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1、
专题对点练16 空间中的平行与垂直
1.
(2017江苏无锡一模,16)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,E是棱AB上一点,且OE∥平面BCC1B1.
(1)求证:E是AB的中点;
(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.
证明 (1)连接BC1,取AB的中点E.
∵侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,
∴O为AC1的中点.
∵E是AB的中点,∴OE∥BC1.
∵OE⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,
∴OE∥平面BCC1B1.
∵OE∥平面BCC1B1,∴E,E重合,∴E是AB
2、的中点.
(2)∵侧面AA1C1C是菱形,∴AC1⊥A1C.
∵AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C⊂平面A1BC,A1B⊂平面A1BC,∴AC1⊥平面A1BC,
∵BC⊂平面A1BC,∴AC1⊥BC.
2.
(2017江苏南京三模,15)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F分别为BC,CD上的点,且BD∥平面AEF.
(1)求证:EF∥平面ABD;
(2)若AE⊥平面BCD,BD⊥CD,求证:平面AEF⊥平面ACD.
证明 (1)∵BD∥平面AEF,BD⊂平面BCD,平面BCD∩平面AEF=EF,
∴BD∥EF.又BD⊂平面ABD,EF⊄平面ABD,
∴EF∥平
3、面ABD.
(2)∵AE⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,∴AE⊥CD.
由(1)可知BD∥EF.∵BD⊥CD,∴EF⊥CD.
又AE∩EF=E,AE⊂平面AEF,EF⊂平面AEF,
∴CD⊥平面AEF.又CD⊂平面ACD,
∴平面AEF⊥平面ACD.
3.
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点,求证:
(1)DE∥平面ABC;
(2)B1F⊥平面AEF.
证明 如图,建立空间直角坐标系Axyz,不妨设AB=AA1=4,
则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,
4、2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).
(1)取AB的中点为N,连接CN,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),
∴DE=(-2,4,0),NC=(-2,4,0),
∴DE=NC,
∴DE∥NC.∵NC⊂平面ABC,DE⊄平面ABC,
∴DE∥平面ABC.
(2)B1F=(-2,2,-4),EF=(2,-2,-2),AF=(2,2,0).
∴B1FEF=(-2)2+2(-2)+(-4)(-2)=0,
B1FAF=(-2)2+22+(-4)0=0.
∴B1F⊥EF,B1F⊥AF,即B1F⊥EF,B1F⊥AF.
又AF∩EF=F,∴B1F⊥平面A
5、EF.
4.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.
求证:(1)B1D⊥平面ABD;
(2)平面EGF∥平面ABD.
证明 (1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),C1(0,2,4).
设BA=a,则A(a,0,0),所以BA=(a,0,0),BD=(0,2,2),B1D=(0,2,-2),B1DBA=0,B1DBD=0+4-4=0,
6、即B1D⊥BA,B1D⊥BD.
又BA∩BD=B,BA,BD⊂平面ABD,
因此B1D⊥平面ABD.
(2)由(1)知,E(0,0,3),Ga2,1,4,F(0,1,4),则EG=a2,1,1,EF=(0,1,1),B1DEG=0+2-2=0,B1DEF=0+2-2=0,即B1D⊥EG,B1D⊥EF.
又EG∩EF=E,EG,EF⊂平面EGF,
因此B1D⊥平面EGF.
结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.
5.(2017北京房山一模,理16)如图1,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60,将△BCD沿对角线BD折起到△BCD的位置,使平面BCD⊥平面ABD,E是BD的中点
7、,FA⊥平面ABD,且FA=23,如图2.
(1)求证:FA∥平面BCD;
(2)求平面ABD与平面FBC所成角的余弦值;
(3)在线段AD上是否存在一点M,使得CM⊥平面FBC?若存在,求AMAD的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明 ∵BC=CD,E为BD的中点,
∴CE⊥BD.
又平面BCD⊥平面ABD,且平面BCD∩平面ABD=BD,
∴CE⊥平面ABD.
∵FA⊥平面ABD,∴FA∥CE.又CE⊂平面BCD,FA⊄平面BCD,∴FA∥平面BCD.
(2)解 以DB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,EC所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),
8、A(0,-3,0),D(-1,0,0),F(0,-3,23),C(0,0,3),
∴BF=(-1,-3,23),BC=(-1,0,3).
设平面FBC的一个法向量为m=(x,y,z),
则mBF=-x-3y+23z=0,mBC=-x+3z=0,取z=1,则m=(3,1,1).
∵平面ABD的一个法向量为n=(0,0,1),
∴cos=mn|m||n|=151=55.
则平面ABD与平面FBC所成角的余弦值为55.
(3)解 假设在线段AD上存在M(x,y,z),使得CM⊥平面FBC,设AM=λAD,则(x,y+3,z)=λ(-1,3,0)=(-λ,3λ,0),∴x=-λ
9、,y=3(λ-1),z=0.而CM=(-λ,3(λ-1),-3),由m∥CM,得-λ3=3(λ-1)1=-31,λ无解.
∴线段AD上不存在点M,使得CM⊥平面FBC.
6.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1分别是棱AA1,BB1,A1B1的中点.
(1)求证:CE∥平面C1E1F;
(2)求证:平面C1E1F⊥平面CEF.
证明 以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设BC=1,则C(0,1,0),E(1,0,1),C1(0,1,2),F(1,1,1),E11,12,2.
(1)设平面
10、C1E1F的法向量为n=(x,y,z).
∵C1E1=1,-12,0,FC1=(-1,0,1),
∴nC1E1=0,nFC1=0,即x-12y=0,-x+z=0.令x=1,得n=(1,2,1).
∵CE=(1,-1,1),nCE=1-2+1=0,∴CE⊥n.
又CE⊄平面C1E1F,∴CE∥平面C1E1F.
(2)设平面EFC的法向量为m=(a,b,c),
由EF=(0,1,0),FC=(-1,0,-1),
∴mEF=0,mFC=0,即b=0,-a-c=0.
令a=-1,得m=(-1,0,1).
∵mn=1(-1)+20+11=-1+1=0,
∴平面C1E1F⊥平面CEF.
11、 〚导学号16804198〛
7.(2017安徽安庆二模,理18)在如图所示的五面体中,四边形ABCD为直角梯形,∠BAD=∠ADC=π2,平面ADE⊥平面ABCD,EF=2DC=4AB=4,△ADE是边长为2的正三角形.
(1)证明:BE⊥平面ACF;
(2)求二面角A-BC-F的余弦值.
(1)证明
取AD的中点O,以O为原点,OA为x轴,过O作AB的平行线为y轴,OE为z轴,建立空间直角坐标系,
则B(1,1,0),E(0,0,3),A(1,0,0),C(-1,2,0),F(0,4,3),
∴BE=(-1,-1,3),AF=(-1,4,3),AC=(-2,2,0)
12、,
∴BEAF=1-4+3=0,BEAC=2-2=0,
∴BE⊥AF,BE⊥AC.又AF∩AC=A,∴BE⊥平面ACF.
(2)解 BC=(-2,1,0),BF=(-1,3,3).
设平面BCF的法向量n=(x,y,z),
则nBC=-2x+y=0,nBF=-x+3y+3z=0,
取x=1,得n=1,2,-53.
易知平面ABC的一个法向量m=(0,0,1).设二面角A-BC-F的平面角为θ,则cos θ=mn|m||n|=-5311+4+253=-104.
∴二面角A-BC-F的余弦值为-104. 〚导学号16804199〛
8.(2017北京西城二模,理16)如图,在几何
13、体ABCDEF中,底面ABCD为矩形,EF∥CD,AD⊥FC.点M在棱FC上,平面ADM与棱FB交于点N.
(1)求证:AD∥MN;
(2)求证:平面ADMN⊥平面CDEF;
(3)若CD⊥EA,EF=ED,CD=2EF,平面ADE∩平面BCF=l,求二面角A-l-B的大小.
(1)证明 因为四边形ABCD为矩形,所以AD∥BC,所以AD∥平面FBC.
又因为平面ADMN∩平面FBC=MN,所以AD∥MN.
(2)证明 因为四边形ABCD为矩形,所以AD⊥CD.
因为AD⊥FC,所以AD⊥平面CDEF.
所以平面ADMN⊥平面CDEF.
(3)解 因为EA⊥CD,AD⊥C
14、D,
所以CD⊥平面ADE,所以CD⊥DE.
由(2)得AD⊥平面CDEF,所以AD⊥DE.
所以DA,DC,DE两两互相垂直.建立空间直角坐标系Dxyz.
不妨设EF=ED=1,则CD=2.设AD=a(a>0),
由题意,得A(a,0,0),B(a,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),E(0,0,1),F(0,1,1).所以CB=(a,0,0),CF=(0,-1,1).
设平面FBC的法向量为n=(x,y,z),
则nCB=0,nCF=0,即ax=0,-y+z=0,
令z=1,则y=1.所以n=(0,1,1).
又平面ADE的一个法向量为DC=(0,2,0),
所以|cos|=|nDC||n||DC|=22.
因为二面角A-l-B的平面角是锐角,
所以二面角A-l-B的大小是45.
我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。
高考数学二轮复习 专题对点练16 空间中的平行与垂直 理
