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1、数项级数敛散性判别方法归纳总结与解题思路分析
摘要：文章对数项级数敛散性的判别方法进行了归纳总结，得到一般的解题思路.
关键词：数项级数 敛散性 判别方法 归纳总结 解题思路
引言： 在讲解数项级数敛散性判别方法时，每讲一种判别方法，学生按照指定的判别方法进行解题，一般都能很容易求得结果，而当把多种判别方法讲完，再让学生作综合判别时， 学生要么束手无策，要么选择判别方法时带有盲目性 ，拿作判别方法进行实验性解题，只要求得结果，不问方法的简单与繁琐，而不是先从简单方法入手，往往用一种简单的方法就可以轻松解题，却用较繁琐方法费了九牛二虎之力，结果还不一定正确，
2、造成这种情况的主要原因主要是学生对所学的判别方法的使用条件及特点不太熟悉，解题思路比较乱 .所以在讲解完常数项级数敛散性判别方法之后，非常有必要归纳总结一下.
教材中常数项级数敛散性判别方法有以下多种特殊项级数
（一）等比级数（几何级数）判别法：
（1） 当时，级数收敛； （2）当时，级数发散
（二）级数判别法：
(1)当时，级数发散
(2)当时，级数收敛
正项级数
（三）比较原则：设与是两个正项级数，若
（2） 当时，两级数同时收敛或同时发散；
（3） 当且级数收敛时，级数也收敛；
（4） 当且级数发散时，级数也发散；
（四）比式判别法（极限形式）若为正项级数，且
3、则
(1)当时，级数也收敛；
(2)当时，或时，级数发散；
注：当时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数与，它们的比式极限都是 但是收敛的，而是发散的.
（五）根式判别法（极限形式）若为正项级数，且则
(1)当时，级数收敛
(2)当时，级数发散
注：当时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数与，二者都有，但是收敛的，而是发散的.但是收敛的，而是发散的.
（六）积分判别法：设是上非负递减函数那么正项级数与非正常积分同时收敛或同时发散；
（七）拉贝判别法（极限形式）若为正项级数，且
存在，则
(1)当时，级数
4、收敛；
(2)当时，级数发散；
(3)当时拉贝判别法无法判断.
一般项级数
（八）级数若，则此级数发散.
（九）柯西收敛准则级数收敛的充要条件：当
时，有：
（十）绝对收敛定义法：若级数各项绝对值所组成的级数收敛，则原级数收敛；
（十一）莱布尼兹判别法：若交错级数满足下述两个条件：
(1)数列单调递减；
(2)
则级数收敛.
（十二）阿贝耳判别法：设级数若为单调有界数列，且级数收敛，则级数收敛.
（十三）狄利克雷判别法：设级数若单调递减，且又级数的部分和数列有界，则级数收敛.
每个级数收敛的判别方法往往不是唯一的，按什么步骤判别其敛散性才能较快地得出结论呢？
5、
(1)等比级数和级数的敛散性判别比较简单，由级数的形式就可直接看出；由，即可判断，级数发散；比式判别法和根式判别法只要算出和的值即可。前者比后者更常用，但后者较之前者更有效（见例1），以上这些方法都比较简单，应优先考虑：比较原则需要找一个已知其敛散性的级数作比较（见例2）：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以非正常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性的方法（见例3）：比式判别法和根式判别法是基于把要判断的级数与某一几何级数相比较的想法而得到的，也就是说，只有那些级数的通项收敛于零的速度比某一几何级数的通项收敛速度快的级数，这两种方法才能鉴定出它的收敛性.如果级数的通项收敛于
6、零的速度较慢，就必须寻找级数的通项收敛于零的速度较慢的级数作为比较标准，那么以P-级数为比较标准，得到拉贝判别法（见例4）.对于一般项级数应先判别的敛散性，可按正项级数的敛散性判别方法判定，若收敛，则绝对收敛（见例5），若发散：再看是否满足交错级数的收敛条件，若满足则为条件收敛（见例6）.对于行如的级数可用阿贝尔判别法（见例7）或狄利克雷判别法（见例8）判别其收敛性，这两种方法难度都比较大，应适当选取和,最后对于任意的级数都可以用柯西收敛准则进行判断其敛散性，但繁琐，难度大，在可以使用以上方法判断时，应尽量避免使用柯西收敛准则（见例9）
例1：判别级数的敛散性
解：首先它不是等比级数，也不
7、是级数，由于
故用比式判别法无法判定此级数的敛散性，现在用根式判别法来考察这个级数，由于
所以 由根式判别法知原级数收敛.
注：能由比式判别法判定敛散性的级数，也能用根式判别法来判断，反之不成立.
例2 判别级数的敛散性
解：它不是等比级数也不是级数，也无法用比式判别法和根式判别法来解题。由于 ，根据比较原则，及调和级数发散，所以级数也发散.
例3 讨论级数的敛散性
解：研究非正常积分，由于
当时收敛 时发散，由积分判别法级数在时收敛 时发散
例4 讨论级数当时的敛散性
解：无论哪一个值，级数的比式极限都有
所以用比式
8、判别法都无法判别此级数的敛散性，现在应用拉贝判别法来讨论，
当时，由于
所以级数是发散的.
当时，由于
这时，拉贝判别法也无法对此级数作出判断，
当时，由于
所以级数收敛.
例5．的各项绝对值所组成的级数是
应用比式判别法，对于任意实数都有
=0
因此，所考察的级数对任何实数都绝对收敛.
例6 考察级数 的敛散性.
解：因为发散，不满足绝对收敛定义，而此级数满足莱布尼茨条件，故收敛.
例7 讨论级数 (x>0)的敛散性.
解：对于数列{ } 来说，当x>0时，0<<=1
又
即数列 { } 是单调有界的，又 收敛，
由阿贝
9、尔判别法知道愿级数收敛.
例8 证明：若数列{} 具有性质： ,
则级数 对任何x都收敛.
证明：因为
=
=
当x时,故有：
所以级数 的部分和数列当x时有界，由狄利克雷判别法得级数收敛.
例9 证明级数的收敛性
证明：为p-级数，p=2>1，显然此级数是收敛的.
（下面用柯西收敛准则证明）
由于
=
<
=
=<
因此，对任给正数 ，取，使得当m>N 及任意自然数p，由上式就有
<<
由柯西收敛准则推得级数是收敛的.
总结了数项级数敛散性的判别法和解题思路后
10、，我们就能更好地掌握如何先则数项级数敛散性的判别法，做到避繁就简，思路清晰，起到事半功倍的效果.
参考文献：
[1]华东师范大学数学系编《数学分析》（第三版）北京大学高等教育出版社，1991
[2]《数学分析习题解析》下册，陕西师范大学出版社，1993
The Induction about Convergence Criterions of Constant Term Series and the Analysis of Thinks of Solution
Abstract: The article induced convergence criterions of constant term series and obtained general thinking of solution.
Keywords: constant term series; convergence ， decision， methods; induction; thinking.
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