【创新方案】年高考数学一轮复习 第三篇 导数及其应用 第4讲　定积分的概念与微积分基本定理教案 理 新人教版

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1、 第4讲　定积分的概念与微积分基本定理 【2013年高考会这样考】 1．考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理． 2．利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程． 【复习指导】 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等．　　 基础梳理 1．定积分 (1)定积分的定义及相关概念 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

2、取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx. 在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式． (2)定积分的性质 ①kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)． ②[f1(x)f2(x)]dx＝f1(x)dxf2(x)dx. ③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a

3、′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式． 3．定积分的应用 (1)定积分与曲边梯形的面积 定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定： 一种思想 定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就． 三条性质 (

4、1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行． 一个公式 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算． 双基自测 2．(2011湖南)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为(　　)． A. B．1 C. D. 解析　S＝∫－cos xdx＝2∫0cos xdx＝0＝. 答案　D 4．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sin x(0≤x≤

5、π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是(　　)． A. B. C. D. 考向一　定积分的计算 【例1】　计算下列积分 当原函数较难求时，可考虑由其几何意义解得． 考向

6、二　利用定积分求面积 【例2】　求下图中阴影部分的面积． [审题视点] 观察图象要仔细，求出积分上下限，找准被积函数． 解　解方程组 得，或 S阴影＝dx－8＋|－|dx＋2 ＝＋－6＝18. 求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤 (1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积． 【训练2】 求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积． 解　由得交点A(1,1)； 由得交点B

7、(3，－1)． 故所求面积S＝dx＋dx ＝＋ ＝＋＋＝. 考向三　定积分的应用 【例3】　一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动．求： (1)在t＝4 s的位置； (2)在t＝4 s内运动的路程． [审题视点] 理解函数积分后的实际意义，确定被积函数． 解　(1)在时刻t＝4时该点的位置为 (t2－4t＋3)dt＝＝(m)， 即在t＝4 s时刻该质点距出发点 m. (2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0， 在区间[1,3]上，v(t)≤0，所以t＝4 s时的路

8、程为 S＝(t2－4t＋3)dt＋|(t2－4t＋3)dt|＋(t2－4t＋3)dt ＝＋||＋ ＝＋＋＝4 (m)， 即质点在4s内运动的路程为4 m. 由s＝v0t＋at2通过求导可推出v＝v0＋at，反之根据积分的几何意义，由v＝v(t)(v(t)≥0)可求出t∈[a，b]时间段内所经过的路程． 【训练3】 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是(　　)． A．在t1时刻，甲车在乙车前面 B．t1时刻后，甲车在乙车后面 C．在t0时刻，

9、两车的位置相同 D．t0时刻后，乙车在甲车前面 解析　可观察出曲线v甲，直线t＝t1与t轴围成的面积大于曲线v乙，直线t＝t1与t轴围成的面积，故选A. 答案　A 　　 难点突破8——积分的综合应用 定积分的考查在试卷中不是必然出现的，一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，在近两年的高考中，考查的一般是定积分的计算和定积分在求曲边图形面积中的应用等，如2011年福建卷，陕西卷考查的是定积分的计算，新课标全国卷、湖南卷、山东卷考查的是定积分求曲边形的面积． 一、积分的几何意义 【示例】► 已知r>0，则－rdx＝________. 二、积分与概率 【示例】► (2010陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为__________． 　　 9