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1、1 .(本小题满分12分)已知函数f(x) 2msin2x 273msin x cosx n的定义域为0, — ,
2
值域为 5,4 .试求函数g(x) msin x 2ncosx ( x R)的最小正周期和最值.
2 .(本小题满分12分)
两个人射击，甲射击一次中靶概率是 P1,乙射击一次中靶概率是 P2,已知《，是方程
P1 p2
x2 —5x + 6 = 0
的根，若两人各射击5次，甲的方差是5 .
4
1求p 1、P2的值；
2两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？
3两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，则完成目的的概率是多少
2、？
3 .(本小题满分12分)
v2 2 LLIir umu
P是以F1、F2为焦点的双曲线C: x251 (a>0, b>0)上的一点，已知PF1 PF2=0, a b
Luir LULL
IPF1I 2| PF2 | .
(1)试求双曲线的离心率e；
uiir uiir 27 uur unr
(2)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于 P1、B两点，当OR OF2 一，2PR PR =
4
0,求双曲线的方程.
4 .(本小题满分14分)
设f(x)是定义在［-1 , 1］上的偶函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x 1对称，且当
x € ［ 2 , 3
3、 ］时，g(x) 2a ( x 2 ) 4( x 2)3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(0,1］上为增函数，求a的取值范围；
(3)是否存在正整数a,使f(x)的图象的最高点落在直线y 12上？若存在，求出a的值；若 不存在，请说明理由.
1.
解析：f (x)
3msin2x
0,—
2
2x
m > 0 时,
f(x)max
2m(
解得m
3,n
2,
从而,
g(x)
3sin x
最大值为5,
当m< 0时，解得m
数学擂台高考题答案
mcos2x m n
sin(2x —) 6
2msin(2x —) m n
f
4、 (x)min m n 5
4cos x 5sin( x ) (x R),
最小值为—5;
从而，g(x) 3sin x 2cosx 3sin(x ) , T=2 ,最大值为 V13 ,
最小值为职.
2.解析：1由题意可知
~ B(5, p 1),
4
6
10
8
12
5
D 甲=5p 1 1 — Pi = 4
p 12—Pi
Pi
1
P1
1
=6 P2
两类情况：共击中
3次概率
2
C2
0XC
1
1xc
共击中4次概率
2
C2
XC
，1
所求概率为6 +
1
36
7
36
3设事件A, B分别表示
5、甲、
乙能击中.
•• A,
B互相独立
(9分)
A-
P B = 1-PA 1-PB
1 一 P1 1 一 P2
2 1
x-=-
3 3
(11 分)，
-P
A・B
|为所求概率.12分
3
uuir uuur uuir uuuu
3.解(1) |PF1 | 2|PF2|, |PF1 | IPF2I
2a ，
6、
uuu
••• IPFil
uuur
4a , | PF2 | 2a.
3品=0, ••・ (4a) 2+(2a) 2=(2c) 2,
(2)由(1)知,
双曲线的方程可设为
2
y 1
4a
渐近线方程为y
设 R(x1, 2x1),
P2(x 2 , -2x 2),
P(x,
..uur Luuu
・ OP1QF2
3Xi%
27
T，
・・X1X2
iur
/ 2PP
nur
PP2
2x, x2 ,
3
2(2为 x2)
.・•点P在双曲线上,
(2x
9a
x2)
2
(2x x2)2
-9a2
化简
7、得，x. 9f
:双曲线的方程为<
1…12分
4.解：(1)当 xC [-1 , 0]时,
2-xC[2,
3] , f(x)=g(2-x)= -2ax+4x
3;当 x€ (0,1]时,
f(x)=f(-x)=2ax-4x 3,
. 2ax 4x3, 1 w x w 0,
• ・ f(x) 3
2ax 4x , 0 x < 1.
(2)由题设知，f(x)>0对xC (0,1]恒成立,即2a-12x2>0对xC (0,1]恒成立,于是, a>6x2,从而 a> (6x2) ma)=6. 8 分
(3)因f(x)为偶函数，故只需研究函数f(x)=2ax-4x 3在xC (0,1]的最大化
令 f (x) =2a-12x2=0,彳# x q.…化分 若 jaC(0,1],即 01,即 a>6,则 f(x)在(0,1］上为增函数，于是［f(x)］max f (1) 2a 4 .
令2a-4=12,故a=8.综上，存在a = 8满足题设. 13分
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