高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.3 映射的概念学案 苏教版必修1

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1、 2．3　映射的概念 1．理解映射的概念及表达方法． 2．会判断一个对应是否为映射． 映射的概念 一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有惟一的元素与之对应，那么，这样的单值对应就叫集合A到集合B的映射．记作f：A→B． 若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则集合A到集合B的映射有mn个． 【做一做1－1】根据对应法则f：x→2x－1，写出图中给定元素的对应元素． (1) (2) 答案：(1)1　3　5　(2)4　5　6 【做一做1－2】已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}

2、，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的元素，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是________． 答案：4 1．怎样理解映射的概念？ 剖析：(1)映射定义中的两个集合A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射是不同的． (2)映射是由集合A、B以及从A到B的对应法则f所确定的． (3)在一个映射中，在对应法则f的作用下，集合A中的任何一个元素a对应着集合B中的元素b． (4)符号“f：A→B”表示集合A到集合B的映射，其中对应法则f的具体内容可用汉字叙述，如“求正弦”“乘以2再加5”等．但在专业教材中，一般用比较抽象的符号来表示．

3、 (5)在一个映射中，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合A、B也可以是同一集合，但在确定的映射中，集合A、B的地位一般是不要求对等的． 2．为什么说映射是一种特殊的对应？ 剖析：(1)映射也是两个集合A与B元素之间存在的某种对应关系．说其是一种特殊的映射，就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许存在“一对多”的对应． (2)映射中所允许的“一对一”与“多对一”这两种对应的特点，从A到B的映射f：A→B实际是要求集合A中的任一元素都必须对应于集合B中惟一的元素．但对集合B中的元素并无任何要求，即允许集合B中的元素在集合A中可能有一个元素与之对应，可能

4、有两个或多个元素与之对应，也可能没有元素与之对应． 题型一 映射的概念 【例1】下列对应是不是从A到B的映射？ (1)A＝Q，B＝{x∈Q|x＞0}，f：x→|x|； (2)A＝B＝N*，f：x→|x－2|； (3)A＝{x∈N|x≥2}，B＝{y∈Z|y≥0}，f：x→y＝x2－2x＋1； (4)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝． 解：(1)中，当x＝0∈A时，|x|＝0B，即A中的元素0按照对应法则在B中找不到应该对应的元素，故(1)不是映射． (2)中，当x＝2∈A时，|x－2|＝0B，与(1)类似，(2)也不是映射． (3)中，因为y＝(x－

5、1)2≥0，所以对任意x，总有y≥0；又当x∈N时，x2－2x＋1必为整数，即y∈Z．所以当x∈A时，x2－2x＋1∈B，且对A中每一个元素x，在B中都有惟一的y与之对应，故(3)是映射． (4)中，任意一个x都有两个y与之对应，故不是映射． 反思：给定两集合A、B及对应法则f，判断是否是从集合A到集合B的映射，其基本方法是利用映射的定义．用通俗的语言讲：A→B的对应有“多对一”“一对一”及“一对多”，前两种对应是A→B的映射，而后一种不是A→B的映射． 题型二 映射的个数问题 【例2】已知M＝{a，b，c}，N＝{－2,0,2}，且从M到N的映射满足f(a)＞f(b)≥f(c)，试

6、确定这样的映射f的个数为__________． 解析：因为从M到N的映射满足f(a)＞f(b)≥f(c)，所以，(1)当f(a)＝2时，有 或或 (2)当f(a)＝0时，有 综上，从M到N满足f(a)＞f(b)≥f(c)的映射f的个数是4． 答案：4 反思：对于这类有条件的映射问题，求解时要注意考虑周到，注意分情况讨论，切勿遗漏情况． 【例3】已知A＝{1,2,3,4}，B＝{6,7}，则以A为定义域，B为值域的不同函数的个数为__________． 解析：当A中有三个元素对应B中元素6时，另一个元素必须对应B中元素7，这样可组成4个满足题意的不同函数； 当A中有三个元素对应

7、B中元素7时，另一个元素必须对应B中元素6，这样可组成4个满足题意的不同函数； 当A中有两个元素对应B中元素6时，剩下两个元素必对应7，这样可组成6个满足题意的函数． 所以共可组成4＋4＋6＝14(个)不同函数． 答案：14 反思：求解此题要特别注意集合B必须为函数的值域的特别要求，它实际是要求集合B恰好是集合A中的所有元素所对应的元素组成的． 题型三 映射的应用 【例4】为了增加破译密文的难度，有一种密码把英文的明文按两个字母一组分组，如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组． 例如I am your friend添一个o，分组为：Ia my ou rf ri en d

8、o，得到 ，，，，，，． 其中9表示I在26个英文字母中的序号，1表示a在26个英文字母中的序号，依此类推，然后用一个公式，比如：⇒来进行变换． 由⇒＝， 2126＝0余21,21对应字母u,1326＝0余13,13对应字母m，即Ia变成um． 将变成x′＝213＋325＝101除以26得余数为23，即w； y′＝13＋425＝113除以26得余数为9，即i． 试按上述方法及变换公式将明文I am your friend写成密文． 解：因26的倍数除以26所得的余数为0，英文字母中没有与0对应的字母，故令与0对应的字母为z． ⇒＝，即ou不变； ⇒＝，即rf变成bp； ⇒

9、＝，即ri变成kb； ⇒＝，即en变成zi； ⇒＝，即do变成al． 故密文为umwioubpkbzial． 反思：密码学问题涉及到很多的知识，上面的例题只是一种很简单的形式，也是一类很好的映射应用问题，解决此类问题既要读懂题意，又要看准对应法则，按照题目的引例进行计算． 1下图中表示的是从集合X到集合Y的对应，其中能构成映射的是__________． 解析：图象中必须满足对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应． 答案：① 2若A＝{(x，y)|x∈Z，|x|＜2，y∈N*，x＋y＜3}，B＝{0,1,2}，从A到B的对应关系f：(x，y)→x＋y，说明f是A到B的映

10、射，并画出对应图，指出B中的元素2与A中的哪个元素对应． 分析：按照映射的定义，对于集合A中的每一元素，在集合B中都要有惟一的元素与它对应，但要注意集合A中的多个元素是可以对应于B中的同一个元素的． 解：集合A的元素共有六个，用列举法表示为{(－1,2)，(－1,3)，(－1,1)，(0,1)，(0,2)，(1,1)}．对应图如下图所示：∵集合A中的每一元素，集合B中都有惟一的元素与之对应，∴f是A到B的映射． 2与A中对应的元素有三个， 即(－1,3)、(0,2)、(1,1)． 3(1)已知集合A＝{a1，a2}，B＝{b1，b2}，试问从集合A到集合B的所有不同的映射有多少个

11、？ (2)已知集合A＝{a1，a2}，B＝{b1，b2，b3}，试问从集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？ 分析：当所给集合中的元素数目不大时，可直接用图示的方法展现所有不同的映射；若不然，可采用分析的方法解之． 解：(1)用图示的方法可以清楚地看到从A到B能建立4个不同的映射(见下图)． (2)分A中元素对应B中同一元素和A中元素对应B中不同元素两种情况考虑．A中2个元素对应B中相同元素的对应有3个，这时有3个不同的映射；A中2个元素同时对应B中2个不同的元素的对应有6个，这时有6个不同的映射．所以，集合A到集合B的所有不同的映射一共有9个． 已知集合A＝R，B＝{(x，y

12、)|x，y∈R}，f：A→B是A到B的映射，规定为：f：x→(x＋1，x2＋1)，试求在B中的对应元素及在A中的对应元素． 解：由条件知当x＝时，x＋1＝＋1，x2＋1＝3． 所以在B中的对应元素为(＋1,3)； 再由得x＝， 说明点在A中的对应元素为． 5已知集合A到集合B＝的映射是f：x→，那么集合A中的元素最多有几个？并写出元素最多时的集合A． 解：∵f是映射， ∴A中的每一个元素在B中都有惟一元素与它对应，但≠0， ∴0在集合A中不存在元素与它对应． 当＝1时，得x＝2； 当＝时，得x＝3； 当＝时，得x＝4． ∴A中元素最多只能有6个， 即A＝{－4，－3，－2,2,3,4}． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375