高中数学 第二章 数列 阶段复习课 第2课 数列学案 新人教A版必修5

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1、 第二课　数列 [核心速填] 等差、等比数列的性质 项目 等差数列 等比数列 通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 an＝am＋(n－m)d an＝amqn－m 中项 若三个数a，A，b成等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，且A＝ 若三个数a，G，b成等比数列，这时G叫做a与b的等比中项，且G＝± 前n项和 公式 Sn＝＝na1＋d q≠1时， Sn＝ ＝ q＝1时，Sn＝na1 性 质 下标性质 m、n、p、q∈N*且m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq am·an＝ap·aq Sm，

2、 S2m－Sm， S3m－S2m … 成等差数列 成等比数列 [体系构建] [题型探究] 等差(比)数列的基本运算 　等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. [解]　(1)设{an}的公比为q， 由已知得16＝2q3， 解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n. (2)由(1)得a3＝8，a5＝32， 则b3＝8，b5＝32. 设{bn}的公差为d，则有 解得 所以bn＝－16＋12(n－1)＝12

3、n－28. 所以数列{bn}的前n项和 Sn＝＝6n2－22n. [规律方法]　 在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(q)，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用. [跟踪训练] 1．已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn. (1)若1，a1，a3成等比数列，求a1； (2)若S5>a1a9，求a

4、1的取值范围. 【导学号：91432240】 [解]　(1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a＝1×(a1＋2)， 即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2. (2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9， 所以5a1＋10>a＋8a1， 即a＋3a1－10<0，解得－5<a1<2. 求数列的通项公式 　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an. (2)数列{an}的前n项和为Sn且a1＝1，an＋1＝Sn，求an. 思路探究：(1)已知Sn求an时，应分n＝1与n≥2讨论；

5、 (2)在已知式中既有Sn又有an时，应转化为Sn或an形式求解． [解]　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－1， 当n＝1时，a1＝S1＝5不适合上式． ∴an＝ (2)∵Sn＝3an＋1， ① ∴n≥2时，Sn－1＝3an. ② ①－②得Sn－Sn－1＝3an＋1－3an， ∴3an＋1＝4an， ∴＝，又a2＝S1＝a1＝. ∴n≥2时，an＝&#

6、183;n－2，不适合n＝1. ∴an＝ [规律方法]　数列通项公式的求法 （1）定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目. （2）已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝求解. （3）)累加或累乘法,形如an－an－1＝f（n）（n≥2）的递推式，可用累加法求通项公式；形如＝f（n）（n≥2）的递推式，可用累乘法求通项公式. [跟踪训练] 2．设数列{an}是首项为1的正项数列，且an＋1－an＋an＋1·an＝0(n∈N*)，求{an}的通项公式. 【导

7、学号：91432241】 [解]　∵an＋1－an＋an＋1·an＝0， ∴－＝1.又＝1， ∴是首项为1，公差为1的等差数列． 故＝n. ∴an＝. 等差(比)数列的判定 　数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)． (1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列． (2)设cn＝，求证：{cn}是等差数列． 思路探究：分别利用等比数列与等差数列的定义进行证明． [证明]　(1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2 ＝4an＋1－4an. ＝＝＝＝2. 因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所

8、以a2＝5. 所以b1＝a2－2a1＝3. 所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an， 所以－＝3. 所以cn＋1－cn＝3，且c1＝＝2， 所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2. [规律方法]　等差数列、等比数列的判断方法 （1）定义法：an＋1－an＝d（常数）⇔{an}是等差数列；（q为常数，q≠0）⇔{an}是等比数列. （2）中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列；是等比数列. （3）通项公式法：an＝kn＋b（k，b是常数）⇔{an}是等差数列；an＝c

9、3;qn（c，q为非零常数）⇔{an}是等比数列. （4）前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn（A，B为常数，n∈N*）⇔{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A（A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*）⇔{an}是等比数列. 特别提醒：①前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.②若要判定一个数列不是等差(比)数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差(比)即可. [跟踪训练] 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否

10、为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． [解]　(1)由条件可得an＋1＝an. 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1. 数列求和 [探究问题] 1．若数列{cn}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，且an＝cn

11、＋bn，如何求数列{an}的前n项和？ 提示：数列{an}的前n项和等于数列{cn}和{bn}的前n项和的和． 2．有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．试用此种方法求和： 12－22＋32－42＋…＋992－1002. 提示：12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002) ＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100) ＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5 050. 3．我们知道＝－，试用此公式求和：＋＋…＋. 提示：由＝－得 ＋＋…＋

12、＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. 　已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c、k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3， (1)求an； (2)求数列{nan}的前n项和Tn. 【导学号：91432242】 思路探究：(1)已知Sn，据an与Sn的关系an＝确定an；(2)若{an}为等比数列，则{nan}是由等差数列和等比数列的对应项的积构成的新数列，则可用错位相减法求和． [解]　(1)当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝k(cn－cn－1)， 则a6＝k(c6－c5)， a3＝k(c3－c2)， ＝＝c3＝8， ∴c＝2. ∵a2＝4，即k(c2－c1)＝4，

13、 解得k＝2， ∴an＝2n. 当n＝1时，a1＝S1＝2. 综上所述，an＝2n(n∈N*)． (2)nan＝n·2n， 则Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， 2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1， 两式作差得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1， Tn＝2＋(n－1)·2n＋1. 母题探究：1.(变结论)例题中的条件不变，(2)中“求数列{nan}的前n项和Tn”变为“求数列{n＋an}的前n项和Tn”．

14、 [解]　由题知Tn＝1＋2＋2＋22＋3＋23＋…＋n＋2n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋…＋2n) ＝＋ ＝2n＋1－2＋. 2．(变结论)例题中的条件不变，将(2)中“求数列{nan}的前n项和Tn”变为“求数列的前n项和Tn”． [解]　由题Tn＝＋＋＋…＋，① Tn＝＋＋…＋＋，② ①－②得： 　Tn＝＋＋＋…＋－ ＝－＝1－n－， ∴Tn＝2－－＝2－. [规律方法]　数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.,一般常见的求和方法有： (1)公式法：利用等差数列

15、或等比数列前n项和公式； (2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式， 相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. (4)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成 的数列求和. (5)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导. 我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。