【试卷解析】福建省漳州市高一上学期期末数学试卷

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1、 福建省漳州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的． 1．（5分）下列式子中，不正确的是（） A． 3∈{x|x≤4} B． {﹣3}∩R={﹣3} C． {0}∪∅=∅ D． {﹣1}⊆{x|x＜0} 2．（5分）如果和是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（） A． = B． •=1 C． 2≠2 D． ||2=||2 3．（5分）函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域为（） A． [0，1） B． （0，1） C． （0，1] D． [0，1

2、] 4．（5分）与﹣463终边相同的角可以表示为（k∈Z）（） A． k•360+463 B． k•360+103 C． k•360+257 D． k•360﹣257 5．（5分）已知a，b∈R，若a＞b，则下列不等式成立的是（） A． lga＞lgb B． 0.5a＞0.5b C． D． 6．（5分）已知向量，满足||=||=2，与的夹角为120，则|﹣|的值为（） A． 1 B． C． D． 12 7．（5分）函数f（x）=3x+x﹣2的零点所在的一个区间是（） A． （1，2） B． （0，1） C． （﹣2，﹣1） D． （﹣1，0）

3、 8．（5分）已知函数，则它的一条对称轴方程为（） A． B． x=0 C． D． 9．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（） A． 向左平移个单位纵坐标不变 B． 向左平移个单位纵坐标不变 C． 向右平移个单位纵坐标不变 D． 向右平移个单位纵坐标不变 10．（5分）函数f（x）=ax﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（） A． B． C． D． 11．（5分）sinπ+cosπ的值是（） A． 4 B． 1 C． ﹣4 D． ﹣1 12．（5分）已知函数f（x）=x，g（x）为偶函数，且当x≥0时，g（x）=

4、x2﹣2x．记．给出下列关于函数F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R）的说法： ①当x≥3时，F（x）=x2﹣2x； ②函数F（x）为奇函数； ③函数F（x）在[﹣1，1]上为增函数； ④函数F（x）的最小值为﹣1，无最大值． 其中正确的是（） A． ①②④ B． ①③④ C． ①③ D． ②④ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．（4分）已知函数f（x）的定义域和值域都是{1，2，3，4，5}，其对应关系如下表所示，则f（f（4））=． x 1 2 3 4 5 f（x） 5 4 3 1 2 1

5、4．（4分）已知向量=（3，1），=（x，﹣3），若⊥，则x=． 15．（4分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一个周期的图象如图所示．则函数f（x）的表达式为f（x）=． 16．（4分）设定义在R上的函数f（x）满足：f（tanx）=，则f（2）+f（3）+…+f+f（）+f（）+…+f（）=． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知tanα=﹣2，求：α的值． 18．（12分）已知二次函数f（x）满足：f（0）=f（1）=1，且． （Ⅰ）求f（x）的解析式；

6、 （Ⅱ）求f（x）在的值域． 19．（12分）已知函数． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间； （Ⅱ）求函数f（x）在上的最值及取得最值时自变量x的取值． 20．（12分）某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线P1，P2如图所示．问怎样分配投资额，才能使投资获得最大利润？ 21．（12分）已知f（α）=． （Ⅰ）化简f（α）； （Ⅱ）若f（α）=﹣cosα，且α∈（0，π），求sinα﹣cosα的值． 22．（14分）已知函数为奇函数． （Ⅰ）若f（1）=5，求函数f（x）的

7、解析式； （Ⅱ）当a=﹣2时，不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，求实数t的最小值； （Ⅲ）当a≥1时，求证：函数g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在（﹣∞，﹣1]上至多有一个零点． 福建省漳州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的． 1．（5分）下列式子中，不正确的是（） A． 3∈{x|x≤4} B． {﹣3}∩R={﹣3} C． {0}∪∅=∅ D． {﹣1}⊆{x|x＜0} 考点： 集合的包含关系判断及应用．

8、专题： 集合． 分析： 本题的关键是正确认识元素与集合的关系，集合与集合的关系． 解答： 解：对于A，3≤4，故A正确 对于B，{﹣3}∩R={﹣3}，故B正确 对于C，{0}∪∅={0}，故C错误 对于D，﹣1＜0，故D正确 故答案为：C 点评： 本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征． 2．（5分）如果和是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（） A． = B． •=1 C． 2≠2 D． ||2=||2 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应

9、用． 分析： 利用单位向量的定义和数量积的性质即可得出． 解答： 解：∵和是两个单位向量， ∴． 故选：D． 点评： 本题考查了单位向量的定义和数量积的性质，属于基础题． 3．（5分）函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域为（） A． [0，1） B． （0，1） C． （0，1] D． [0，1] 考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出f（x）的定义域． 解答： 解：要使函数f（x）的解析式有意义，得： 解得：0≤x＜1； 所以原函数的定义域是：[0，1）．

10、 故选：A 点评： 本题考查了求函数定义域的问题，解题时应根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出定义域，是基础题． 4．（5分）与﹣463终边相同的角可以表示为（k∈Z）（） A． k•360+463 B． k•360+103 C． k•360+257 D． k•360﹣257 考点： 终边相同的角． 专题： 计算题． 分析： 直接利用终边相同的角的表示方法，写出结果即可． 解答： 解：与﹣463终边相同的角可以表示为：k•360﹣463，（k∈Z） 即：k•360+257，（k∈Z） 故选C 点评： 本题考查终边相同的角，是基础题． 5

11、．（5分）已知a，b∈R，若a＞b，则下列不等式成立的是（） A． lga＞lgb B． 0.5a＞0.5b C． D． 考点： 不等式比较大小． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： A．通过a，b取特殊值，即可得出选项的正误； B．由a＞b，利用指数函数的单调性即可得出，不正确； C．通过a，b取特殊值，即可得出选项的正误； D．利用函数f（x）=在R上单调递增即可得出，正确． 解答： 解：对于A．取a=﹣1，b=﹣2，无意义，不正确； 对于B．∵a＞b，∴0.5a＜0.5b，不正确； 对于C．取a=﹣1，b=﹣2，无意义，不正确； 对于D．由于函数f（x

12、）=在R上单调递增，又a＞b，因此，正确． 故选：D． 点评： 本题考查了指数函数、对数函数与幂函数的单调性，不等式的性质，属于基础题． 6．（5分）已知向量，满足||=||=2，与的夹角为120，则|﹣|的值为（） A． 1 B． C． D． 12 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 计算题；平面向量及应用． 分析： 运用向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，由完全平方公式计算即可得到． 解答： 解：由向量与的夹角为120，||=||=2， 则=22cos120=﹣2， 即有||== ==2． 故选B． 点评： 本题考查向量的数量积的

13、定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，属于基础题． 7．（5分）函数f（x）=3x+x﹣2的零点所在的一个区间是（） A． （1，2） B． （0，1） C． （﹣2，﹣1） D． （﹣1，0） 考点： 函数零点的判定定理；二分法求方程的近似解． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 易知函数f（x）=3x+x﹣2在R上单调递增且连续，从而由函数的零点的判定定理求解． 解答： 解：易知函数f（x）=3x+x﹣2在R上单调递增且连续， 且f（0）=1+0﹣2=﹣1＜0， f（1）=3+1﹣2=2＞0； 故函数f（x）=3x+x﹣2的零点所在的一个区间是（

14、0，1）； 故选B． 点评： 本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 8．（5分）已知函数，则它的一条对称轴方程为（） A． B． x=0 C． D． 考点： 正弦函数的图象． 专题： 计算题；三角函数的图像与性质． 分析： 利用正弦函数的对称性，可知2x+=kπ+（k∈Z），k赋值为0即可求得答案． 解答： 解：由2x+=kπ+，得x=+（k∈Z）， 令k=0，得x=， ∴它的一条对称轴方程为x=， 故选：C． 点评： 本题考查正弦函数的对称性，熟练掌握正弦函数的对称轴方程是解决问题的关键，属于基础题． 9．（5分）要得到函数的图象

15、，只需将函数的图象上所有点（） A． 向左平移个单位纵坐标不变 B． 向左平移个单位纵坐标不变 C． 向右平移个单位纵坐标不变 D． 向右平移个单位纵坐标不变 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论． 解答： 解：将函数的图象上所有点向左平移个单位纵坐标不变， 可得函数y=sin（x+）=sin（+）=cos（﹣）=cos（﹣）的图象， 故选：A． 点评： 本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础

16、题． 10．（5分）函数f（x）=ax﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（） A． B． C． D． 考点： 函数的图象． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 先判断函数的单调性，再判断函数恒经过点（﹣1，0），问题得以解决． 解答： 解：当0＜a＜1时，函数f（x）=ax﹣，为减函数， 当a＞1时，函数f（x）=ax﹣，为增函数， 且当x=﹣1时f（﹣1）=0，即函数恒经过点（﹣1，0）， 故选：D 点评： 本题主要考查了函数的图象和性质，求出函数恒经过点是关键，属于基础题． 11．（5分）sinπ+cosπ的值是（） A． 4 B． 1 C．

17、 ﹣4 D． ﹣1 考点： 对数的运算性质；二倍角的正弦． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用对数运算法则和二倍角的正弦公式求解． 解答： 解：sinπ+cosπ = = = = =﹣4． 故选：C． 点评： 本题考查对数的运算，是基础题，解题时要认真审题，注意正弦二倍角公式的合理运用． 12．（5分）已知函数f（x）=x，g（x）为偶函数，且当x≥0时，g（x）=x2﹣2x．记．给出下列关于函数F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R）的说法： ①当x≥3时，F（x）=x2﹣2x； ②函数F（x）为奇函数； ③函数F（x）在[﹣1，1]上为

18、增函数； ④函数F（x）的最小值为﹣1，无最大值． 其中正确的是（） A． ①②④ B． ①③④ C． ①③ D． ②④ 考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 可结合图象写出F（x）的解析式，然后结合F（x）的图象判断函数F（x）的奇偶性和单调性，从而判断②③的正确，最后结合图象分段求函数F（x）的最值． 解答： 解：因为函数f（x）=x，g（x）为偶函数，且当x≥0时，g（x）=x2﹣2x，所以g（x）=x2﹣2|x|， F（x）=，所以当x≥3时，F（x）=x2﹣2x，即①对； 因为F（x）的图象不关于原点对称，所以函数F（x）不

19、为奇函数，即②错； 由图象知函数F（x）在[﹣1，3]上是增函数，所以在[﹣1，1]上是增函数，即③对； 由图象易知函数F（x）的最小值为F（﹣1）=﹣1，无最大值．即④对． 故选：B 点评： 本题主要考查函数的两个重要性质﹣﹣奇偶性和单调性，考查数学上数形结合这一重要方法，是一道中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．（4分）已知函数f（x）的定义域和值域都是{1，2，3，4，5}，其对应关系如下表所示，则f（f（4））=5． x 1 2 3 4 5 f（x） 5 4 3 1 2 考点： 函数的值． 专

20、题： 函数的性质及应用． 分析： 利用函数对应关系表得到f（4）=1，f（1）=5，由此能求出f（f（4））． 解答： 解：∵函数f（x）的定义域和值域都是{1，2，3，4，5}， 由其对应关系表得到f（4）=1，f（1）=5， ∴f（f（4））=f（1）=5， 故答案为：5． 点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意识表能力的培养． 14．（4分）已知向量=（3，1），=（x，﹣3），若⊥，则x=1． 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 计算题；平面向量及应用． 分析： 运用向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到x． 解答： 解：由=（3，1

21、），=（x，﹣3）， 若⊥，则=0， 即为3x﹣3=0， 解得，x=1． 故答案为：1 点评： 本题考查平面向量的定义和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题． 15．（4分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一个周期的图象如图所示．则函数f（x）的表达式为f（x）=f（x）=sin（2x+）． 考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 由图象可得A，由周期的一半可得ω，代入点（，﹣1）结合φ的范围可得φ值，进而可得解析式． 解答： 解：由图象可得A=1，周期

22、T满足==﹣， 解得ω=2， ∴f（x）=sin（2x+φ）， 又图象过点（，﹣1）， ∴﹣1=sin（+φ）， 又∵， ∴φ= ∴所求函数的解析式为：f（x）=sin（2x+） 故答案为：f（x）=sin（2x+） 点评： 本题考查三角函数解析式的求解，由图象得出函数的周期，振幅和特殊点是解决问题的关键，属中档题． 16．（4分）设定义在R上的函数f（x）满足：f（tanx）=，则f（2）+f（3）+…+f+f（）+f（）+…+f（）=0． 考点： 三角函数的化简求值；函数的值；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 函数的性质及应用；三角函数的求值． 分析

23、： 由已知中f（tanx）=，根据万能公式，可得f（x）的解析式，进而可得f（x）+f（ ）=0，进而可得答案． 解答： 解：∵f（tanx）==， ∴f（x）=，f（）=== ∴f（x）+f（）=0 ∴f（2）+f（3）+…+f+f（）+f（）+…+f（）=0 故答案为：0 点评： 本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，其中根据已知求出f（x）=，以及f（x）+f（）=0是解答的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知tanα=﹣2，求：α的值． 考点： 同角三角函数基本关系的运用．

24、专题： 三角函数的求值． 分析： 原式利用同角三角函数间的基本关系变形，把已知等式代入计算即可求出值． 解答： 解：∵tanα=﹣2， ∴原式=+cos2α=+=+=+=1． 点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 18．（12分）已知二次函数f（x）满足：f（0）=f（1）=1，且． （Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）求f（x）在的值域． 考点： 二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （Ⅰ）【解法一】设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），根据题意列出方程组，求出a、b、c的值即

25、可； 【解法二】根据题意求出f（x）的对称轴与顶点坐标，设出f（x）的顶点式方程，求出它的解析式； （Ⅱ）根据f（x）的解析式，结合对称轴，求出f（x）在闭区间上的值域即可． 解答： 解：（Ⅰ）【解法一】设f（x）=ax2+bx+c，（a≠0）， 由已知得， 解得a=1，b=﹣1，c=1， ∴f（x）=x2﹣x+1； 【解法二】∵f（0）=f（1）=1，且， ∴f（x）的对称轴是，顶点为， ∴设， ∵， 解得a=1； ∴； （Ⅱ）∵f（x）=x2﹣x+1的对称轴是， 且， ， f（2）=4﹣2+1=3， ∴f（x）的值域为． 点评： 本题考查了二次函数的图象

26、与性质的应用问题，考查了求二次函数的解析式与值域的应用问题，是基础题目 19．（12分）已知函数． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间； （Ⅱ）求函数f（x）在上的最值及取得最值时自变量x的取值． 考点： 三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析： （Ⅰ）首先通过三角恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用公式求出函数的周期和单调区间． （Ⅱ）直接利用函数的定义域，利用整体思想求出函数的最值． 解答： 解：（Ⅰ）∵， ∴f（x）的最小正周期． 由， 得， ∴f（x

27、）的单调增区间为． （Ⅱ）∵，∴， ∴当，即时，f（x）min=﹣2， ∴当，即x=0时，． 点评： 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的周期的求法，函数的单调区间的应用，利用函数的定义域求函数的值域．属于基础题型． 20．（12分）某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线P1，P2如图所示．问怎样分配投资额，才能使投资获得最大利润？ 考点： 函数模型的选择与应用． 专题： 应用题；函数的性质及应用． 分析： 根据函数的模型求出两个函数解析式．将企业获利表示成对产品乙投资x

28、的函数，再利用配方法，求出对称轴，即可求出函数的最值． 解答： 解：由图可得，（x≥0），，（x≥0）， 设用x万元投资甲商品，那么投资乙商品为（10﹣x）万元，总利润为y万元．，（0≤x≤10） 当且仅当即时， 答：用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润． （也可把投资乙商品设成x万元，把投资甲商品设成（10﹣x）万元） 点评： 本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查二次函数的最值，属于中档题． 21．（12分）已知f（α）=． （Ⅰ）化简f（α）； （Ⅱ）若f（α）=﹣cosα，且α∈（0，π），求sinα﹣cosα的值．

29、 考点： 同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值． 专题： 三角函数的求值． 分析： （Ⅰ）根据三角函数的诱导公式进行化简f（α）； （Ⅱ）根据同角的三角函数关系式进行求解． 解答： 解：（Ⅰ） （Ⅱ）由（Ⅰ）得f（α）=sinα， ∴，即， 两边平方得， ∴ 又α∈（0，π），则， ∴sinα﹣cosα＞0 由， 故 点评： 本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用三角函数的诱导公式以及同角的三角函数的关系式是解决本题的关键． 22．（14分）已知函数为奇函数． （Ⅰ）若f（1）=5，求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）当a=﹣2时，不等式f

30、（x）≤t在[1，4]上恒成立，求实数t的最小值； （Ⅲ）当a≥1时，求证：函数g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在（﹣∞，﹣1]上至多有一个零点． 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数奇偶性的性质． 专题： 综合题；函数的性质及应用． 分析： （Ⅰ）由奇函数定义可得f（﹣x）=﹣f（x），可求b，由f（1）=5可得a； （Ⅱ）不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，等价于f（x）max≤t，易判断a=﹣2时f（x）在[1，4]上的单调性，由单调性可得最大值； （Ⅲ）表示出g（x），只需判定函数g（x）在（﹣∞，﹣1]单调即可，利用单调性的定义可作出判断； 解答： 解

31、：（Ⅰ）∵函数为奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x），即， ∴b=0， 又f（1）=4+a+b=5， ∴a=1 ∴函数f（x）的解析式为． （Ⅱ）a=﹣2，． ∵函数在[1，4]均单调递增， ∴函数f（x）在[1，4]单调递增， ∴当x∈[1，4]时，． ∵不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立， ∴， ∴实数t的最小值为． （Ⅲ）证明：， 设x1＜x2≤﹣1， =， ∵x1＜x2≤﹣1， ∴， ∵a≥1，即﹣a≤﹣1， ∴，又， ∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2）， ∴函数g（x）在（﹣∞，﹣1]单调递减， 又c∈R，可知函数g（x）在（﹣∞，﹣1]上至多有一个零点． 点评： 本题考查函数的单调性、奇偶性及其应用，考查函数最值的求解，考查学生综合运用函数性质分析解决问题的能力，属中档题． - 18 -