【备考】高考数学 （真题模拟新题分类汇编） 计数原理 理

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1、 计数原理 J1　基本计数原理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5．J1[2013福建卷] 满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　) A．14 B．13 C．12 D．10 5．B　[解析] 当a＝0时，2x＋b＝0x＝－，有序数对(0，b)有4个；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0ab≤1，有序数对(－1，b)有4个，(1，b)有3个，(2，b)有2个，综上共有4＋4＋3＋2＝13个，故选B. 12．J1[2013北京卷] 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1

2、张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________． 12．96　[解析] 5张参观券分为4堆，有2个连号有4种分法，然后每一种全排列有A种方法，所以不同的分法种数是4A＝96. 14．J1、J2[2013全国卷] 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答) 14．480　[解析] 先排另外四人，方法数是A，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是A，根据乘法原理得不同排法共有AA＝2420＝480种． 22．A1、A2，J1[2013重庆卷] 对正整数n，记In＝{1，2，…，n}，Pn＝. (1)求集合P7中元素的个数；

3、 (2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”，求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并． 22．解：(1)当k＝4时，m∈I7中有3个数与I7中的3个数重复，因此P7中元素的个数为77－3＝46. (2)先证：当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A，B为不相交的稀疏集，使A∪B＝PnIn.不妨设1∈A，则因1＋3＝22，故3A，即3∈B.同理6∈A，10∈B，又推得15∈A，但1＋15＝42，这与A为稀疏集矛盾． 再证P14符合要求，当k＝1时，m∈I14＝I14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A1＝{1，2，4，6

4、，9，11，13}，B1＝{3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1为稀疏集，且A1∪B1＝I14. 当k＝4时，集m∈I14中除整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：A2＝，B2＝. 当k＝9时，集m∈I14中除正整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：A3＝， B3＝. 最后，集C＝m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B＝P14. 综上，所求n的最大值为14. 注：对P14的分拆方法不是唯一的．

5、 J2　排列、组合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8．J2[2013辽宁卷] 执行如图所示的程序框图，若输入n＝10，则输出S＝(　　) 图1－2 A. B. C. D. 8．A　[解析] 由程序框图可以得到S＝＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋ ＝＝，故选A. 14．J1、J2[2013全国卷] 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答) 14．480　[解析] 先排另外四人，方法数是A，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是A，根据乘法原理得不同排法共有AA＝2420＝480种． 10．J2[2013山东卷] 用0

6、，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A．243 B．252 C．261 D．279 10．B　[解析] (排除法)十个数排成不重复数字的三位数求解方法是：第一步，排百位数字，有9种方法(0不能作首位)，第二步，排十位数字，有9种方法，第三步，排个位数字，有8种方法，根据乘法原理，共有998 ＝ 648(个)没有重复数字的三位数．可以组成所有三位数的个数：91010＝900，所以可以组成有重复数字的三位数的个数是：900－648＝252. 8．J2[2013四川卷] 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga－l

7、gb的不同值的个数是(　　) A．9 　B．10 　C．18 　D．20 8．C　[解析] 从1，3，5，7，9中，每次取出两个不同的数作为a，b可以得到不同的差式lg a－lg b共计A＝20个，但其中lg 9－lg 3＝lg 3－lg 1，lg 3－lg 9＝lg 1－lg 3，故不同的值只有18个． 14．K2，J2[2013新课标全国卷Ⅱ] 从n个正整数1，2，3，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________． 14．8　[解析] 和为5的只有两种情况，1＋4，2＋3，故＝C＝28n＝8. 14．J2[2013浙江卷] 将A，

8、B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)． 14．480　[解析] 先在6个位置找3个位置，有C种情况，A，B均在C的同侧，有CAB，CBA，ABC，BAC，而剩下D，E，F有A种情况，故共有4CA＝480种． 13．J2[2013重庆卷] 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答) 13．590　[解析] 从12名医生中选出5名的选法有C＝792种，其中只不选骨科医生的选法有C－1＝125种；只不选脑外科医生

9、的选法有C－1＝55种；只不选内科医生的选法有C＝21种；同时不选骨科和脑外科医生的选法有1种，故骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数有792－(125＋55＋21＋1)＝590. J3　二项式定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9．J3[2013新课标全国卷Ⅰ] 设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则 m＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 9．B　[解析] (x＋2y)2m展开式的二项式系数的最大值是C，即a＝C；(x＋2y)2m＋1展开式的二项

10、式系数的最大值是C，即b＝C，∵13a＝7b，∴13C＝7C，∴13＝7，易得m＝6. 11．J3[2013安徽卷] 若x＋8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________. 11.　[解析] 二项式展开式的通项为Tr＋1＝Carx8－r，令8－r＝4，可得r＝3，故Ca3＝7，解得a＝. 15．B13，J3，M1[2013福建卷] 当x∈R，|x|<1时，有如下表达式： 1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝. 两边同时积分得：∫01dx＋∫0xdx＋∫0x2dx＋…＋∫0xndx＋…＝∫0dx， 从而得到如下等式： 1＋＋＋…＋＋…＝ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方

11、法，计算： C＋C2＋C3＋…＋C＝__________． 15.　[解析] (1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn， 两边同时积分得C∫01dx＋C∫0xdx＋C∫0x2dx＋…＋C∫0xndx＝∫0(1＋x)ndx， 得C＋C2＋C3＋…＋Cn＋1＝n＋1－1. 5．J3[2013江西卷] 展开式中的常数项为(　　) A．80 B．－80 C．40 D．－40 5．C　[解析] Tr＋1＝C(x2)5－r＝C(－2)rx10－5r，当r＝2时，得常数项为40，故选C. 7．J3[2013辽宁卷] 使(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　) A．4

12、B．5 C．6 D．7 7．B　[解析] 由通项Tk＋1＝C(3x)n－k＝C3n－kxn－，所以在展开式中含有常数项时，n－＝0，当k取最小值2时，n取最小值5.故选B. 7．J3[2013全国卷] (1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　) A．56 B．84 C．112 D．168 7．D　[解析] (1＋x)8展开式中x2的系数是C，(1＋y)4的展开式中y2的系数是C，根据多项式乘法法则可得(1＋x)8(1＋y)4展开式中x2y2的系数为CC＝286＝168. 8．B1，J3[2013陕西卷] 设函数f(x)＝则当x>0时，f[f(x)]表达式的展

13、开式中常数项为(　　) A．－20 B．20 C．－15 D．15 8．A　[解析] 由已知表达式可得：f[f(x)]＝－6，展开式的通项为Tr＋1＝C6－r(－)r＝C(－1)rxr－3，令r－3＝0，可得r＝3，所以常数项为T4＝－C＝－20. 11．J3[2013四川卷] 二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．(用数字作答) 11．10　[解析] 根据二项展开式的性质可得x2y3的系数为C＝10. 10．J3[2013天津卷] x－6的二项展开式中的常数项为________． 10．15　[解析] 由二项式的展开式得Tk＋1＝Cx6－k＝

14、(－1)kCx6－k，令6－k＝0，解之得k＝4，T5＝(－1)4C＝15. 5．J3[2013新课标全国卷Ⅱ] 已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 5．D　[解析] 已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展开式中，x2的系数为C＋aC ＝5，则a＝－1，故选D. 11．J3[2013浙江卷] 设二项式－5的展开式中常数项为A，则A＝________． 11．－10　[解析] Tr＋1＝Cx(－1)rx－＝(－1)rCx，则＝0，r＝3，故常数项A＝T4＝(－1)3C＝－10. J4　单元综合　　　　　

15、　　　　　　　　　　　　　　 23．J4[2013江苏卷] 设数列{an}：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k－1k，…，(－1)k－1k，k个…，即当

16、1＝5，所以S1＝1，S2＝－1，S3＝－3，S4＝0，S5＝3，S6＝6，S7＝2，S8＝－2，S9＝－6，S10＝－10，S11＝－5，从而S1＝a1，S4＝0a4，S5＝a5，S6＝2a6，S11＝－a11，所以集合P11中元素的个数为5. (2)先证：Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N*)． 事实上，①当i＝1时，Si(2i＋1)＝S3＝－3，－i(2i＋1)＝－3，故原等式成立； ②假设i＝m时成立，即Sm(2m＋1)＝－m(2m＋1)， 则i＝m＋1时，S(m＋1)(2m＋3)＝Sm(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2

17、＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)． 综合①②可得Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是S(i＋1)(2i＋1)＝Si(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)． 由上可知Si(2i＋1)是2i＋1的倍数，而ai(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1，2，…，2i＋1)，所以Si(2i＋1)＋j＝Si(2i＋1)＋j(2i＋1)是ai(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋1)的倍数，又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是2i＋2的倍数．而a(i＋1)(2i＋1)＋j＝－(2i＋2)(j＝1，2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)

18、(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是a(i＋1)(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋2)的倍数，故当l＝i(2i＋1)时，集合Pl中元素的个数为1＋3＋…＋(2i－1)＝i2， 于是，当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合Pl中元素的个数为i2＋j. 又2 000＝31(231＋1)＋47. 故集合P2 000中元素的个数为312＋47＝1 008. 1．[2013安徽示范名校联考] 如图K37－1所示，△ABC是一个边长为3的正三角形，若在每一边的两个三等分点中，各随机选取一点连成三角形．下列命题正确

19、的是________．(写出所有正确命题的编号) ①依此方法可能连成的三角形一共有8个；②这些可能连成的三角形中，恰有2个是锐角三角形；③这些可能连成的三角形中，恰有3个是直角三角形；④这些可能连成的三角形中，恰有3个是钝角三角形；⑤这些可能连成的三角形中，恰有2个是正三角形． 1．①②⑤　[解析] 如图所示编号，边长为3，则选取三角形的边长为1，或2三种之一； ①每边各选1点，三角形共CCC＝8个； ②锐角三角形只有△DHF和△IGE两个； ③直角三角形有6个(满足1∶∶2)； ④没有钝角三角形； ⑤两个正三角形△DHF和△IGE(边长为)． 故选①②⑤. 2．[2013湖

20、南师大附中月考] 的展开式中，系数最大的项为第________项． 2．3或5　[解析] 的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3，5项系数最大． 3．[2013郑州质检] 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是(　　) A．12 B．18 C．24 D．48 3．C　[解析] 分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A，有A种方法；A与戊机形成三个“空”，把丙、丁两机插入空中有A种方法；考虑A与戊机的排法有A种

21、方法．可知共有AAA＝24种不同的着舰方法． 4．[2013皖南八校联考] “2012”含有数字0，1，2，且有两个数字2，则含有数字0，1，2，且有两个相同数字2或1的四位数的个数为(　　) A．18 B．24 C．27 D．36 4．A　[解析] 由题意可分情况讨论：含有两个1或两个2的四位数，先排0有3个位置可以选，然后排另外一个不重复的数字有3个位置可以选，剩下的排重复的数字，所以满足要求的数共有2CCC＝18个． 5．[2013肇庆期末统考] 的展开式中含x的正整数指数幂的项数是(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 5．B　[解析] 二项展开式的通项为Tr

22、＋1＝Cr10()10－r＝Cr10(－1)rx，若展开式中含x的正整数指数幂，即(5－r)∈N*，且0≤r≤10，r∈N，所以r＝2或0.所以一共有两项，故选B. 6．[2013三门峡一练] 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实验6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法种数为________(用数字作答)． 6．96　[解析] 第一步，A程序有C种不同安排方法，第二步，将B和C看成一个程序与其他3个程序有A种不同安排方法，第三步，安排B和C的顺序，有A种不同的方法，根据分步计数原理，则不同的安排方法共有CAA＝96种． - 7 -