2014-2015学年高中数学（苏教版选修2-1） 第1章 常用逻辑用语 第1章 单元检测（A卷）

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1、 第1章 单元检测(A卷) (时间：120分钟　满分：160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．有关命题的说法正确的有________．(写出所有正确命题的序号) ①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”； ②“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件； ③若p且q为假命题，则p、q均为假命题； ④对于命题p：存在x∈R，使得x2＋x＋1<0， 则p：对x∈R，均有x2＋x＋1≥0. 2．下列命题中，真命题是________．(写出符合要求的序号) ①m∈R，使函数f(x)＝x2

2、＋mx (x∈R)是偶函数； ②m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx (x∈R)是奇函数； ③m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx (x∈R)都是偶函数； ④m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx (x∈R)都是奇函数． 3．有四个关于三角函数的命题： p1：x∈R，sin2＋cos2＝； p2：x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y； p3：x∈[0，π], ＝sin x； p4：sin x＝cos yx＋y＝. 其中的假命题是__________．(写出所有假命题的代号) 4．已知命题p：“a＝1”是“x>0，x＋≥2”的充分必要条件，命题q：x0∈R，x2＋x

3、－1>0.则下列结论中正确的是________． ①命题“p∧q”是真命题； ②命题“p∧q”是真命题； ③命题“p∧q”是真命题； ④命题“p∧q”是假命题． 5．已知命题p：x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________． 6．已知p：|x＋1|>2，q：5x－6>x2，则p是q的______________条件． 7．给出命题“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有________个． 8．下列命题中的假命题是________．(写出所有假命题的序号)．

4、①x∈R,2x－1>0；②x∈N*，(x－1)2>0； ③x∈R，lg x<1；④x∈R，tan x＝2. 9．已知命题p：x∈R，sin x

5、____________________． 12．在△ABC中，“A>30”是“sin A>”的______________条件． 13．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p” 为___________________________________________________________． 14．下列四个命题中， ①“k＝1”是“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”的充要条件； ②“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7相互垂直”的充要条件； ③函数y＝的最小值为2. 其中是假命题的为________(将你认为是假命题

6、的序号都填上) 二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(14分)将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假． (1)正方形是矩形又是菱形； (2)同弧所对的圆周角不相等； (3)方程x2－x＋1＝0有两个实根． 16．(14分)判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

7、 17.(14分)已知p：≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0 (m>0)，若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围． 18．(16分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件． 19.(16分)p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的

8、取值范围． 20．(16分)已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围． 单元检测卷答案解析 第1章　常用逻辑用语(A) 1．①②④　2.① 3．p1，p4 解析　∵对∀x∈R，均有sin2＋cos2＝1而不是，故p1为假命题．当x，y，x－y有一个为2kπ(k∈Z)时，sin x－sin y＝sin(x－y)成立，故p2是真命题． ∵cos 2x＝1－2sin2 x， ∴＝＝sin

9、2x. 又∵x∈[0，π]时，sin x≥0，∴对∀x∈[0，π]，均有 ＝sin x，因此p3是真命题．当sin x＝cos y，即sin x＝sin(－y)时，x＝2kπ＋－y，即x＋y＝2kπ＋(k∈Z)，故p4为假命题． 4．③④ 解析　a＝1⇒x＋＝x＋≥2＝2， 显然a＝2时也能推出“∀x>0，x＋≥2”成立， 所以“a＝1”是“∀x>0，x＋≥2”的充分不必要条件， 故p是假命题，而q是真命题，故③④正确． 5．00对∀x∈R恒成立，故有 Δ＝4a2－4a<0，所以0

10、分不必要 解析　|x＋1|>2⇒x>1或x<－3， ∴綈p为：－3≤x≤1,5x－6>x2⇒2

11、一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题． 第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可． 14．①②③ 解析　①“k＝1”可以推出“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”，但是函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π，即y＝cos 2kx，T＝＝π，k＝1. ②“a＝3”不能推出“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7相互垂直”，反之垂直推出a＝； ③函数y＝＝＝＋，令＝t，t≥，ymin＝＋＝. 15．解　(1)若一个四边形是正方形，则它既是矩形，又是菱形，为真命题．

12、 (2)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，为假命题． (3)若一个方程为x2－x＋1＝0，则这个方程有两个实数根，为假命题． 16．解　方法一　(直接法) 逆否命题：已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集． 判断如下： 二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2图象的开口向上， 判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7. ∵a<1，∴4a－7<0. 即二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点， ∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真． 方法

13、二　(先判断原命题的真假) ∵a、x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空， ∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0， 即4a－7≥0，解得a≥， ∵a≥>1，∴原命题为真． 又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真． 方法三　(利用集合的包含关系求解) 命题p：关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有非空解集． 命题q：a≥1. ∴p：A＝{a|关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有实数解}＝{a|(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0}＝， q：B＝{a|a≥1}． ∵A⊆B，∴“若p，则q”为真， ∴“若p，则q

14、”的逆否命题“若綈q，则綈p”为真． 即原命题的逆否命题为真． 17．解　綈p：>2，解得x<－2或x>10， A＝{x|x<－2或x>10}． 綈q：x2－2x＋1－m2>0， 解得x<1－m或x>1＋m， B＝{x|x<1－m或x>1＋m}． ∵綈p是綈q的必要非充分条件，∴BA， 即⇒m≥9，∴m≥9. 18．解　令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，方程有两个大于1的实数根⇔， 即k<－2. 所以其充要条件为k<－2. 19．解　对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立⇔a＝0或⇔0≤a<4； 关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根⇔1－4a≥0⇔a≤；如果p真，且q假，有0≤a<4，且a>， ∴