高中数学 专题强化训练3 新人教A版必修4

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1、 专题强化训练(三) (建议用时：45分钟) [学业达标练] 一、选择题 1．如图26所示，若向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为 (　　) 图26 A．a＋b－c B．a－b＋c C．b－a＋c D．b＋a－c C　[＝－＝＋－＝b＋c－a＝b－a＋c.] 2．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)⊥(a－mb)，则m＝(　　) 【导学号：84352280】 A．－ B． C．2 D．－2 B　[因为a＝(1,2)，b＝(－3,0)， 所以2a＋b＝(－1,4)，a－mb＝(1＋3m,2)， 由2a＋b与a－mb垂直， 得－1－3m

2、＋8＝0，解得m＝.] 3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a(a－b)＝，则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. B　[设a与b的夹角为θ，则 a(a－b)＝a2－ab ＝|a|2－|a||b|cos θ ＝1－cos θ＝， 故cos θ＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝.] 4．若向量a与b的夹角为60，|b|＝4，(a＋2b)(a－3b)＝－72，则向量a的模为(　　) A．2　　　　 B．4 C．6　　　　 D．12 C　[(a＋2b)(a－3b)＝a2－ab－6b2 ＝|a|2－|a||b|cos 60－6|b|2 ＝|a|2－

3、2|a|－96＝－72， 即|a|2－2|a|－24＝0，又|a|＞0，解得|a|＝6.] 5．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝(　　) 【导学号：84352281】 A．－a＋b B．a－b C．a－b D．－a＋b B　[设c＝xa＋yb则 (－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1) ＝(x＋y，x－y)， ∴解得 ∴c＝a－b.] 二、填空题 6．如图27，在边长为3的正方形ABCD中，AC与BD交于F，AE＝AD，则＝________. 图27 －3　[建立平面直角坐标系如图所示， 则A(0,0)，B(3,0)，C

4、(3,3)，D(0,3)，E(0,1)，F，则 ＝(－3,3)＝(－3)＋3＝－3.] 7．已知a＝(1，－2)，b＝(4,2)，设2a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝_______. 【导学号：84352282】 　[2a＝2(1，－2)＝(2，－4)， a－b＝(1，－2)－(4,2)＝(－3，－4)， cos θ＝＝＝.] 8．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，且a与b不共线，若用m，n表示p，则p＝________. －m＋n　[设p＝xm＋yn，则p＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b＝3a＋2b， 又∵

5、a与b不共线，∴解得 故p＝－m＋n.] 三、解答题 9．如图28，在▱ABCD中，＝a，＝b，E，F分别是AB，BC的中点，G点使＝，试以a，b为基底表示向量与. 图28 [解]　＝＋＝＋＝＋＝a＋b. ＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b. 10．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点X为直线OP上的一个动点． (1)当取最小值时，求的坐标． (2)当点X满足(1)的条件和结论时，求cos∠AXB的值. 【导学号：84352283】 [解]　(1)设＝(x，y)，因为点X在直线OP上， 所以向量与共线．又＝(2, 1)， 所以x1－y

6、2＝0，即x＝2y， 所以＝(2y，y)， 又＝－＝(1－2y,7－y)， ＝－＝(5－2y,1－y)， 于是＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8. 可知当y＝2时，取最小值－8，此时＝(4,2)． (2)当＝(4,2)即y＝2时，有＝(－3,5)，＝(1，－1)，＝(－3)1＋5(－1)＝－8， 所以cos∠AXB＝＝＝. [冲A挑战练] 1．如图29所示，矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，若⊥，则||等于(　　) 图29 A.　　 B．2 C．3 D．2 B　[建立平面直角坐标系如图所示，设|AD

7、|＝t，则A(0,0)，C(4，t)，D(0，t)，E(2,0)， 则＝(2，－t)，＝(4，t)， 由⊥得＝8－t2＝0， 解得t＝2，所以＝(2，－2)，||＝＝2.] 2．已知向量a＝(1,0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是(　　) A．[0，] B．(1，] C．[1,2] D．[，2] D　[∵a＋b＝(1,0)＋(cos θ，sin θ) ＝(1＋cos θ，sin θ)， ∴|a＋b|2＝(1＋cos θ)2＋sin2θ＝2＋2cos θ， 又θ∈，∴cos θ∈[0,1]， ∴|a＋b|2∈[2,4]． ∴|a＋b|

8、的取值范围是[，2]．] 3．已知锐角△ABC三个内角为A，B，C，向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A,1＋sin A)是共线向量，则角A＝________. 【导学号：84352284】 　[∵p∥q， ∴(2－2sin A)(1＋sin A)－(sin A－cos A)(cos A＋sin A)＝0， ∴2－2sin2A＝sin2A－cos2A， ∴sin2A＝. 又A为锐角，∴sin A＝，∴A＝.] 4．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，a)，其中a为实数，O为原点，当此两向量夹角在变动时，a的取值范围是______

9、__． ∪(1，)　[由题意，设A(1,1)，B(1，a)，a和b的夹角为θ，所以＝(1,1)，＝(1，a)， ＝1＋a，||＝， ||＝， 所以cos θ＝＝. 又因为θ∈，所以cos θ∈， 所以＜＜1， 解得a的取值范围为∪(1，)．] 5．已知＝(4,0)，＝(2,2)，＝(1－λ)＋λ(λ2≠λ)． (1)求，在上的投影； (2)证明：A，B，C三点共线，并在＝时，求λ的值； (3)求||的最小值. 【导学号：84352285】 [解]　(1)＝8，设与的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， ∴在上投影为||cos θ＝4＝2. (2)＝－＝(－2,2)， ＝－＝(1－λ)－(1－λ)＝(λ－1)， ∴A，B，C三点共线． 当＝时，λ－1＝1，所以λ＝2. (3)||2＝(1－λ)2＋2λ(1－λ)＋λ2＝16λ2－16λ＋16＝162＋12， ∴当λ＝时，||min＝2. 我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。