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1、
第三讲 柯西不等式与排序不等式
单元整合
知识网络
专题探究
专题一 柯西不等式的应用
利用柯西不等式证明其他不等式或求最值，关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化．
已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，求e的取值范围．
提示：由a2＋b2＋c2＋d2＋e2联想到应用柯西不等式．
解：∵4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2，
即4(16－e2)≥(8－e)2,64－4e2≥64－16e＋e2，
即5e2－16e≤0，∴e(5e－16)≤0，∴
2、0≤e≤.
即e的取值范围是.
若n是不小于2的正整数，试证：
＜1－＋－＋…＋－＜.
提示：注意中间的一列数的代数和，其奇数项为正，偶数项为负，可进行恒等变形予以化简．
证明：1－＋－＋…＋－
＝－2
＝＋＋…＋，
所以求证式等价于＜＋＋…＋＜.
由柯西不等式，有
[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]＞n2，
于是，＋＋…＋
＞＝＝
≥＝，
又由柯西不等式，有＋＋…＋＜
≤＝.
综上，原不等式成立．
专题二 排序不等式的应用
应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，其证明的关键是找出两组有序数组，通常可以从函数单调性去寻找．
在△ABC中，试证：≤＜
3、.
提示：可构造△ABC的边和角的序列，应用排序不等式来证明．
证明：不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C，由排序不等式，得：
aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，
aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，
aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.
相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，得≥，①
又由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，
有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)
＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)
＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)
＝(a＋b＋c)π－2(aA＋
4、bB＋cC)，
得＜.②
由①②得原不等式成立．
专题三 利用不等式解决最值问题
利用不等式解决最值问题，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足．
设a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值．
解：根据柯西不等式，知
(a＋2b＋3c)
≥2＝(＋＋)2，
∴(＋＋)2≤，
则＋＋≤，
当且仅当＝＝时取等号．
又a＋2b＋3c＝13，∴a＝9，b＝，c＝时，
＋＋有最大值.
专题四 利用柯西不等式解决实际问题
数学知识服务于生活实践始终
5、是数学教学的中心问题，利用柯西不等式解决实际问题，关键是从实际情景中构造出这类不等式的模型．
如图，等腰直角三角形AOB的直角边长为1.
在此三角形中任取点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P的位置．
解：分别取OA，OB为x轴、y轴，则AB的方程为x＋y＝1，
记P点坐标P(xP，yP)，则以P为公共顶点的三个三角形的面积和S为S＝x＋y＋(1－xP－yP)2，则
2S＝x＋y＋(1－xP－yP)2.
由柯西不等式，得
[x＋y＋(1－xP－yP)2](12＋12＋12)≥
[xP＋yP＋(1－xP－yP)]2，
即2S3＝6S≥1，所以S≥.
当且仅当＝＝时，等号成立，
即xP＝yP＝时，面积S最小，且最小值为.
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