安徽省长丰县高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质教案 新人教A版选修11

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1、 2.4.2 抛物线的简单几何性质 项目 内容 课题 2.4.2 抛物线的简单几何性质 （共 1 课时） 修改与创新 教学 目标 知识与技能：使学生理解并掌握抛物线的几何性质，能运用抛物线的标准方程推导出它的几何性质，同时掌握抛物线的简单画法。 过程与方法：通过对抛物线的标准方程的研究，得出抛物线的几何性质，并应用抛物线的性质解决有关抛物线的实际问题，培养学生的数形结合、转化与化归的能力，提高我们的综合素质。 情感、态度与价值观：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问

2、题． 教学重、 难点 重点：抛物线的几何性质及初步运用． 难点：抛物线的几何性质的应用 教学 准备 多媒体课件 教学过程 (一)复习 1．抛物线的定义是什么？ 2．抛物线的标准方程是什么？ 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质． (二)几何性质 怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以y2=2px(p＞0)为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写． 填写完毕后，再向学生提出问题：和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？ 学生和教师共同小结： (1)抛

3、物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线． (2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心． (3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点． (4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了． (三)应用举例 为了加深对抛物线的几何性质的认识，掌握描点法画图的基本方法，给出如下例1． 例1　 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点求抛物线的方程。

4、 解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 程是y2=4x． 后一部分由学生演板，检查一下学生对用描点法画图的基本方法掌握情况． 第一象限内的几个点的坐标，得： (2)描点作图 描点画出抛物线在第一象限内的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分(如图)． 例2　 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值． 解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方 因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离 得p=4．

5、因此，所求抛物线方程为y2=-8x． 又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=（-8）*(-3)． 解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由学生演板．由题意 在抛物线上且|MF|=5，故 本例小结： (1)解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．可得焦半径公式：设P(x0， 这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此必须熟练掌握． (2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则有|AB|=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴，抛物

6、线的通径|AB|=2p． 例3　 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)． 证明： (1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为： 此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y2y2=-p2． 或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2． 综合上述有y1y2=-p2 又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点， 本例小结： (1)涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问

7、题的一种常用方法． (2)本例命题1是课本习题中结论，要求学生记忆． (四)课堂练习 1．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，求|AB|的值． 2．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点． (五)课时小结： 1．抛物线的几何性质； 2．抛物线的应用． （六）布置作业 1．在抛物线y2=12x上，求和焦点的距离等于9的点的坐标． 2．有一正三角形的两个顶点在抛物线y2=2px上，另一顶点在原点，求这个三角形的边长． 3．如图是抛物线拱桥的示意图，当水面在l时，拱顶高水面2m，水面宽4m，水下降11m后，

8、水面宽多少？ 4．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆，必与抛物线的准线相切． 板书设计 2.4.2 抛物线的简单几何性质 1、范围 例1 例2 2．对称性 3．顶点 4．离心率 教学反思 通过表格把三种圆锥曲线进行比较，让学生更深刻地理解它们的区别与联系，有利于学生更好地掌握相关概念和性质，并灵活应用。 我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。