高中数学 模块综合检测 新人教B版必修4

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1、 模块综合检测 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若sin α2=33,则cos α=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-23 B.-13 C.13 D.23 解析:cos α=1-2sin2α2=1-2332=13.故选C. 答案:C 2.若tan(α-3π)>0,sin(-α+π)<0,则α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析:由已知得tan α>0,sin α<0, ∴α是第三象限角. 答案

2、:C 3.函数f(x)=sin2x+π3的图象的对称轴方程可以为 (　　) A.x=π12 B.x=5π12 C.x=π3 D.x=π6 解析:由2x+π3=kπ+π2(k∈Z), 得x=kπ2+π12(k∈Z). 当k=0时,x=π12. 答案:A 4.当cos 2α=23时,sin4α+cos4α的值是(　　) A.1 B.79 C.1118 D.1318 解析:sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-12sin22α=1-12(1-cos22α)=1118. 答案:C 5.已知a=1,12,b=1,-12,c=a+kb,d

3、=a-b,c与d的夹角是π4,则k的值为(　　) A.-13 B.-3 C.-3或-13 D.-1 解析:c=1,12+k,-12k=1+k,12-12k,d=(0,1). cosπ4=12-12k(1+k)2+14(1-k)2, 解得k=-3或-13. 答案:C 6. 如图,在直角三角形PBO中,∠PBO=90,以O为圆心,OB为半径作圆弧交OP于A点,若AB等分△PBO的面积,且∠AOB=α,则(　　) A.tan α=α B.tan α=2α C.sin α=2cos α D.2sin α=cos α 解析:设扇形的半径为r,则扇形的面积为12αr2,直角三

4、角形PBO中,PB=rtan α,△PBO的面积为12rrtan α,由题意得12rrtan α=212αr2,∴tan α=2α,故选B. 答案:B 7.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m(A>0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为π2,直线x=π3是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的函数解析式是(　　) A.y=4sinx+π6 B.y=2sin2x+π3+2 C.y=2sin4x+π3+2 D.y=2sin4x+π6+2 解析:由A+m=4,-A+m=0,得A=2,m=2. 又∵T=π2,∴ω=2ππ2=4, ∴ωx+φ=4x+φ. ∵x=π3是其一条对

5、称轴, ∴43π+φ=kπ+π2(k∈Z), ∴φ=kπ-56π. 当k=1时,φ=π6, ∴y=2sin4x+π6+2. 答案:D 8.已知向量OB=(2,0),OC=(0,2),CA=(cos θ,sin θ),则|AB|的取值范围是(　　) A.[1,2] B.[22,4] C.[22-1,22+1] D.[22,22+1] 解析:由题意知,AB=(2-cos θ,-2-sin θ), 所以|AB|=(2-cosθ)2+(-2-sinθ)2=4-4cosθ+1+4+4sinθ=9+42sinθ-π4∈[9-42,9+42], 即|AB|∈[22-1,22+1].

6、答案:C 9. 已知函数f(x)=Asinπ3x+π6,x∈R,A>0,y=f(x)的部分图象如图,P,Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的横坐标为1.若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=2π3,则A=(　　) A.3 B.2 C.1 D.23 解析:函数f(x)的周期为T=2ππ3=6,∴Q(4,-A). 又∠PRQ=2π3, ∴直线RQ的倾斜角为5π6, ∴A1-4=-33,A=3. 答案:A 10.已知点A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在l上,则关于实数x的方程x2OA+xOB+AC=0的解集为(　　) A.⌀ B.{-1} C.-1-52,-1+52

7、 D.{-1,0} 解析:由于AB=OB-OA,又AB∥AC,则存在实数λ,使AC=λAB,则AC=λ(OB-OA)=λOB-λOA,所以有λOA-λOB+AC=0,由于OA和OB不共线,又x2OA+xOB+AC=0, 所以x2=λ,x=-λ.由于AC是任意非零向量,则实数λ是任意实数,则等式λ2=λ不一定成立,所以关于x的方程x2OA+xOB+AC=0的解集为⌀. 答案:A 11.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,则cos(α-β)=(　　) A.-12 B.12 C.-13 D.2327 解析:因为α∈0,π2, 所以2α∈(0,π). 因

8、为cos α=13, 所以cos 2α=2cos2α-1=-79, 所以sin 2α=1-cos22α=429. 又α,β∈0,π2, 所以α+β∈(0,π), 所以sin(α+β)=1-cos2(α+β)=223, 所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=-79-13+429223=2327. 答案:D 12.已知∠A1,∠A2,…,∠An为凸多边形的内角,且lg sin A1+lg sin A2+…+lg sin An=0,则这个多边形是(　　) A.正六边形 B.梯形 C.矩形 D.含锐角的菱形

9、解析:lg sin A1+lg sin A2+…+lg sin An =lg(sin A1sin A2…sin An)=0, 则sin A1sin A2…sin An=1, 又∠A1,∠A2,…,∠An为凸多边形的内角, 则∠A1,∠A2,…,∠An∈(0,π), 则0

10、 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.已知(sin x-2cos x)(3+2sin x+2cos x)=0,则sin2x+2cos2x1+tanx的值为　　　　　. 解析:∵3+2sin x+2cos x=3+22sinx+π4≥3-22,∴3+2sin x+2cos x≠0, ∴sin x-2cos x=0,sin x=2cos x, ∴(2cos x)2+cos2x=1,cos2x=15. ∴sin2x+2cos2x1+tanx =2cosx(sinx+cosx)sinx+cosxcosx=2cos2x=25. 答案:25 1

11、4.函数y=3-2cos3x+π6的定义域为　　　　　. 解析:由2cos3x+π6≥0,得2kπ-π2≤3x+π6≤2kπ+π2(k∈Z), 即23kπ-2π9≤x≤23kπ+π9(k∈Z). 答案:23kπ-2π9,23kπ+π9(k∈Z) 15.已知tanx+π4=2,则tanxtan2x的值为　　　　　. 解析:由tanx+π4=tanx+11-tanx=2, 得tan x=13, ∴tanxtan2x=tanx(1-tan2x)2tanx=1-tan2x2=49. 答案:49 16.已知a1+a2+…+a2 015=0,且an=(3,4)(1≤n≤2 010,n∈N

12、*),则a1+a2+…+an-1+an+1+…+a2 015的模为　　　　　. 解析:由题意知a1+a2+…+an-1+an+1+…+a2 015=-an=(-3,-4),所以所求模为5. 答案:5 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知sinα+π4+sinα-π4=23. (1)求sin α的值; (2)求sinα-π41-cos2α-sin2α的值. 解:(1)∵sinα+π4+sinα-π4=23, ∴2sin α=23.∴sin α=13. (2)∵sinα-π41-cos2α-sin2α=22(sin

13、α-cosα)2sin2α-2sinαcosα =2(sinα-cosα)4sinα(sinα-cosα)=24sinα, ∴原式=2413=324. 18.(12分)已知电流I与时间t的关系式为I=Asin(ωt+φ). (1)如图是I=Asin(ωt+φ)ω>0,|φ|<π2在一个周期内的图象,根据图中数据求解析式; (2)如果t在任意一段1150秒的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少? 解:(1)由图知,A=300, 12T=1800--1900=177 200, ∴T=173 600,∴ω=2πT=7 200π17

14、, ∴7 20017π-1900+φ=0. 又|φ|<π2,∴φ=817π, ∴I=300sin7 200π17x+817π. (2)∵t在任一段1150秒内I能取到最大值和最小值, ∴I=Asin(ωt+φ)的周期T≤1150, 即2πω≤1150,ω≥300π≈943. ∴ω的最小正整数值是943. 19.(12分)设在平面上有两个向量a=(cos 2α,sin 2α)(0≤α<π),b=12,32,a与b不共线. (1)求证:向量a+b与a-b垂直; (2)当向量3a+b与a-3b的模相等时,求α的大小. (1)证明由已知得|a|=cos22α+sin22α=1,|

15、b|=122+322=1, 则(a+b)(a-b)=a2-b2=0, 所以a+b与a-b垂直. (2)解:由|3a+b|=|a-3b|两边平方,得3|a|2+23ab+|b|2=|a|2-23ab+3|b|2, ∴2(|a|2-|b|2)+43ab=0. 而|a|=|b|,∴ab=0. ∴12cos 2α+32sin 2α=0,即sin2α+π6=0, ∴2α+π6=kπ(k∈Z). 又0≤α<π,∴α=5π12或α=11π12. 20.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别

16、为210,255. (1)求tan(α+β)的值; (2)求α+2β的值. 解:由已知得cos α=210,cos β=255. ∵α,β为锐角, ∴sin α=1-cos2α=7210, sin β=1-cos2β=55. ∴tan α=7,tan β=12. (1)tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=7+121-712=-3. (2)∵tan 2β=2tanβ1-tan2β=2121-122=43, ∴tan(α+2β)=tanα+tan2β1-tanαtan2β=7+431-743=-1. ∵α,β为锐角,∴0<α+2β<3π2.∴α+2β

17、=3π4. 21.(12分)已知点A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈π2,3π2. (1)若|AC|=|BC|,求角α的值; (2)若ACBC=-1,求2sin2α+sin2α1+tanα的值. 解:(1)∵AC=(cos α-3,sin α),BC=(cos α,sin α-3), ∴|AC|=(cosα-3)2+sin2α=10-6cosα, |BC|=cos2α+(sinα-3)2=10-6sinα. 由|AC|=|BC|,得sin α=cos α. 又∵α∈π2,3π2,∴α=5π4. (2)由ACBC=-1,得(co

18、s α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1. ∴sin α+cos α=23. ① 又2sin2α+sin2α1+tanα=2sinα(sinα+cosα)1+sinαcosα=2sin αcos α. 由①式两边平方,得1+2sin αcos α=49, ∴2sin αcos α=-59. ∴2sin2α+sin2α1+tanα=-59. 22.(12分)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为θ的扇形,A是扇形弧PQ上的动点,AB∥OQ,OP与AB交于点B,AC∥OP,OQ与AC交于点C. (1)当θ=π2时,求点A的位置,使矩形ABOC的面积最大,并求出这个

19、最大面积; (2)当θ=π3时,求点A的位置,使平行四边形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积. 解:(1)连接OA,设∠AOB=α, 则OB=cos α,AB=sin α. ∴矩形面积S=OBAB=sin αcos α. ∴S=12sin 2α. 由于0<α<π2, ∴当2α=π2,即α=π4时,S最大=12. ∴A点在PQ的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为12. (2)连接OA,设∠AOP=α,过A点作AH⊥OP,垂足为H.在Rt△AOH中,AH=sin α,OH=cos α. 在Rt△ABH中,AHBH=tan 60=3,∴BH=33sin α.

20、∴OB=OH-BH=cos α-33sin α. 设平行四边形ABOC的面积为S, 则S=OBAH=cosα-33sinαsin α =sin αcos α-33sin2α=12sin 2α-36(1-cos 2α) =12sin 2α+36cos 2α-36 =1332sin2α+12cos2α-36 =13sin2α+π6-36. 由于0<α<π3, ∴当2α+π6=π2, 即α=π6时,S最大=13-36=36. ∴当A是PQ的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为36. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375