5.第22课时 矩形、菱形、正方形



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1、第22课时 矩形、菱形、正方形 第七章 图形的变化 考点特训营 考点精讲 矩形、菱形、正方形 矩形 菱形 正方形 四边形之间的转化关系 中间四边形 边:矩形的对边平行且相等 ABCD,ADBC ABCD,AD_ 角:四个角都是直角:ABCBCDCDA DAB90 对角线:矩形的对角线相等且互相平分:ACBD, OAOC,OBOD 对称性:既是中心对称图形,又是轴对称图形, 有_条对称轴 性质 BC 2 有一个角是_的平行四边形是矩形 判定 有三个角都是直角的四边形是矩形 对角线_的四边形是矩形 面积:S=_(a、b分别表示长和宽) 直角 互相平分且相等 ab 边 菱形的四条边都相等:AB=BC
2、=CD=DA 对边平行:ABCD,ADBC 性质 角:对角相等DAB=DCB,ADC=ABC 对角线 对称性 判定 面积 菱形的对角线互相垂直且_ ACBD AOCO,DOBO 对角线平分一组对角 AC平分DAB与_ BD平分ABC与ADC 对称性:既是中心对称图形,又是轴对称图形,有_ 条对称轴 平分 DCB 2 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 平行四边形ABCD _ 四边形ABCD是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 四边形ABCD ABBCCDAD 四边形ABCD是菱形 面积:S_(m、n分别表示两条对角线的长) ACBD 12mn 边 四条边都相等:A
3、B=BC=CD=DA 对边平行:ABCD,ADBC 性质 角:四个角都是直角: ABC=BCD=CDA=DAB=90 对角线 对称性 判定 面积 ACBD 对角线互相_且相等 AO=CO,DO=BO AC=BD 对角线平分一组对角 DAC=BAC=_,DCA=BCA=45 ADB=CDB=_,ABD=CBD=45 对称性:既是中心对称图形,又是轴对称图形,有4条对称轴 垂直平分 45 45 有一个角是_的菱形是正方形 有一组邻边_的矩形是正方形 有一组邻边_,并且有一个角是_的平行四边形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形: 矩形ABCD _ 四边形ABCD是正方形 直角(或90) 相等 相
4、等 直角(或90) ACBD 对角线相等的菱形是正方形: 菱形ABCD AC=BD 四边形ABCD是正方形 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形: ACBD AO=CO,DO=BO 四边形ABCD是正方形 AC=BD 面积:S_ (a表示正方形边长) a2 相等 直角 直角 相等 中点四边形:平行四边形的中点四边形为平行四边形;矩形的中点四边形是菱形;菱形的中点四边形是矩形;正方形的 中点四边形是正方形. 重难点突破 一 与矩形有关的证明及计算(重点) 例1如图,在四边形ABCD中,ADBC,ABC=ADC=90,对角线AC,BD 交于点O,DE平分ADC交BC于点E,连接OE (1)求证
5、:四边形ABCD是矩形; 【思维教练】可利用三个角是直角的四边形是矩形来证明; 自主作答: 例1题图 (1)证明:ADBC, ABCBAD180, ABC90, BAD90, BADABCADC90, 四边形ABCD是矩形; (2)若AB=2,求OEC的面积 【思维教练】作OFBC于F求出EC、OF的长,然后利用三角形的面积公式求解即可. 自主作答: (2)解:如解图,作OFBC于点F. 四边形ABCD是矩形, CDAB2,BCD90, ACBD, AOBOCODO, BFFC, OF CD1, DE平分ADC,ADC90, EDC45,在RtEDC中,ECCD2, OEC的面积 EC OF1
6、. 例1题解图 1212满 分 技 法 对于以矩形为背景的相关计算,要掌握以下内容: 1.矩形的四个角都是直角,一条对角线将矩形分成两个直角三角形,用勾股定理或三角函数求线段的长; 2.矩形对角线相等且互相平分,故可借助对角线的关系得到全等三角形; 3.矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形; 4.当已知条件中有一个角为30时,应联想到“在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质. 练习1如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点E、F分别是AO、AD的中点,若AB=6,BC=8,则AEF的周长为( ) A.6 B.8 C.9 D.10 练习1题图 C 【解析】四边
7、形ABCD是矩形,ADBC8,BAD90,OBODOAOC,在RtBAD中, BD 10, ODOAOB5,E、F分别是AO,AD的中点,EF OD ,AE ,AF4,AEF周长为9. 2222= 68A BA D125252练习2如图,在矩形ABCD中,已知AB=6,BC=8连接AC,BD,CE平分ACD交BD于点E,则DE=_. 练习2题图 3011【解析】如解图,过点D作DFAC交CE的延长线于点F,设AC、BD相交于点O,CE平分ACD,ACEDCEDFE, DFCDAB6,AB6,BC8, ACBD 10, ODOC5, DFAC, DEFOEC, , 且OEODDE5DE, , 解
8、得DE . 301122A B B C =DEDFOEOC6=55DEDE 练习2题解图 二 与菱形有关的证明及计算(重点) 例2在RtABC中,BAC=90,D是BC中点,E是AD中点,过A作AFBC,交BE的延长线于点F,连接CF. (1)求证:AEFDEB; 自主作答: 例2题图 (1)证明:AFBC, AFEDBE, E是AD的中点, AEDE, 在AEF和DEB中, AEFDEB(AAS); =FEABEDAFEDBEAEDE (2)求证:四边形ADCF是菱形; 【思维教练】利用(1)中全等三角形的对应边相等得到AF=BD结合已知条件,利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”
9、得到四边形ADCF是平行四边形,要证四边形ADCF为菱形,还需证得一组邻边相等,由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到BD=AD=DC,从而得出结论 自主作答: (2)证明:由(1)知,AFEDBE, AFDB. AD是BC边上的中线, DBDC, AFCD.AFBC, 四边形ADCF是平行四边形, BAC90,D是BC的中点, ADDC BC, 四边形ADCF是菱形; 12(3)若AB=5,AC=4,求菱形ADCF的面积 【思维教练】由三角形中线的性质和菱形的性质得出SABD =SACD =SACF,得出S 菱形ADCF =S RtABC= AB AC,即可得出答案 自主作答: 12解
10、:D是BC的中点,四边形ADCF是菱形, SABDSACDSACF, S菱形ADCFS RtABC AB AC 5410. 1212满 分 技 法 与菱形有关的计算,一般有以下三种设问:求角度;求长度(线段长或者周长);求面积. 1.求角度时,应注意菱形的四条边相等和对角相等、邻角互补等,可利用等腰三角形的性质和平行线的相关性质,转化要求的角,直到找到与已知的角存在的关系; 2.求长度(线段长或者周长)时,应注意使用等腰三角形的性质;若菱形中存在一个顶角为60,则连接120顶角所对的顶点的对角线所分割的两个三角形为等边三角形,在计算时可借助等边三角形的性质进行求解;连接对角线构成直角三角形,则
11、应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形等进行求解; 3.求面积时,可直接利用S=底高来求解,也可利用菱形的两条对角线互相垂直,其面积等于对角线之积的一半来进行求解. 练习3如图,在菱形ABCD中,AEBC于点E,AFCD于点F,且E、F分别为BC、CD的中点,则EAF等于( ) A 75 B 45 C 60 D 30 练习3题图 C 【解析】如解图,连接AC, AEBC,AFCD,且E、F分别为BC、CD的中点, ABAC,ADAC,四边形ABCD是菱形,ABBCCDAD,ABBCAC,ACCDAD,BD60,BAEDAF30,BAD180B120, E
12、AFBADBAEDAF60. 故选C. 练习3题解图 练习4如图,在菱形ABCD中,BAD=120,点E、F分别在边AB、BC上,BEF与GEF关于直线EF对称,点B的对称点是G,且点G在边AD上,若EGAC,AB=2,则FG的长为. 练习4题图 【解析】四边形ABCD是菱形,BAD120,ABBCCDAD,CABCAD60, ABC,ACD是等边三角形, EGAC,AEGAGE30,BEGF60, AGF90,即FGAD,又BCAD,FGBC, 2 SABCBC FG,2 222 FG,FG . 343三与正方形有关的证明及计算(重点) 例3如图,已知正方形ABCD,P是对角线AC上任意一点
13、,E为AD上的点,且EPB=90,作PMAD,PNAB,垂足分别为M、N (1)求证:四边形PMAN是正方形; 【思维教练】要证四边形PMAN为正方形,由已知可得NAM=90,AMP=ANP=90,可得四边形PMAN为矩形;AC平分BAD,则可得PM=PN,可证得四边形PMAN是正方形. 自主作答: 例3题图 证明: (1)四边形ABCD是正方形, BAD90,AC平分BAD, PMAD,PNAB, PMPN,PMAPNA90, 四边形PMAN是矩形, PMPN, 四边形PMAN是正方形; (2)求证:EM=BN 【思维教练】由四边形PMAN是正方形,易证得EPMBPN,即可证得:EM=BN.
14、 自主作答: (2)四边形PMAN是正方形, PMPN,MPN90, EPB90, MPEEPNNPBEPN90, MPENPB, 在EPM和BPN中, PMAPNB90,PMPN,MPENPB, EPMBPN(ASA), EMBN. 满 分 技 法 对于正方形性质的有关计算问题,应注意合理运用其性质及由性质得到的一些结论: 1.四边相等,四角相等且均为90; 2.对角线垂直平分且相等; 3.对角线平分一组对角得到45角; 4.边长与对角线的长度比为12. 练习5如图,E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点,BE=BC,P为CE上任意一点,PQBC于点Q,PRBE于点R,则PQ+PR的值为
15、( ) A. B. C. D. 练习5题图 2212322D 【解析】如解图,连接BP,设点C到BE的距离为h,则SBCESBCPSBEP,即 BE h BC PQ BE PR, BEBC,hPQPR, 即h AC BD 2 . 练习5题解图 22121212121212练习6ABC是边长为18的正三角形,点D、E分别在边AB、BC上,且BD=BE当四边形DEFG是边长为6的正方形时,点F到AC的距离为_. 练习6题图 6 3 - 6【解析】如解图,作BLAC于点L交DE于点H,交FG于点K,ABC是等边三角形,ACBCAB18,C60,BLBC sin60 ,BEBD,BED是等边三角形,BEBDDE6,BHEB sin60 HKEF6,BK 6,KLBLBK ( 6) ,BEDC60,DEAC,DEFG,FGAC,点F到AC的距离为 . 6 3 - 693333393336 3 - 6练习6题解图
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