仅表现出正刚度特性。
当r1=10 cm, r2=50 cm, e=3 cm时，扭矩曲线与位置角的关系如图11所示。图11验证了扭矩曲线显示了每个弹簧产生的正刚度特性。因此，由所有弹簧引起的总扭矩确实呈现正刚度。
6. 预期非线性刚度特性创建
根据第4节和第5节，当机构从没有偏转弹簧的运动肢体奇异位置移动时，机构仅产生正刚度特性，并且当从没有偏转弹簧的非奇异位置向肢体奇异位置移动时，可能产生四个非线性刚度特性，包括双稳态特性、局部负刚度特性和正刚度特性。从图9和10中，我们推测在运动学边缘奇点位置的扭矩的预期刚度(θA2，方程(18b))可以通过设计适当的弹簧刚度来产生。这里我们以零刚度特性的产生为例来说明期望刚度构造的方法。零刚度特性的设计程序如下:
(1)建立弹簧刚度替代项θA=θA2和其他给定参数之间的关系，以微分方程。(10)关于θA，然后获得以下表达式
（2）确定预期刚度优化弹簧刚度，KRA、KRB、KRc和Kpc，满足方程。(31)当机构围绕运动学边缘奇异位置工作时，可以获得具有期望刚度K的非线性刚度特性，θA=θA2。如果K设置为零，则可以获得零刚度(恒定扭矩)特性。
(3)搜索零刚度域当机构位于运动肢体奇异位置时，扭矩θA=θA2，由下式表示
Td|θA=θA2 .
图八势能与输入位置角的关系
扭矩侧边的位置
被认为是恒定扭矩域。
当r1=10 cm, r2=50 cm, e=3 cm and θA0=−5°时，执行上述程序(1)获得
KRA + 1.438020KRB + 0.039670KRC − 1.359152KPC = K = 0.
通过优化方法可以找到合适的弹簧刚度。搜索算法不是主要的主题，这里不详细介绍。我们认为
KRA = KRB = 0 N · cm/ （ ◦） ,
KPC = 1 N/cm.
用方程代替，(34)转化为方程式。(32)求解关于Kpc的方程，获得如下解
KRC = 34.261457 N · cm/rad = 0.597975 N · cm/ （ ◦） .
将刚度参数和几何参数代入方程。(31)和执行过程(3)，获得恒定转矩域为θA ∈[1.57°, 4.26°].这些参数条件下的扭矩-位置角度曲线如图12所示。
7. 进一步讨论和实验验证
第2节至第7节讨论了带有弹簧的曲柄滑块机构的非线性特性，可以通过在关节处放置弹簧并使该机构围绕右侧极限运动肢体奇异位置工作来构建(图13(b))。当KPC≠0, KRA =KRB=KRc时，该机构在右极限运动肢奇异位置即不稳定平衡位置附近工作时，表现出双稳态特性。同样，对于同样的弹簧来说，刚度也是一样的。因此，当机构从非奇异位置移动并通过如图16所示的左侧极限运动肢体奇异位置时，该机构产生双稳态特性，该位置必须是不稳定的平衡位置。因此，当曲柄AB围绕销A完全旋转时，如果KPC≠0，KRA=KRB=KRc=0，则该机构表现出三稳定特性，其具有位于两个运动学肢端奇异位置的两个不稳定平衡位置。
然而，扭转弹簧不能放置在接头处
在扭簧失效的情况下，当曲柄AB绕着销a完全旋转时。对于销接头C，它在机构运动过程中摆动。因此，弹簧刚度可指定为KPC≠0, ，KRA =KRB=0，以设计三稳定特性，如图14所示。
图14显示，当KPC≠0, KRA=KRB=0时，如果KRc很小，该机制产生三稳态特性。KRc的增加减小了第一局部最小力和第二最大力的大小。当KRc与平移弹簧刚度Kpc相比过大时，驱动力矩主要是抵抗扭转弹簧刚度KRc引起的力矩，三稳态特性退化为双稳态特性。
值得指出的是，弹簧机构的非线性特性分析可以用来综合具有非线性特性的柔顺机构。当该机构围绕两个运动学肢体奇异位置中的一个工作时(图433(b)或图13)，解在线特性可以
图九不同值的非线性特性
图十不同值的非线性刚度特性
由基于刚体替换法的相应柔顺机构获得。另一方面，三稳定特性不能通过设计完全柔顺的机构来获得，因为没有柔顺的旋转关节能够完全旋转。然而，如图15(a)所示，棱柱形接头C和销接头C都可以被柔性接头代替，而销接头A和B是刚性运动副。另一个例子如图15(b)所示，其中耦合器BC由集总柔性杆代替，而棱柱形接头由复合柔性平行四边形机构代替。
(图15(a))中弯曲部分的面内厚度Ci (i=1, 2, 3) 和杆Bi Ci (i=1, 2，3)(图15(b))的面内厚度可以设置为不同的值，以获得相应的等效扭转弹簧刚度。柔性旋转关节和输出平移关节的等效刚度可参照参考文献进行计算。[25]。因此，机构的预期非线性刚度可以通过分配合适的柔顺元件的面内厚度来设计。
通过缓慢的线电极切割制造具有恒定扭矩区的对称机构，并如图16所示组装，以验证非线性刚度特性的设计。值得指出的是，恒定扭矩柔顺机构可用于许多应用中，例如动态扭矩平衡机构[26]膝盖和脚踝辅助装置[27]以及受伤的人关节的康复[28]。参考文献中开发了两种类型的恒扭矩柔顺机构。[29，30]。但是如果没有3D打印机，很难用复杂的曲线梁来加工这两种柔性机构。本文设计的恒扭矩柔顺机构易于制造。这种机构中，刚性曲柄和柔性结构通过三个
图十一初始非奇异位置的非线性刚度特性
图十二局部刚度特性与恒定扭矩域
图十三左极限运动肢体——奇异位置
销接头，如图16所示。给出的结构参数为t=1 mm, L1=38 mm, L2=30 mm, α=3°, b1=8 mm, b2=5 mm，柔顺结构的平面外厚度为5 mm。
根据参考文献。[25]，每个旋转关节Ci (i=1, 2, 3)和每个平移关节的等效刚度可以通过以下两个方程获得
KRC = 2.25EI/ L1 ,
KP = 48EI /L2 ,
其中E是杨氏模量，I是关于z轴面积的第二个矩形。
我们选择杨氏模量为200 GPa的85弹簧钢作为柔顺结构的材料。实验测试设备如图17所示，旋转平台用于旋转三爪卡盘，该卡盘夹紧连接到柔顺机构的扭矩传感器。根据测微计记录机构的旋转角度，从扭矩传感器获得柔顺机构的驱动扭矩。
驱动扭矩可由方程式计算。(10)，其中几何参数可以计算为
θA0 = − arcsin（ L1 sin α/ r1） ,
r2 = gL1,
e = −(1 − g)L1sina,
图十四不同krc的非线性特性
其中γ=0.85
我们可以把图16所示的对称柔顺机构看作是由三个平行的曲柄滑块机构组成的机构。因此，施加在图16所示曲柄上的驱动扭矩T应该是由方程式计算的扭矩T的三倍。(10)，即
T = 3 × Td.
对应于PRBM、有限元模型和实验结果的三条曲线(扭矩变化与曲柄转角的关系)如图18所示。这里，水平坐标θ描述了机构的曲柄转角，从零开始，可以表示如下:
θ = θA − θA0.
图18显示PRBM结果、有限元分析(FEA)和实验测试结果之间存在误差。PRBM结果和
图十五部分兼容的曲柄滑块机构
图十六恒扭矩机构的结构参数
图十七实验测试仪器
图十八测试结果
有限元分析很少，表明PRBM能正确描述柔顺机构的理论模型。理论模型和实验结果之间相对较大的差异可能是由于可用的慢线电极系统的束制造误差和装配公差。结果表明，伪刚体模型、有限元分析和实验结果都表现出恒转矩特性。
8. 结论
(1)提出了一种利用附加弹簧的曲柄滑块机构的运动学边缘奇异位置生成非线性特征的通用方法。
(2)带弹簧机构在绕过运动肢奇异位置时，可能产生四种非线性特性，包括双稳态特性、局部负刚度特性、局部零刚度特性和正刚度特性。一个非线性特性可以转换成另一个具有不同弹簧刚度的特性。
(3)该机构从运动学肢端奇异位置运动时，仅表现出正刚度特性。
(4)当输入曲柄完全转动且曲柄两端的两个扭簧刚度完全为零时，对于连接联轴器和滑块的销接头处的小扭簧刚度和大扭簧刚度，机构产生三稳态特性和双稳态特性。
(5)非线性刚度特性生成理论可用于设计具有非线性刚度特性的柔顺机构。
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