福建省漳州市芗城中学高中数学 2三垂线定理教案 新人教A版必修

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1、 福建省漳州市芗城中学高中数学 2三垂线定理教案 新人教A版必修2 授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ） 一、教学目标 1、知识与技能：理解三垂线定理及其逆定理的证明，准确把握“空间三线”垂直关系的实质；掌握三垂线定理及其逆定理解题的一般步骤。 2、过程与方法：通过三垂线定理的证明及应用，体会空间线线、线面垂直关系的转化。 3、情感态度与价值观：培养学生的观察、猜想和论证能力；培养学生对待知识的科学态度和辩证唯物主义观点。 二、教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明和初步应用。 难点：三垂线定理中的垂直关系及证明过程。 关键

2、：把握住斜线和它在平面上的射影必定同时垂直于平面内的某条直线。 三、教材分析： 1、“三垂线定理”是高中立体几何中的重要内容之一，它是在研究了空间直线和平面垂直的基础上研究两条直线垂直关系的一个重要定理，它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角奠定了基础，同时这节课也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。 2、本节课的教学过程为：猜、证、比、用，即猜想平面内的直线与平面的斜线垂直的特征；证明三垂线定理及其逆定理；比较两个定理；应用定理证题。 由于本节课安排在立体几何学习的初始阶段，是学生空间观念形成的

3、关键时期，因此要重视让学生动手做模型，教师演示指导，让学生直观地感受到空间线面、线线关系的变化，再在教师的引导下思考线面、线线垂直关系存在的因果关系，逐步推理、猜想命题，论证命题，从而发现定理，揭示定理的实质，在定理论证中进一步发展定理，引出逆定理，再进行比较，从而更进一步地把握定理的关键。对定理的应用，只要求学生在理解定理的基础上，理清应用定理证题的一般步骤，学会证明一些简单问题。 3、本节课采用启发、引导、探索式相结合的教学方法，启发、引导学生积极思考，勇于探索，使学生的心理达到一种“欲罢不能”的兴奋状态，从而产生浓厚的学习兴趣，发挥学生的主观能动性，体现学生的主体作用。 四、教学过程

4、 （一）复习和引入新课 提问：（1）直线和平面垂直的定义是什么？（直线垂直于平面内的任意一条直线。） （2）直线和平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 （3）如图，如果PO⊥平面α，PA与平面α交于点A，则PO为平面α的垂线，PA为平面α的斜线，连接垂足O与斜足A的直线OA叫做斜线PA在平面α内的射影。 （二）猜想和发现 1、揭示问题，引导探究 根据直线和平面垂直的定义知平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直。 进一步，平面内的任意一条直线是否都和平面的一条斜线垂直？（否） 是否平面内的所有直线都不和平面的一条斜线垂直？

5、 2、模型演示 引导学生用三角板和铅笔在桌面上搭建模型（如图）。 如图表示平面的斜线（PO）在平面内有垂线（a），且有无数条。这些直线应具备什么条件，即怎样判定平面内的直线与平面的一条斜线垂直呢？ 指导学生用三角板和铅笔在桌面上搭成模型（如图），使铅笔与三角板的斜边垂直，引导学生观察猜想发现规律，经过实验，发现铅笔和三角板在平面α内的直角边垂直时，便与斜边垂直。 3、结论：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （三）证明定理 实验得出的结果是否正确还得进行证明。 已知：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影，

6、（如图）。 求证：a⊥PA。 分析：证明两直线垂直，可转化为证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面，从本题条件看，PO在平面PAO内，只要证明a⊥平面PAO即可。 证明：因为，所以PO ⊥a，又a ⊥OA，PO∩OA = O，所以a⊥平面POA，所以a ⊥PA。 （四）揭示定理 上面命题反映了平面内一条直线、平面的斜线和斜线在这个平面内的射影这三者之间的垂直关系，这就是著名的三垂线定理，下面请大家根据已知条件和结论，把三垂线定理完整地表达出来。 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的实质是平面内的直线与平面的斜

7、线垂直的判定定理。这个定理之所以著名，不仅在于它给了我们一个证明线线垂直的重要方法，为研究计算空间角、空间距离奠定了基础，而且这个定理的证明方法——“线面垂直法”，也是一种非常重要的方法。 刚才我们由a与PA、AO垂直得到了a与平面PAO垂直，现在我们再看，由于PA与a总垂直，那么当a与PO垂直时还会有a⊥平面PAO吗？进一步可得到什么结论？（a⊥AO）这样我们又得到了一个重要定理： 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。 请同学们写出证明过程，并与原定理进行对比。 （五）原、逆定理的比较 相同点：（1）结构相同

8、：都是由线线垂直推证线线垂直； （2）证明方法相同：都采用了线面垂直法。 不同点：（1）用途不同：原定理是用来证空间两直线垂直；逆定理是用来证平面上两直线垂直。 （2）条件与结论不同：原定理：“与射影垂直”“与斜线垂直”；逆定理：“与斜线垂直”“与射影垂直”。 （六）定理的应用 例1：如图，O是△ABC的垂心，PO⊥平面ABC，连结PA，求证：BC⊥PA。 分析：PO是平面的垂线，PA是平面的斜线，BC在平面ABC上，所以，欲证BC⊥PA，只需证明BC垂直PA在平面ABC上的射影即可。 证明：连结AO并延长交BC于D，则AO是PA在平面ABC上的射影。 又O是△ABC的

9、垂心，所以AD⊥BC，由三垂线定理可得BC⊥PA。 小结：使用三垂线定理证题的一般步骤是： 一定——定平面及平面内的一条直线；二找——找平面的垂线、斜线及射影；三证——证明平面内一直线与射影垂直。 由于逆定理与原定理的实质相同，结构相似，因而使用时也可以按以上步骤进行，这对我们在复杂图形中使用定理很有好处。 例2：正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证： （1）A1C⊥BD； （2）A1C⊥BC1； （3）A1C⊥平面BDC1。 4、探究：如图，直四棱柱（侧面与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，？ 解：连结，因为平面，所以为在平面内的射影，由三

10、垂线定理知，当时，有，即四边形ABCD的对角线互相垂直时，。 （七）归纳总结 1、本节课重点学习了三垂线定理及其逆定理，它们是空间两线垂直的判定与性质定理，要牢固掌握，并注意原、逆定理的区别与联系。 2、学会按“一定、二找、三证”的步骤应用两个定理证明线线垂直。 （八）布置作业 1、已知点O是△ABC的BC边上的高上的任意一点，且OP⊥平面ABC，求证PA⊥BC。 2、如图，PD⊥平面ABC，AC = BC，D为AB的中点，求证：AB⊥PC。 3、如图，ABCD是矩形，PA⊥平面AC，连结PB、PC、PD，指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由。 教学反思： 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！