数学建模——灰色关联度的分析

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1、灰色关联度分析 何为灰色关联度分析? 如何计算? 有何应用? 灰色关联度分析 灰色系统灰色系统 关联度关联度 是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统理论所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的。 关联度是事物之间、因素之间关联性大小的量度。它定量地描述了事物或因素之间相互变化的情况，即变化的大小、方向与速度等的相对性。如果事物或因素变化的态势基本一致，则可以认为它们之间的关联度较大，反之，关联度较小。 基本思想: 根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密，曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小。 圖一 某老師

2、給學生的評分表曲線圖9085608080609075605060708090100周阿舍劉阿華蕭阿薔總成績考試成績出席率确定参考数列 处理原始数据 计算关联系数 关联度的计算与比较 灰色关联度的计算灰色关联度的计算 确定参考数列 对一个抽象系统或现象进行分析，首先要选准反映系统行为特征的数据序列(参考序列)。我们称之为找系统行为的映射量，用映射量来间接地表征系统行为。比如： 国民平均受教育的年限 教育的发达程度 刑事案件的发案率 社会治安面貌和社会秩序 原始数据的处理 由于各因素各有不同的计量单位，因而原始数据存在量纲和数量级上的差异，不同的量纲和数量级不便于比较，或者比较时难以得出正确结论。

3、因此，在计算关联度之前，通常要对原始数据进行无量纲化处理。 设 为因素 的行为序列 )(,),2(),1 (nxxxXniiiiX初值化初值化 一般地，初值化方法适用于较稳定的社会经济现象的无量纲化，因一般地，初值化方法适用于较稳定的社会经济现象的无量纲化，因为这样的数列多数呈稳定增长趋势，通过初值化处理，可使增长趋为这样的数列多数呈稳定增长趋势，通过初值化处理，可使增长趋势更加明显。势更加明显。 区间化区间化 一般地，三种方法不宜混合、重叠作用，在进行系统因素分析时，可根据实际情况选用其中一个。 均值化均值化 一般说来，均值化方法比较适合于没有明显升降趋势现象的数据处理。 若系统 因素 与系

4、统主行为 呈负相关关系，我们可以将其逆化或倒数化后进行计算。 逆化 0XiX倒数化 关联系数的计算 设经过数据处理后的参考数列为： 比较数列为： 从几何角度看，关联程度实质上是参考数列与比较数列曲线形状的相似程度。凡比较数列与参考数列的曲线形状接近，则两者间的关联度较大；反之，如果曲线形状相差较大，则两者间的关联度较小。因此，可用曲线间的差值大小作为关联度的衡量标准。 则： 两极最大差与最小差： 关联系数： 式中 为分辩系数，用来削弱(max)过大而使关联系数失真的影响。人为引入这个系数是为了提高关联系数之间的差异显著性。 关联度的计算与比较 由于每个比较数列与参考数列的关联程度是通过n 个关

5、联系数来反映的，关联信息分散，不便于从整体上进行比较。因此，有必要对关联信息作集中处理。而求平均值便是一种信息集中的方式。即用比较数列与参考数列各个时期的关联系数之平均值来定量反映这两个数列的关联程度，其计算公式为： 灰色关联度分析的运用灰色关联度分析的运用 因 素 分 析 优 势 分 析 综 合 评 价 二、铅球运动员专项成绩的因素分析二、铅球运动员专项成绩的因素分析 通过对某健将级女子铅球运动员的跟踪调查，获得其 19821986 年每年最好成绩及 16 项专项素质和身体素质的时间序列资料，见下表。 指标19821983198419851986铅球专项成绩X013.6014.0114.54

6、15.6415.694 公斤前抛X111.5013.0015.1515.3015.024 公斤后抛X213.7616.3616.9016.5617.304 公斤原地X312.2112.7013.9614.0413.46立定跳远X42.482.492.562.642.59高翻X5858590100105抓举X65565758080卧推X765707585903 公斤前抛X812.8015.3016.2416.4017.053 公斤后抛X915.3018.4018.7517.9519.303 公斤原地X1012.7114.5014.6615.8815.703 公斤滑步X1114.7815.5416

7、.0316.8717.82立定三级跳远X127.647.567.767.547.70全蹲X13120125130140140挺举X14808590909530 米起跑X15420425410406399100 米X1613101342128512721256我们对表中的 16 个数列进行初始化处理。 注意，对于前 14 个数列，随着时间的增加，数值的增加意味着运动水平的进步，而对后两个数列来讲， 随着时间的增加，数值（秒数）的减少意味着运动水平的进步。因此，在对数列X15=（420，425，410，406，399）及数列X16=（1310，1342，1285，1272，1256）进行初始化处理

8、时，采用以下公式 16,15)5() 1 (,)4() 1 (,) 3() 1 (,)2() 1 (, 1iXXXXXXXXXiiiiiiiii 依照问题的要求，我们自然选取铅球运动员专项成绩作为参考数列，将上表中的各个数列的初始化数列代入（1） 、 （2） ，易计算出各数列的关联度，如下表所示。 r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 0.588 0.633 0.854 0.776 0.855 0.502 0.659 0.582 r9 r10 r11 r12 r13 r14 r15 r16 0.683 0.695 0.895 0.705 0.933 0.847 0.745 0.726

9、 由上表易看出，影响铅球运动员专项成绩的前八项主要因素依次为全蹲、3 公斤滑步、高翻、4 公斤原地、挺举、立定跳远、30 米起跑、100 米成绩。因此，在训练中应着重考虑安排这八项指标的练习。减少训练的盲目性。 for i=1:15 x(i,:)=x(i,:)/x(i,1); %标准化数据 end for i=16:17 x(i,:)=x(i,1)./x(i,:); %标准化数据 end data=x; n=size(data,1); ck=data(1,:);m1=size(ck,1); bj=data(2:n,:);m2=size(bj,1); for i=1:m1 for j=1:m2

10、t(j,:)=bj(j,:)-ck(i,:); end jc1=min(min(abs(t); jc2=max(max(abs(t); rho=0.5; ksi=(jc1+rho*jc2)./(abs(t)+rho*jc2); rt=sum(ksi)/size(ksi,2); r(i,:)=rt; end r 三、优势分析三、优势分析 当参考数列不止一个，被比较的因素也不止一个当参考数列不止一个，被比较的因素也不止一个时，则需要进行时，则需要进行优势分析优势分析。 假设有m个参考因素， 记为mYYY,21， 再设有n个比较数列， 记为nXXX,21。 显然， 每个参考数列对n个比较数列有n个关

11、联度， 设ijr表示比较数列jX对参考数列iY的关联度，可构造关联矩阵关联矩阵nmijrR)(。根据矩阵根据矩阵R的各个元素的大小，可分析判断出哪些因素起主要影的各个元素的大小，可分析判断出哪些因素起主要影响，哪些因素起次要影响。响，哪些因素起次要影响。起主要影响的因素称之为优势因素优势因素。 再进一步，当某一列元素大于其他列元素时，称此列所对应的子因素为优势子因素优势子因素；当某一行元素均大于其他行元素时，称此行所对应的母元素为优势母优势母元素元素。如果矩阵R的某个元素达到最大，则此行所对应的母元素被认为是所有母子因素中影响最大的。 下面我们考虑一个实际问题。某地区有 6 个母因 素iY、5

12、 个子因素jX为 X1：固定资产投资 Y1：国民收入 X2：工业投资 Y2：工业收入 X3：农业投资 Y3：农业收入 X4：科技投资 Y4：商业收入 X5：交通投资 Y5：交通收入 Y6：建筑业收入 其数据列于下表。19791980198119821983X1X2X3X4X5Y1Y2Y3Y4Y5Y6308.58310295346367195.4189.4187.2205222.724.62112.215.114.572025.623.329.23018.891922.323.527.66170174197216.4235.857.5570.7476.880.789.8588.567085.38

13、99.83103.411.1913.2816.8218.922.84.034.264.345.065.7813.715.613.7711.9813.95根据表中的数据,易计算出各个子因素对母因素的关联 度，从而得到关联矩阵为 613. 0584. 0714. 0812. 0795. 0875. 0707. 0649. 0780. 0819. 0535. 0616. 0542. 0552. 0563. 0735. 0588. 0720. 0828. 0839. 0680. 0809. 0578. 0624. 0641. 0920. 0743. 0648. 0770. 0811. 0R 从关联矩阵

14、R可以看出 1、第 4 行元素几乎最小，表明各种投资对商业收入影响不大，即商业是一个不太需要依赖外资而能自行发展的行业。从消耗投资上看，这是劣势，但从少投资多收入的观点看，这是优势； 2、r15=0.920 最大，表明交通投资的多少对国民收入 的影响最大； 3、r55=0.875 仅次于r15，表明交通收入主要取决于交通投资，这是很自然的； 4、在第 4 列中r24=0.809 最大，表明科技对工业影响最大，而r34=0.588 比较小，表明从全面来衡量，还没有使科技投资与农村经济挂上钩，即科技投资针对的不是农村需要的科技，r64=0.584 更小， 表明科技对建筑业的作用比农业还差； 5、第

15、 3 列的元素普遍比较大，表明农业是个综合性行业，需要其它方面的配合，例如：r32=0.828 表明工业发展能够较大地促进农业的发展。另外，r35=0.735 表明农业发展与交通发展也是密切相关的。 n=size(data,1); for i=1:n data(i,:)=data(i,:)/data(i,1); %标准化数据 end ck=data(6:n,:);m1=size(ck,1); bj=data(1:5,:);m2=size(bj,1); for i=1:m1 for j=1:m2 t(j,:)=bj(j,:)-ck(i,:); end jc1=min(min(abs(t);jc2

16、=max(max(abs(t); rho=0.5; ksi=(jc1+rho*jc2)./(abs(t)+rho*jc2); rt=sum(ksi)/size(ksi,2); r(i,:)=rt; end r 综合评价综合评价 基本思路是： 从样本中确定一个理想化的最优样本，以此为参考数列，通过计算各样本序列与该参考序列的关联度，对被评价对象做出综合比较和排序。 设有n 个被评价对象，每个被评价对象有p 个评价指标。这样，第i 个被评价对象可描述为 步骤：步骤： 确定参考序列确定参考序列 根据各评价指标的经济含义，在n 个被评价对象中选出各项指标的最优值组成参考序列 实际上，参考序列 构成了一

17、个相对理想化的最优样本，是综合评价的标准。如果第j 项指标是数值越大越好的正向指标，则 就是n 个被评价对象第j 项指标实际值的最大值；如果是逆向指标，则是最小值；如果是适度标，便是该指标的适度值。 无量纲化无量纲化 此时，各指标的最优值均为1。为叙述方便，把无量纲化后的数据仍记为xij，则最优参考序列为x01，1，1。 求两极最大差和最小差求两极最大差和最小差 计算各被评价对象序列与最优参考序列间的绝对差列： 在此基础上，依公式 就可求得两级最大差(max)和两级最小差(min) 计算关联系数计算关联系数 计算第i 个被评价对象与最优参考序列间的关联系数。 计算关联度计算关联度 对各评价对象

18、分别计算其p个指标与参考序列对应元素的关联系数的均值，以反映各评价对象与参考序列的关联关系，称其为关联度，记为 i0PkikP10)(1ni,.,2 , 1如果各指标在综合评价中所起的作用不同，可对关联系数求加权平均值，即 PkikikPW10)(1Pk,.,2 , 1式中 为各指标权重。 Wk依据各观察对象的关联度，得出综合评价结果。 例2 利用灰色关联度分析对6位教师工作状况进行综合评价 1、评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤。 2、对原始数据经过处理后得到以下数值，见表 x=9 9 9 9 8 9 9;8 9 8 7 5 2 9;7 8 7 5 7

19、3 8;9 7 9 6 6 4 7;6 8 8 8 4 3 6;8 6 6 9 8 3 8;8 9 5 7 6 4 8; n=size(x,2); for j=1:n x(:,j)=x(:,j)/x(1,j); %标准化数据 end data=x; n=size(data,1); ck=data(1,:);m1=size(ck,1); bj=data(2:n,:);m2=size(bj,1); for i=1:m1 for j=1:m2 t(j,:)=bj(j,:)-ck(i,:); end jc1=min(min(abs(t); jc2=max(max(abs(t); rho=0.5; ks

20、i=(jc1+rho*jc2)./(abs(t)+rho*jc2); rt=sum(ksi)/size(ksi,2); r(i,:)=rt; end r 作业 例例1 1：用灰关联分析的方法分析影响呼和浩特：用灰关联分析的方法分析影响呼和浩特市大气污染的各主要因素和污染水平的相关性。市大气污染的各主要因素和污染水平的相关性。 下表为下表为19991999- -20032003年城市大气污染监测数据年城市大气污染监测数据 因素因素 1999 2000 2001 2002 2003 大气污染大气污染值值 0.732 0.646 0.636 0.598 0.627 NO 0.038 0.031 0.

21、042 0.036 0.043 TSP 0.507 0.451 0.448 0.411 0.122 0.048 0.034 0.030 0.030 0.031 工业总产工业总产值值 183.25 207.28 240.98 290.80 370.00 基建投资基建投资 24.03 44.98 62.79 83.44 127.22 机动车数机动车数量量 85508 74313 85966 100554 109804 煤炭用量煤炭用量 175.87 175.72 183.69 277.11 521.26 沙尘天数沙尘天数 10 13 13 1 1 x2SO例2：公路建设招标中取最接近标准者得标，

22、请问何者得标？设分辨系数：=0.5 厂商及指标厂商及指标 标准标标准标 A A厂厂 B B厂厂 C C厂厂 造价造价( (亿亿) ) 1.11.1 1.11.1 1.21.2 1.51.5 建设期限建设期限( (年年) ) 1.31.3 1.81.8 1.51.5 1.31.3 车流车流( (百辆百辆) ) 5 5 4 4 3 3 5 5 车速车速( (公里公里/ /时时) ) 110110 8080 110110 100100 Thank you 学习动物精神 11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味 地接受工作的交付， 只能学到工作方法 的皮毛，能思考应 变的人，才会学到 方法的精髓。 学习动物精神 12、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意， 会减轻主管、共 事者的负担，也 让你更具人缘。