高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第6节 双曲线练习 新人教A版

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1、 第八章 第6节 双曲线 [基础对点练] 1．(导学号14577755)双曲线x2－my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m＝(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C．2 D．4 解析：D　[双曲线的方程可化为x2－＝1，∴实轴长为2，虚轴长为2， ∴2＝2，解得m＝4.] 2．(导学号14577756)(2018·天津市十二区县一模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－1，－2)，则双曲线的焦距为(　　) A．6 B．3 C．6 D．3

2、解析：A　[根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－1，－2)，即点(－1，－2)在抛物线的准线上，则p＝2，则抛物线的焦点为(1,0)；则双曲线的左顶点为(－3,0)，即a＝3；点(－1，－2)在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±2x，由双曲线的性质，可得b＝6；则c＝＝3，则焦距为2c＝6.故选A.] 3．(导学号14577757)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　) A. B. C. D．2 解析：A　[设|MF1|

3、＝x，则|MF2|＝2a＋x. ∵MF1与x轴垂直，∴(2a＋x)2＝x2＋4c2，∴x＝. ∵sin∠MF2F1＝，∴3x＝2a＋x，∴x＝a，∴＝a， ∴a＝b，∴c＝a，∴e＝＝.故选A.] 4．(导学号14577758)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：A　[圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，根据已知得＝2，即＝2，解得b＝2，则a2＝3

4、2－22＝5，故所求的双曲线方程是－＝1.] 5．(导学号14577759)(2018·佳木斯市三模)椭圆C：＋＝1与双曲线E：－＝1(a，b>0)有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[椭圆C：＋＝1的焦点坐标(±1,0)，离心率为. 双曲线E：－＝1(a，b>0)的焦点(±1,0)，c＝1，双曲线的离心率为2. 可知a＝，则b＝，双曲线渐近线y＝±x的倾斜角的正弦值为.故选D.] 6．(导学号14577760)(2018·邯郸市一

5、模)已知点A(a,0)，点P是双曲线C：－y2＝1右支上任意一点，若|PA|的最小值为3，则a＝　________　. 解析：设P(x，y)(x≥2)，则|PA|2＝(x－a)2＋y2 ＝2＋a2－1. a＞0时，x＝a，|PA|的最小值为a2－1＝3， ∴a＝2； a＜0时，2－a＝3，∴a＝－1. 答案：－1或2 7．(导学号14577761)(2016·高考北京卷)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝　________　. 解析：取B为双曲线右焦点，如图所示．

6、 ∵四边形OABC为正方形且边长为2， ∴c＝|OB|＝2， 又∠AOB＝，∴＝tan ＝1，即a＝b. 又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2. 答案：2 8．(导学号14577762)(2016·高考浙江卷)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是　________　. 解析：如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设点P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2， 由于△PF1F2为锐角三角形， 结合实际意义需满足 解得

7、－1＋＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2， ∴2＜2m＋2＜8. 答案：(2，8) 9．(导学号14577763)中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程； (2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值． 解析：(1)由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n， 则 解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2. ∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1. (2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象

8、限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14， |PF1|－|PF2|＝6， 所以|PF1|＝10，|PF2|＝4. 又|F1F2|＝2， ∴cos∠F1PF2＝ ＝＝. 10．(导学号14577764)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)． (1)求双曲线方程； (2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：1·2＝0； (3)求△F1MF2的面积． 解：(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ. ∵过点P(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为－＝1. (2)证明：法一　由(1)可知，双曲线中a＝

9、b＝， ∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)． ∴kMF1＝，kMF2＝. kMF1·kMF2＝＝－. ∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3； 故kMF1·kMF2＝－1.∴MF1⊥MF2. ∴1·2＝0. 法二　∵1＝(－3－2，－m)， 2＝(2－3，－m)， ∴1·2＝(3＋2)×(3－2)＋m2 ＝－3＋m2.∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6， 即m2－3＝0.∴1·2＝0. (3)△F1MF2的底|F1F2|＝4， △F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6. [能力

10、提升练] 11．(导学号14577765)(2018·潍坊市三模)已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1、F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率为e1，e2，且＝，若∠F1PF2＝，则双曲线C2的渐近线方程为(　　) A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±y＝0 D．x±2y＝0 解析：C　[设椭圆C1的方程＋＝1(a1＞b1＞0)，双曲线C2的方程－＝1(a2＞0，b2＞0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)． 由e1＝，e2＝，由＝，则＝，则a1＝3a2. 由题意：

11、|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2， 则|PF1|＝a1＋a2＝4a2，|PF2|＝a1－a2＝2a2. 由余弦定理可知：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2，则(2c)2＝(4a2)2＋(2a2)2－2×4a2×2a2×， c2＝3a，b＝c2－a＝2a，则b2＝a2， 双曲线的渐近线方程y＝±x＝±x，即x±y＝0.故选C.] 12．(导学号14577766)(2018·滨州市一模)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为

12、A，抛物线C：y2＝8ax的焦点为F，若在E的渐近线上存在点P使得PA⊥FP，则E的离心率的取值范围是(　　) A．(1,2) B. C．(2，＋∞) D. 解析：B　[双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A(a,0)，抛物线C：y2＝8ax的焦点为F(2a,0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设P， 即有＝(m－a，m)，＝(m－2a，m)． 由PA⊥FP，即为⊥，可得·＝0， 即为(m－a)(m－2a)＋m2＝0， 化为m2－3ma＋2a2＝0，由题意可得Δ＝9a2－4·2a2≥0，即有a2≥8b2＝8(c2－a2)

13、，即8c2≤9a2，则e＝≤. 由e＞1，可得1＜e≤.故选B.] 13．(导学号14577767)(2018·吴忠市模拟)已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P、Q两点，且点P的横坐标为2，则△PF1Q的周长为　________　. 解析：由双曲线C：－y2＝1，得a＝，b＝1， ∴c＝＝2，则F1(－2,0)，F2(2,0)． 由于点P的横坐标为2，则PQ⊥x轴， 令x＝2，有y2＝－1＝， 即y＝±，则|PF2|＝， |PF1|＝2a＋|PF2|＝2＋＝， 则△PF1Q的周长为|PF1|＋|QF1

14、|＋|PQ|＝＋＋＝. 答案： 14．(导学号14577768)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)． (1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程； (2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率． 解：(1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b， ∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2， ∴双曲线方程为－＝1. (2)设点A的坐标为(x0，y0)， 则直线AO的斜率满足·(－)＝－1， ∴x0＝y0.① 依题意，圆的方程为x

15、2＋y2＝c2， 将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c， ∴x0＝c， ∴点A的坐标为，代入双曲线方程得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2.② 由a2＋b2＝c2，得b2＝c2－a2代入②式，整理得 c4－2a2c2＋a4＝0， ∴34－82＋4＝0， ∴(3e2－2)(e2－2)＝0.∵e>1，∴e＝， ∴双曲线的离心率为. 我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。