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1、
专题对点练27 不等式选讲(选修4—5)
1.(2017山西吕梁二模,理23)已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|.
(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;
(2)如果∃x∈R,使得f(x)<2成立,求实数a的取值范围.
解 (1)若a=-1,f(x)≥3,即为|x-1|+|x+1|≥3,
当x≤-1时,1-x-x-1≥3,即有x≤-32;
当-1f(x)min,由函数
2、f(x)=|x-1|+|x-a|≥|x-1-x+a|=|a-1|,
当(x-1)(x-a)≤0时,取得最小值|a-1|,
则|a-1|<2,即-2
3、f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4;
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}.
(2)f(x)≤|x-4|⇒|x-4|-|x-2|≥|x+a|.
当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|
⇒4-x-(2-x)≥|x+a|⇒-2-a≤x≤2-a.
由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[-3,0].
3.设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.
解 (1)当a=1时,f(x)≥3x
4、+2可化为|x-1|≥2.
由此可得x≥3或x≤-1.
故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.
(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0.
此不等式化为不等式组x≥a,x-a+3x≤0,或x≤a,a-x+3x≤0,
即x≥a,x≤a4,或x≤a,x≤-a2.因为a>0,所以不等式组的解集为xx≤-a2.由题设可得-a2=-1,故a=2.
4.已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
解 (1)当a=2时,f(x)=|2x
5、-2|+2.
解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.
(2)当x∈R时,
f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|
≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,
当x=12时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3. ①
当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.
当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+∞).
5.(2017辽宁沈阳一模,理23)设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M,a,b∈M.
(1)证明:13a+16b<14
6、;
(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小,并说明理由.
(1)证明 记f(x)=|x-1|-|x+2|=3,x≤-2,-2x-1,-20,所以|1-4ab|2>4|a-b|2,
故|1-4ab|>2
7、|a-b|.
6.已知函数f(x)=x-12+x+12,M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
(1)解 f(x)=-2x,x≤-12,1,-12-1;
当-12
8、)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|. 〚导学号16804230〛
7.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.
求证:(1)ab+bc+ac≤13;
(2)a2b+b2c+c2a≥1.
证明 (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.
(2)因为a2b+b≥2a,b2c+c≥2b,c2a+a≥2c,故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)≥2(a+b+c),即a2b+b
9、2c+c2a≥a+b+c.
所以a2b+b2c+c2a≥1. 〚导学号16804231〛
8.已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
解 (1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.
当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;
当-10,解得230,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为x23
10、,x<-1,3x+1-2a,-1≤x≤a,-x+1+2a,x>a.
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a-13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),
故△ABC的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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