高中数学 课时分层作业14 综合法和分析法 新人教A版选修22

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1、 课时分层作业(十四)　综合法和分析法 (建议用时：40分钟) [基础达标练] 一、选择题 1．证明命题“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下： ∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－. ∵x>0，∴ex>1,0<<1 ∴ex－>0， 即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 他使用的证明方法是(　　) 【导学号：31062147】 A．综合法　 B．分析法 C．反证法 D．以上都不是 A　[该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故选A.] 2．设P＝，Q＝－，R＝－，那么P，Q，R的大小关系是 (　　)

2、 A．P＞Q＞R B．P＞R＞Q C．Q＞P＞R D．Q＞R＞P B　[先比较R，Q的大小，可对R，Q作差，即Q－R＝－－(－)＝(＋)－(＋)． 又(＋)2－(＋)2＝2－2＜0， ∴Q＜R，由排除法可知，选B.] 3．要证－＜成立，a，b应满足的条件是(　　) A．ab＜0且a＞b B．ab＞0且a＞b C．ab＜0有a＜b D．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b D　[要证－＜， 只需证(－)3＜()3， 即证a－b－3＋3＜a－b， 即证＜， 只需证ab2＜a2b，即证ab(b－a)＜0. 只需ab＞0且b－a＜0或ab＜0，且b－a＞0. 故

3、选D.] 4．下面的四个不等式： ①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤； ③＋≥2；④(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. 其中恒成立的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C　[∵(a2＋b2＋c2)－(ab＋bc＋ac)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0， a(1－a)－＝－a2＋a－＝－2≤0， (a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2 ≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2.∴应选C.] 5．若两个正实数x、y满足＋＝1，且不等式x＋

4、数m的取值范围是(　　) 【导学号：31062148】 A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞) B　[∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋＝＝2＋＋ ≥2＋2＝4， 等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立， ∴x＋的最小值为4， 要使不等式m2－3m>x＋有解， 应有m2－3m>4， ∴m<－1或m>4，故选B.] 二、填空题 6．如图222所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)． 图222 [解析]　要证BD⊥A1C，

5、只需证BD⊥平面AA1C. 因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD， 即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C. [答案]　AC⊥BD(答案不唯一) 7．已知sin α＋sin β＋sin r＝0，cos α＋cos β＋cos r＝0，则cos(α－β)的值为________. 【导学号：31062149】 [解析]　由sin α＋sin β＋sin r＝0，cos α＋cos β＋cos r＝0，得sin α＋sin β＝－sin r，cos α＋cos β＝－cos r， 两式分别平方，相加得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，所以cos(

6、α－β)＝－. [答案]　－ 8．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． [解析]　∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b) ＝1＋2＋ab－1－a－b－ab ＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0. ∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)， ∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． [答案]　≤ 三、解答题 9. 设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，求证：＋＝2. [证明]　由已知条件得b2＝ac， 2x＝a＋b,2y＝b＋c.　① 要证＋＝2，只要证ay＋cx＝2xy，

7、 只要证2ay＋2cx＝4xy.　② 由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc， 4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc， 所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证． 10. 设a＞0，b＞0,2c＞a＋b，求证： (1)c2＞ab； (2)c－＜a＜c＋. [证明]　(1)∵a＞0，b＞0,2c＞a＋b≥2， ∴c＞， 平方得c2＞ab； (2)要证c－＜a＜c＋. 只要证－＜a－c＜. 即证|a－c|＜， 即(a－c)2＜c2－ab， ∵(a－c)2－c2＋ab＝a(a＋b－2c)＜0成立， ∴原不

8、等式成立． [能力提升练] 1．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为(　　) A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A A　[≥≥，又函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调减函数， ∴f≤f()≤f. 即A≤B≤C.] 2．若a、b、c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是(　　) A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3 C.＋＋≥2 D．abc(a＋b＋c)≤ B　[∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab， b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac， ∴a2

9、＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1， 又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac ＝a2＋b2＋c2＋2≥3.] 3．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________. 【导学号：31062150】 [解析]　若对任意x>0，≤a恒成立，只需求y＝的最大值，且令a不小于这个最大值即可．因为x>0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，所以a 的取值范围是 [答案]　 4．已知x1是方程x＋2x＝4的根，x2是方程x＋log2x＝4的根，则x1＋x2的值是________． [解析]　∵x＋2x＝4，∴2x＝4－x，∴x1是y＝2x与y＝4

10、－x交点的横坐标． 又∵x＋log2x＝4，∴log2x＝4－x，∴x2是y＝log2x与y＝4－x交点的横坐标． 又y＝2x与y＝log2x互为反函数，其图象关于y＝x对称，由得x＝2，∴＝2，∴x1＋x2＝4. [答案]　4 5．求证抛物线y2＝2px(p＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切. 【导学号：31062151】 [证明]　如图，作AA′、BB′垂直准线，取AB的中点M，作MM′垂直准线． 要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝|AB|， 由抛物线的定义：|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|， 所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|， 因此只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|) 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的． 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375