高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.2 函数的简单性质 2.2.2 函数的奇偶性学案 苏教版必修1

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1、 2．2．2　函数的奇偶性 1．了解函数奇偶性的含义． 2．会判断一些简单函数的奇偶性． 3．了解奇函数和偶函数图象的特点． 1．奇函数和偶函数 (1)一般地，设y＝f(x)的定义域为A，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数． (2)如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数． 【做一做1】有下列函数： ①y＝2x；②y＝；③y＝x2；④y＝x3＋x；⑤y＝x2－x；⑥y＝－；⑦y＝2x2－1；⑧y＝2|x|＋2． 其中奇函数有________

2、__，偶函数有__________． 答案：①④⑥　③⑦⑧ 2．奇偶性 (1)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，就说函数f(x)具有奇偶性． (2)偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称． (1)在奇函数和偶函数的定义中，都要求x∈A，－x∈A，这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐标原点对称． (2)根据函数奇偶性的定义，函数可分为：①是奇函数但不是偶函数；②是偶函数但不是奇函数；③是奇函数又是偶函数；④既不是奇函数也不是偶函数． 【做一做2－1】已知f(x)＝ax3＋bx－3中，f(－2)＝3，则f(2)＝__________． 解析：

3、因为f(－x)＋f(x)＝－6， 所以由f(－2)＝3，得f(2)＝－9． 答案：－9 【做一做2－2】函数f(x)＝－x＋的奇偶性是__________． 答案：奇函数 如何判断函数的奇偶性？ 剖析：(1)根据函数奇偶性定义判断，其基本步骤为： ①先看定义域是否关于原点对称，若函数没有标明定义域，应先找到使函数有意义的x的集合，因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数．如函数f(x)＝x4＋1，x∈［－1,2］．由于它的定义域不关于原点对称，当1＜x≤2时，－x不在函数的定义域中，所以它不符合奇、偶

4、函数的定义，故f(x)＝x4＋1，x∈［－1,2］是非奇非偶函数． ②再看f(－x)与f(x)的关系，这是因为定义域关于原点对称的函数也不一定是奇函数或偶函数．如f(x)＝x2＋x，g(x)＝x3＋1，它们的定义域都是R，因为f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x≠f(x)，所以它是非奇非偶函数．同理可证g(x)＝x3＋1也是非奇非偶函数． ③然后得出结论． (2)定义域关于原点对称，满足f(－x)＝－f(x)＝f(x)的函数既是奇函数也是偶函数，如f(x)＝0(x∈R)．应注意：既是奇函数又是偶函数的函数有无数个． (3)分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x与－x的所在范围及其对

5、应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，而不能以其中一个区间来代替整个定义域． (4)判断函数的奇偶性有时可用定义的等价形式f(－x)f(x)＝0或＝1(f(x)≠0)来代替． (5)有时可以直接借助函数的图象与相关性质，如奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称等，从而直观地判断函数的奇偶性． 题型一 判断函数的奇偶性 【例1】判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x3－2x； (3)f(x)＝a(x∈R)； (4)f(x)＝ 分析：按奇函数或偶函数的定义或几何特征进行判断即可． 解：(1)函数的定义域为{x|x≠

6、－1}，不关于原点对称， 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (2)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝2x－x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． (3)函数的定义域为R，关于原点对称， 当a＝0时，f(x)既是奇函数又是偶函数； 当a≠0时，f(－x)＝a＝f(x)，即f(x)是偶函数． (4)函数的定义域为R，关于原点对称， 当x＞0时，－x＜0，此时f(－x)＝－x［1＋(－x)］＝－x(1－x)＝－f(x)； 当x＜0时，－x＞0，此时f(－x)＝－x［1－(－x)］＝－x(1＋x)＝－f(x)； 当x＝0时，－x＝0，此时f(

7、－x)＝0，f(x)＝0， 即f(－x)＝－f(x)． 综上，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 反思：根据奇函数以及偶函数的定义，判断是不是有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，前者是偶函数，后者是奇函数；如果这两个都不成立，则是非奇非偶函数． 说一个函数是非奇非偶函数，有时只要说明它的定义域不合要求即可，而不必套用作差法进行检验．有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一． 题型二 求函数解析式 【例2】设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x＞0时，f(x)＝x2－2x＋1，求f(x)的解析式． 解：当x＜0时，则－x＞0， 所以f(－x

8、)＝(－x)2－2(－x)＋1＝x2＋2x＋1． 又f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)， 所以－f(x)＝x2＋2x＋1． 所以f(x)＝－x2－2x－1． 当x＝0时，因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以一定有f(0)＝0．所以函数f(x)的解析式为f(x)＝ 反思：本题中x∈R，容易遗漏x＝0的情况，对于定义在R上的奇函数一定有f(0)＝0，这是一个重要的结论，要引起重视． 【例3】已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝x2＋2x＋3．求f(x)和g(x)的解析式． 分析：充分利用奇、偶函数的性质，利用方程思想求其解析式． 解：由条件得

9、f(－x)－g(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3．又f(x)为奇函数，g(x)为偶函数， ∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)． ∴－f(x)－g(x)＝x2－2x＋3． ∵f(x)－g(x)＝x2＋2x＋3， 两式相减得f(x)＝2x， 两式相加得g(x)＝－x2－3． 反思：对于基本初等函数，大致有三类：其一是奇函数，其二是偶函数，其三是非奇非偶函数，但此类函数均可表示为奇、偶函数的和或差． 题型三 函数奇偶性的应用 【例4】画出函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值． 分析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右

10、侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间． 解：函数图象如图所示． 由图象，得函数的图象在区间(－∞，－1］和［0,1］上是上升的，在［－1,0］和［1，＋∞)上是下降的，最高点是(1,4)，故函数在(－∞，－1］，［0,1］上是增函数；函数在［－1,0］，［1，＋∞)上是减函数，最大值是4． 反思：本题中，已知函数满足f(－x)＝f(x)，说明f(x)是偶函数，它的图象关于y轴对称，由此可先作出函数在y轴右侧的图象，再将其沿y轴翻折即可． 1函数f(x)＝x(x2－1)的大致图象是__________． 解析：因为f(－x

11、)＝－x［(－x)2－1］＝－f(x)， 所以原函数是奇函数．排除③④． 又当x＝时，y＝＝－＜0，说明点在第四象限．排除②． 答案：① 2函数f(x)＝x3＋bx2＋cx是奇函数，函数g(x)＝3x2＋(c－2)x＋5是偶函数，则b＝____，c＝____． 解析：由条件得f(－x)＋f(x)＝2bx2＝0，∴b＝0． 由条件得g(－x)＝g(x)， 且g(－x)＝3x2－(c－2)x＋5， g(x)＝3x2＋(c－2)x＋5，∴c＝2． 答案：0　2 3判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝2x2－7；(2)f(x)＝2x3＋5x； (3)f(x)＝5x－3．

12、解：(1)因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝2(－x)2－7＝2x2－7＝f(x)，所以f(x)＝2x2－7为偶函数； (2)因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝2(－x)3＋5(－x)＝－(2x3＋5x)＝－f(x)， 所以f(x)＝2x3＋5x为奇函数； (3)f(x)的定义域是R． 因为f(－1)＝5(－1)－3＝－8≠－2＝－f(1)， 故f(x)＝5x－3不是奇函数． 又f(－1)＝5(－1)－3＝－8≠2＝f(1)， 故f(x)＝5x－3不是偶函数． 综上所得f(x)＝5x－3为非奇非偶函数． 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝

13、－．求当x＜0时，f(x)的解析式． 解：令x＜0，则－x＞0， ∴f(－x)＝－＝． 又f(x)是定义在R上的偶函数， ∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)＝(x＜0)． 5已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在［2,6］上是减函数，试比较f(－5)与f(3)的大小． 分析：利用单调性比较大小． 解：∵函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数， ∴f(－5)＝f(5)． 又∵函数y＝f(x)在［2,6］上是减函数，且5＞3， ∴f(5)＜f(3)．∴f(－5)＜f(3)． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375