高中数学 第二章 基本初等函数Ⅰ2.3 幂函数学案 新人教A版必修1

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1、 2.3　幂函数 学习目标：1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点)2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质．(重点、难点)3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) [自 主 预 习探 新 知] 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 思考1：幂函数与指数函数的自变量有何区别？ [提示]　幂函数是形如y＝xα(α∈R)，自变量在底数上，而指数函数是形如y＝ax(a>0且a≠1)，自变量在指数上． 2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，

2、y＝x，y＝x－1的图象如图231： 图231 思考2：幂函数图象不可能出现在第几象限？ [提示]　第四象限． 3．幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，增函数 x∈(－∞，0]时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞)时，减函数 x∈(－∞，0)时，减函数 [基础自测] 1．思考辨析 (1)函数y＝x

3、0(x≠0)是幂函数．(　　) (2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．(　　) (3)幂函数的图象都不过第二、四象限．(　　) [答案]　(1)√　(2)　(3) 2．下列函数中不是幂函数的是(　　) A．y＝　　　　　　　 B．y＝x3 C．y＝3x D．y＝x－1 C　[只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选C.] 3．已知f(x)＝(m＋1)xm2＋2是幂函数，则m＝(　　) A．2 B．1 C．3 D．0 D　[由题意可知m＋1＝1，即m＝0，∴f(x)＝x2.] 4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则f(4)＝________.

4、 【导学号：37102308】 　[由f(2)＝可知2α＝， 即α＝－， ∴f(4)＝4－＝.] [合 作 探 究攻 重 难] 幂函数的概念 　已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值． [解]　由题意得 解得 所以m＝－3，n＝. [规律方法]　判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1 [跟踪训练] 1．(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数

5、为(　　) 【导学号：37102309】 A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 (2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________． (1)B　(2)　[(1)∵y＝＝x－2，所以是幂函数； y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数； y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数； y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数． (2)设f(x)＝xα，因为f(4)＝3f(2)，∴4α＝32α，解得α＝log23，∴f＝log23＝.] 幂函

6、数的图象及应用 　点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有： (1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)g(x)； (2)当x＝1时，f(x)＝g(x)； (3)当x∈(0,1)时，f(x)

7、幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为,指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断. [跟踪训练] 2．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　) 【导学号：37102310】 A　　　　　B　　　　　C　　　　　D (2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图232，则a，b，c，d的大小关系是(　　)

8、 图232 A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c (1)C　(2)B　[(1)设幂函数的解析式为y＝xa， 因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，所以2＝4a， 解得a＝， 所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数， 当0b>c>d.故选B.] 幂函数性质的综合应用 [探究问题] 1．幂函数y＝xα在(0，

9、＋∞)上的单调性与α有什么关系？ 提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减． 2．23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 提示：23.1和23.2可以看作函数f(x)＝2x的两个函数值，因为函数f(x)＝2x单调递增，所以23.1＜23.2. 3．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜

10、2.2－0.2. 　(1)比较下列各组中幂值的大小． ①30.8,30.7；②0.213,0.233；③2，1.8；④1.2，0.9，. (2)探讨函数f(x)＝x的单调性. 【导学号：37102311】 思路探究：(1)构造幂函数或指数函数，借助其单调性求解． (2)借助单调性的定义证明． [解]　(1)①∵函数y＝3x是增函数，且0.8＞0.7， ∴30.8>30.7. ②∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233. ③∵函数y＝x是增函数，且2＞1.8，∴2>1.8. 又∵y＝1.8x是增函数，且>， ∴1.8>1.8，∴2>1.

11、8. ④0.9＝，＝1.1. ∵1.2>>1.1，且y＝x在[0，＋∞)上单调递增， ∴1.2>>1.1，即1.2>0.9>. (2)f(x)＝x的定义域为(0，＋∞)． 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x1>0，所以x1－x2<0， 且(＋)>0， 于是f(x2)－f(x1)<0， 即f(x2)

12、内是减函数． 所以(a＋1)<(3－2a)等价于 解得，所以0.5>0.5. (2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－<－，所以－1>－1. (3)因为函数y1＝x为R上的减函数，又>， 所以>. 又因为函数y2＝x在(0，＋∞)上是增函数，且>， 所以>， 所以>. [规律方法]　比较幂的大小的关键是弄清底数与指

13、数是否相同.若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3(3)中的1.8. [当 堂 达 标固 双 基] 1．下列函数为幂函数的是(　　) A．y＝2x4　　　　　　　 B．y＝2x3－1 C．y＝ D．y＝x2 D　[结合幂函数的形式可知D正确．] 2．幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式(　　) 【导学号：37102312】 A．y＝x－1 B．y＝x C．y＝x2 D．y＝x3 B　[设f(x)＝xα，则2α

14、＝，∴α＝，∴f(x)＝x.选B.] 3．函数y＝x的图象是(　　) A　　　　　B　　　　C　　　　　D C　[∵函数y＝x是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又>1，故选C.] 4．若f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α的取值范围为________． (0，＋∞)　[由f(x)的单调性可知α>0，即α的取值范围为(0，＋∞)．] 5．比较下列各组数的大小． (1)3与3.1； (2)4.1，3.8，(－1.9). 【导学号：37102313】 [解]　(1)因为函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数， 又3<3.1，所以3>3.1. (2)4.1>1＝1， 0<3.8<1＝1，而(－1.9)<0， 所以4.1>3.8>(－1.9). 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375