中考数学动态几何题中的定值型问题赏析

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1、　中考数学动态几何题中的“定值型”问题赏析 在动态几何问题中，当一些元素按照一定的规律在确定的范围内变化时，与它相关的另一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变，这类问题称为几何定值问题。定值问题由于有时甚至不知道定值的结果，而使人难以下手，给问题解决带来困难。解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在“可变”的元素中寻求“不变”的量．一般可采用特殊值或特殊的位置，探得定值，如果需要的话再考虑证明；或直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而得到定值。以下以2010年中考题为例说明具体的求解策略 一、长度定值 例1．（2010山东聊城）如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点

2、，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ） A．　　 B．　 C．　　 D．不确定 解析：因为四边形ABCD是矩形，由勾股定理得AC=BD=5. 过点P分别作AC、BD的垂线PE、PF，容易得△PDF∽△BDA， ∴，即，∴， 同理， ∴PE+PF＝．故答案为A。 点评：本题属于矩形中动点定值问题，在选择题中，可以采取特殊点法求解，譬如P与A重合、P与B重合或P为AD的中点等特殊情形下，求出PE＋PF的值探求答案． 二、角度定值 例2．（2010年广东广州）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦A

3、B垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C． （1）求弦AB的长； （2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由； （3）略 　　　　　　　　　 分析：（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA＝1，OF＝，借助勾股定理可求得AF的长，根据垂径定理求得AB；（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠D

4、AE＋∠DBA是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半，只需看∠AOB值即可。 解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1． ∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF． 在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝． （2）∠ACB是定值. 理由：由（1）易知，∠AOB＝120， 因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA， 因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60，所以∠CAB＋∠CBA＝120，所以∠ACB＝60； （3）略 点评：本题是圆为载体的角度定值问

5、题，考查了三角形内切圆、角平分线的性质、三角形内角和、同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系及整体思想综合运用，采用了直接推理、计算得到定值。 三、周长定值 例3．（2010重庆）已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止. （1）（2）略 图③ （3）如图（2），现有∠MCN＝60，其两边分别与

6、OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0＜旋转角＜60），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 解：（1）（2）略 （3）的周长不发生变化． 延长至点，使，连结．（如图③） ∵， ∴≌． ∴，．　 ∴． ∴． 又∵． ∴≌．∴．　 ∴． ∴的周长不变，其周长为4．　 点评：本题是定角（60）在等边三角形内旋转的动态几何问题，探究运用过程中的的周长是否定值，解题时通过旋转变换，将三角形的周长转化为直线段上线段和差，

7、直接计算证明了周长为定值。解题时，也可让∠MCN运动到MN平行于OA或M与O重合或N与A重合（退化的三角形）这几种特殊情形，探求不变的周长的值。 三、面积定值 例3．（2010广州）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E． （1）略 （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由. C D B A E

8、 O 思路点拨：（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化． 解：（1）略 （2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。 由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，∠MED＝∠NED 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形． 过点D作DH⊥OA，垂足为H， 因为直线DE的解析式

9、＝－＋中，比例系数k＝， 所以tan∠DEN＝，因为DH＝1，∴HE＝2， 设菱形DNEM 的边长为a， 则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴ ∴S四边形DNEM＝NEDH＝ ∴矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为． 点评：本题是点动、线动相结合的平面直角坐标系中的动态几何题，通过运动时所形成的不同位置，考查了矩形、一次函数、直角三角形勾股定理、方程、面积、轴对称变换、锐角三角函数等知识点和数形结合的数学思想。第（2）小题是以面积为载体的动态探究题，从面积的角度探求动态过程中的不变量，解题的关键是找出动态过程中的不变量，通过直接计算求得定值。

10、 五、比值定值 例5．（2010湖北咸宁）如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）． （1）、（2）略 （3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由． A B C D （备用图1） A B C D （备用图2） Q A B C D l M P （第

11、24题） E 分析：（3）当t＞2时，确定动点P、Q、M在图形上的位置，点P在AD上，点Q在BC上，画出图形，观察、分析线段CQ、RQ与已知线段有没有关系，是否存在相似三角形． A B C D （备用图2） M Q R F P 解：（1）（2）略 （3）为定值． 当＞2时，如备用图2，作CF⊥AB ． ∵．CF＝AD＝4 ∴． ∴． ∴．∴． ∴四边形AMQP为矩形．∴∥． ∴△CRQ∽△CAB． ∴． 点评：本题是一道以直角梯形为框架的动态几何问题，考查了相似三角形、矩形、梯形的常用辅助线方法等知识点，体现了分类讨论

12、的思想。第（3）问是关于线段比的定值探究题，解题时，需要画出当t＞2时的图形，把“动态”问题转化为“静态”问题，根据相似三角形对应线段成比例，将转化为其他线段的比，探明线段比是否为定值． 六、积定值 例6.（2010广东深圳）如图1，以点M（－1,0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝－ x－ 与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F． （1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长； （2）略 （3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MNMK＝a，如果存在，请求出a的

13、值；如果不存在，请说明理由． F 图4 解：（1）如图4，OE=5，，CH=2 （2）略 （3）如图6，连接AK，AM，延长AM， 与圆交于点G，连接TG，则 F 图6 1 ， 由于，故，； 而，故 在和中，； 故；所以; 即： 故存在常数，始终满足MNMK＝a，常数 点评：本题是平面直角坐标系中以圆为框架的动态几何探究题，考查了一次函数、圆的基本性质、切线的性质、相似三角形、锐角三角函数等知识点及数形结合、函数与方程等数学思想，第（2）小题是线段积的定值探究题，根据相似三角形对应线段成比例，得到线段积的关系，因此，解题时，构造以MN、MK为边的相似三角形，直接计算求得定值，灵活性较强，综合性较高，对学生来说难度较大。