3、＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，
∴ 所求概率为＝．
故选C．
4．(2018天水高二检测)设随机变量X服从正态分布N(3,4)，则P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)成立的一个必要不充分条件是( B )
A．a＝1或2 B．a＝1或2
C．a＝2 D．a＝
[解析] ∵X～N(3,4)，P(X
4、<1－3a)＝P(X>a2＋7)，
∴(1－3a)＋(a2＋7)＝23，∴a＝1或2.故选B．
5．如果随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，则p等于( A )
A． B．
C． D．
[解析] 如果随机变量ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)，
又E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，∴np＝7，np(1－p)＝6，∴p＝．
6．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为( C )
A．恰有1只是坏的 B．4只全是好的
C．恰有2只是好的 D．至多有2只是坏的
[解析] X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只
5、为好的，则P(X＝k)＝(k＝1、2、3、4)．
∴P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，∴选C．
7．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 小球落入B袋中的概率为P1＝()2＝，∴小球落入A袋中的概率为P＝1－P1＝．
8．(2018二模拟)袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件
6、下，乙摸到白球的概率是( B )
A． B．
C． D．
[解析] 甲摸到白球后，袋中还有4个红球，2个白球，
故而在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率为＝，
故选B．
9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是( A )
A．7.8 B．8
C．16 D．15.6
[解析] X的取值为6、9、12，P(X＝6)＝＝，
P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝．
E(X)＝6＋9＋12＝7.8．
10．(2018淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且X～N(800,5
7、02)．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0，则p0的值为(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974)( A )
A．0.9772 B．0.6826
C．0.9974 D．0.9544
[解析] ∵X～N(800,502)．
∴P(700≤X≤900)＝0.9544，
∴P(X＞900)＝＝0.0228，
∴P(X≤900)＝1－0.0228＝0.9772．
故选A．
11．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，
8、某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a、b、c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由条件知，3a＋b＝1，∴ab＝(3a)b≤2＝，等号在3a＝b＝，即a＝，b＝时成立．
12．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为( A )
9、
A． B．
C． D．
[解析] 由于f2(x)，f5(x)，f6(x)为偶函数，f1(x)，f3(x)，f4(x)为奇函数，所以随机变量ξ可取1,2,3,4．
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝．
所以ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
P
E(ξ)＝1＋2＋3＋4＝．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．(2018泉州高二检测)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所
10、取球的标号．若η＝aξ－2，E(η)＝1，则D(η)的值为__11__．
[解析] 根据题意得出随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
E(ξ)＝0＋1＋2＋3＋4＝，
∵η＝aξ－2，E(η)＝1，
∴1＝a－2，即a＝2，
∴η＝2ξ－2，E(η)＝1，
D(ξ)＝(0－)2＋(1－)2＋(2－)2＋(3－)2＋(4－)2＝，
∵D(η)＝4D(ξ)＝4＝11．
故答案为11．
14．一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二
11、次取到的是一等品”，则P(B|A)＝____．
[解析] 由条件知，P(A)＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝．
15．在一次商业活动中，某人获利300元的概率为0.6，亏损100元的概率为0.4，此人在这样的一次商业活动中获利的均值是__140__元．
[解析] 设此人获利为随机变量X，则X的取值是300，－100，其概率分布列为：
X
300
－100
P
0.6
0.4
所以E(X)＝3000.6＋(－100)0.4＝140．
16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和
12、A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是__②④__(写出所有正确结论的序号)．
①P(B)＝；
②P(B|A1)＝；
③事件B与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
[解析] 从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1、A2、A3中任意两个事件不可能同时发生，即A1、A2、A3两两互斥，故④正确，易知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，又P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，故②对③错；∴P
13、(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝＋＋＝，故①⑤错误．综上知，正确结论的序号为②④．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．
(1)求甲、乙两人都被分到A社区的概率；
(2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；
(3)设随机变量ξ为四名同学中到A社区的人数，求ξ的分布列和E(ξ)的值．
[解析] (1)记甲、乙两人同时到A社区为事件
14、M，那么P(M)＝＝，
即甲、乙两人同时分到A社区的概率是．
(2)记甲、乙两人在同一社区为事件E，那么
P(E)＝＝，
所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是
P()＝1－P(E)＝．
(3)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ＝i(i＝1,2)”是指有i个同学到A社区，
则p(ξ＝2)＝＝．
所以p(ξ＝1)＝1－p(ξ＝2)＝，
ξ的分布列是：
ξ
1
2
p
∴E(ξ)＝1＋2＝．
18．(本题满分12分)(2017让胡路区校级模拟)某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为．
(1)求比赛三局
15、甲获胜的概率；
(2)求甲获胜的概率；
(3)设甲比赛的次数为X，求X的数学期望．
[解析] 记甲n局获胜的概率为 Pn，n＝3,4,5，
(1)比赛三局甲获胜的概率是：P3＝C()3＝；
(2)比赛四局甲获胜的概率是：P4＝C()3()＝；
比赛五局甲获胜的概率是：P5＝C()2()2＝；
甲获胜的概率是：P3＋P4＋P5＝．
(3)记乙n局获胜的概率为 Pn′，n＝3,4,5．
P3′＝C()3＝，P4′＝C()3()＝； P5′＝C()3()2＝；
故甲比赛次数的分布列为：
X
3
4
5
P(X)
P3＋P3′
P4＋P4′
P5＋P5′
所以甲比
16、赛次数的数学期望是：EX＝3(＋)＋4(＋)＋5(＋)＝．
19．(本题满分12分)(2017山东理，18)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的
17、分布列与数学期望EX．
[解析] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P(M)＝＝．
(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝．
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
X的数学期望
EX＝0P(X＝0)＋1P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＋4P(X＝4)＝0＋1＋2＋3＋4＝2．
20．(本题满分12分)(2016天津理，16)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义
18、工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
[解析] (1)由已知有P(A)＝＝．
所以，事件A发生的概率为．
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2．
P(X＝0)＝＝.P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝．
所以，随机变量X分布列为：
X
0
1
2
P
随机变量X的数学期望E(X)＝0＋1＋2＝1．
21．(本题满分12分)从某
19、企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．
①利用该正态分布，求p(187.8
20、μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ
21、区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，
依题意知X～B(100,0.6826)，所以E(X)＝1000.6826＝68.26．
22．(本题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立．
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．
[解析] (1)依次将事件“甲队以3∶0胜利”、“甲队以3∶1胜利”
22、、“甲队以3∶2胜利”记作A1、A2、A3，由题意各局比赛结果相互独立，
故P(A1)＝()3＝，
P(A2)＝C()2(1－)＝，
P(A3)＝C()2(1－)2＝．
所以甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为．
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，则由题意知
P(A4)＝C(1－)2()2(1－)＝．
由题意，随机变量X的所有可能取值为0、1、2、3，
由事件的互斥性得，
P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，
P(X＝1)＝P(A3)＝，
P(X＝2)＝P(A4)＝，
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，
或P(X＝3)＝(1－)3＋C(1－)2＝．
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
∴E(X)＝0＋1＋2＋3＝．
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
高中数学 第二章 随机变量及其分布学业质量标准检测 新人教A版选修23
