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1、
课时作业53 排列与组合
一、选择题
1．(2019学年高中数学模块综合检测)方程C＝C的解集为 ( )
A．{4} B．{14}
C．{4，6} D．{14，2}
解析：∵C＝C，
∴x＝2x－4或x＋2x－4＝14，
∴x＝4或x＝6，
经检验知x＝4或x＝6符合题意，故方程C＝C的解集为{4，6}．故选C.
答案：C
2．(2019年河北省武邑中学高三下学期期中考试)北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者(编号分别是1，2，…，30号)，现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编
2、号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是 ( )
A．25 B．32
C．60 D．100
解析：6号、15号与24号放在一组，则其余三个编号要么都比6小，要么都比24大，比6 小时，有C＝10种选法，都比24大时，有C＝20种选法，合计30种选法，6号、15号与24在选厅时有两种选法，所以选取的种数共有(10＋20)2＝60种，故正确选项为C.
答案：C
3．(2019学年福建省厦门外国语学校高二下学期期中考试)将编号为1，2，3，4的四个小球放入A，B，C三个盒子中，若每个盒子至少放一个球，且1号球和2号球不
3、能放在同一个盒子，则不同的放法种数为 ( )
A．30 B．24
C．48 D．72
解析：由题意知4个小球有2个放在一个盒子里的种数是C，把这两个作为一个元素同另外两个元素在三个位置排列，有A种结果，而①②号小球放在同一个盒子里有A＝6种结果，所以编号为①②的小球不放到同一个盒子里的种数是CA－6＝30，故选A.
答案：A
4．(2019学年福建省厦门第一中学高二下学期期中考试)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有 ( )
A．10种 B．20种
C．36种 D．52种
解析：由
4、题意得，把4个颜色不相同的球分为两类：一类是：一组1个，一组3个，共有CC＝4种，按要求放置在两个盒子中，共有4种不同的放法； 另一类：两组各两个小球，共有＝3种不同的放法，按要求放置在两个盒子中，共有3A＝6种，所以共有4＋6＝10种不同的放法，故选A.
答案：A
5．我市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建7个河滩主题公园，为提升城市品位、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为 ( )
A．12 B．8
C．6 D．4
解析：从中间5个选2个共有10种方法，去掉相邻的4种方法，共
5、有6种方法，选C.
答案：C
6．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为 ( )
A．150种 B．180种
C．240种 D．540种
解析：先将5个人分成三组， (3，1，1)或(1，2，2)，分组方法有C＋＝25种，再将三组全排列有A＝6种，故总的方法数有256＝150种．
答案：A
7．将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法种数为( )
A．15 B．21
C．18 D．24
解析：将四个小球分成(2，1，1)组，其中2个球
6、分给一个小朋友的分法有(红红)，(红白)，(红黄)，(白黄)四种．若(红红)，(红白)，(红黄)分给其中一个小朋友，则剩下的分给其余两个小朋友，共有33A＝18种；若(黄白)分给其中的一个小朋友，则剩下的分给其余两个小朋友，只有一种分法，共有13＝3种．由分类计数原理可得所有分法种数为18＋3＝21，应选B.
答案：B
8．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为 ( )
A．24 B．18
C．16 D．10
解析：第一类，甲在最后一个体验，则有A种方法；第二类，甲不
7、在最后一个体验，则有AA种方法，所以小李旅游的方法共有A＋AA＝10种．故选D.
答案：D
9．(2019年湖南师范大学附属中学高三月考)把7个字符a，a，a，b，b，α，β排成一排，要求三个“a”两两不相邻，且两个“b”也不相邻，则这样的排法共有 ( )
A．144种 B．96种
C．30种 D．12种
解析：现排列b，b，α，β，若α，β不相邻，有CA＝6种，若α，β相邻，有CA＝6种，共有6＋6＝12种，从所形成的5个空位中选3个插入a，a，a，共有12C＝120种，若b，b相邻时，从所形成的4个空中选3个插入a，a，a，共有AC＝24种，所以三个“a”两两不相邻，且两个
8、“b”也不相邻，这样的排法共有120－24＝96种，故选B.
答案：B
10．(2019年安徽省宿州市高三上学期第一次教学质量检测)将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为 ( )
A. B.
C. D.
解析：由题意得将3名教师和3名学生共6人平均分成3组，安排到三个社区参加社会实践活动的方法共有CC＝90种，其中每个小组恰好有1名教师和1名学生的安排方法有(CC)(CC)＝36种，故所求的概率为P＝＝.选B.
答案：B
11．(2019年宁夏吴忠市高三下学期联考)一生产过程有4道工序，每道
9、工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有 ( )
A．24种 B．36种
C．48种 D．72种
解析：此题的难度主要是来自分类，按“问题元素”优先的原则，对甲进行分类：甲照看第一道工序(甲1丙4)、甲照看第四道工序(甲4乙1)、甲“休息”(乙1丙4)三种．CCA＋CCA＋CCA＝36.
答案：B
12．(2019学年江西省抚州市临川区第一中学期中)几只猴子在一棵枯树上玩耍，它们均不慎失足下落．已知
(1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，
10、C；
(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；
(3)丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；
(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；
(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E.
则这9根树枝从高到低不同的次序有( )
A．23种 B．24种
C．32种 D．33种
解析：不妨设A，B，C，D，E，F，G，H，I代表树枝的高度，五根树枝从上至下共九个位置，根据甲依次撞击到树枝A，B，C；乙依次撞击到树枝D，E，F；丙依次撞击到树枝G，A，C；丁依次撞击到树枝B，D，H；戊依次撞击到树枝I，C，E.可得G>A＞B，且在前四个位置，C>E>F，D>E
11、>F，且E，F一定排在后四个位置，(1)若I排在前四个位置中的一个位置，前四个位置有4种排法，若第五个位置排C，则第六个位置一定排D，后三个位置共有3种排法，若第五个位置排D，则后四个位置共有4种排法，所以I排在前四个位置中的一个位置时，共有4(3＋4)＝28种排法；(2)若I不排在前四个位置中的一个位置，则G，A，B，D按顺序排在前四个位置，由于I>C>E＞F，所以后五个位置的排法就是H的不同排法，共5种排法，即若不排在前四个位置中的一个位置共有5种排法，由分类计数原理可得，这9根树枝从高到低不同的次序有28＋5＝33种，故选D.
答案：D
二、填空题
13．(2019年福建省厦门外国
12、语学校高二下学期期中考试)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加厦门市华侨博物院志愿者服务活动，每人从事礼仪、导游、翻译、讲解四项工作之一，每项工作至少有一人参加. 甲、乙不会导游但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________(用数字作答)．
解析：根据题意，分情况讨论：①甲乙一起参加除了导游的三项工作之一，有CA＝18种；
②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况：
a．丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有ACA＝3232＝36种；
b．甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作，有ACCA＝72种．
由分类计数原理，可得共有18
13、＋36＋72＝126种．
答案：126
14．(2019年福建省三明市三地三校联考)将5名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中(假设这些比赛都不设人数上限)，每人只参加一项，则共有x种不同的方案；若每项比赛至少要安排一人时，则共有y种不同的方案，其中x＋y的值为________．
解析：5名同学报名参加跳绳、接力，投篮三项比赛，每人限报一项，每人有3种报名方法，根据分步计数原理，x＝35＝243种，
当每项比赛至少要安排一人时，先分组有＋＝25种，再排列有A＝6种，所以y＝256＝150种，所以x＋y＝ 393.
答案：393
15．(2019年福建省厦门第一中
14、学期中考试)《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面(可以不相邻)，《山居秋暝》 与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有________．
解析：根据题意，分2步进行分析：将《将进酒》《望岳》和另两首诗词的四首诗词全排列，共有A＝24种顺序，由于《将进酒》排在《望岳》前面，则这四首诗词的排法有＝12种，这四首诗词排好后，不含最后有四个空位，在四个空位中任选两个，安排《山居秋暝》与《送杜少府
15、之任蜀州》，有A＝12种安排方法，则后六场的排法有1212＝144种．
答案：144
16．(2019年北京东城二中高二下学期期末)学校安排6名同学参加两项不同的志愿活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种．(用数字作答)
解析：由题意知本题是一个分类计数问题，∵每项活动最多安排4人，∴可以有三种安排方法，即(4，2)，(3，3)，(2，4)，当安排(4，2)时，共有C＝15种结果，当安排(3，3)时，共有C＝20种结果，当安排(2，4)时，共有C＝15种结果，∴根据分类计数原理知共有15＋20＋15＝50种结果，故答案
16、为50.
答案：50
三、解答题
17．(2019学年江苏省南通市启东中学中考试)在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目．(写出必要的数学式，结果用数字作答)
(1)三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？
(2)四名男生相邻有多少种不同的排法？
(3)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
(4)甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？(甲乙丙三位同学身高互不相等)
解：(1)AA＝1 440；(2)AA＝576；
(3)A＋AAA＝3 720；(4)AA＝840.
18．(2019年陕西省咸阳市高二下学期期末教学质量检测)求满足下列条件
17、的方法种数：
(1)将4个不同的小球，放进4个不同的盒子，且没有空盒子，共有多少种放法？
(2)将4个不同的小球，放进3个不同的盒子，且没有空盒子，共有多少种放法？
(最后结果用数字作答)
解：(1)没有空盒子的放法有：A＝24种．
(2)放进3个盒子的放法有：CA＝36种．
19．(2019年黑龙江省伊春市第二中学期中考试)(1)由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数，求三个偶数必相邻的七位数的个数及三个偶数互不相邻的七位数的个数．
(2)六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
①每组2本；
②一组1本，一组2本，一组3本．
解：
18、(1)将三个偶数捆绑和4个奇数排列有A种；再将有三个偶数松绑有A种，所以共有AA＝720个；4个奇数全排列有A种，在5个空中插入3个偶数，每空插入一个有A种，所以共有AA＝1 440个．
(2)①分组与顺序无关，是组合问题．分组数是CCC＝90(种)，这90种分组实际上重复了6次．我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)，(3，4)，(5，6)与(3，4)，(1，2)，(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法．以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数A，所以分法是＝15(种)．②先分组，方法是CCC，那么还要不要除以A？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有CCC＝60(种)分法．
2021高考理科数学一轮总复习课标通用版作业：第10章 计数原理 课时作业53
