高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.1 函数的概念 2.1.1 函数的概念和图象1学案 苏教版必修1

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1、 2．1．1　函数的概念和图象 第1课时　函数的概念 1．体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念． 2．了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域． 函数的概念 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A． 其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域． 若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成

2、的集合称为函数的值域． 符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，也可以是图象、表格或文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一个具体数值时，相应的y值与之对应．“y＝f(x)”仅仅是函数符号，还可用“y＝g(x)”“y＝F(x)”“y＝G(x)”等来表示函数关系． 【做一做1－1】已知f(x)＝＋，则f(7)＝__________． 答案：5 【做一做1－2】求下列函数的定义域和值域． (1)y＝；(2)y＝＋3． 解：(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)， 值域：(－∞，0)∪(0，

3、＋∞)； (2)定义域：［1，＋∞)，值域：［3，＋∞)． 1．三种基本初等函数的定义域和值域 剖析：(1)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R，值域是R． (2)反比例函数f(x)＝(k≠0)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (3)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R．当a＞0时，值域是；当a＜0时，值域是． 2．如何判断两个函数是同一函数 剖析：只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：(1)定义域不同，两个函数不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的；(3)

4、即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能惟一地确定函数的对应法则．例如，函数y＝x＋1与y＝x－1，它们的定义域都是R，值域都是R，也就是说，这两个函数的定义域和值域都分别相同，但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一函数．由于值域可以由定义域和对应法则惟一确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数． 题型一 函数的概念 【例1】下列四组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的有__________． ①f(x)＝，g(x)＝()4 ②f(x)＝x，g(x)＝ ③f(x)＝1，g(x)＝1(x≠

5、0) ④f(x)＝x－1，g(x)＝|x－1| 解析：若两个函数能表示同一个函数，则必须满足：①定义域相同；②对应法则相同． 对于①，两函数的定义域不同，其中f(x)的定义域为{x|x∈R}，g(x)的定义域为{x|x≥0}；对于②，定义域、值域和对应法则都相同，所以f(x)与g(x)表示同一函数；对于③，定义域不同，其中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}；④的对应法则不同． 答案：② 反思：一般地，函数的定义域和对应法则确定，值域就随之确定，因此判断两个函数是否为同一函数，只需判断它们的定义域和对应法则是否分别相同即可． 题型二 求函数的定义域 【例2】求

6、下列函数的定义域： (1)y＝2＋； (2)y＝·； (3)y＝． 分析：给定函数时，要指明函数的定义域．对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合． 解：(1)要使函数有意义，必须满足x－2≠0成立，即x≠2，所以这个函数的定义域为{x|x∈R，且x≠2}． (2)要使函数有意义，必须满足成立，解得1≤x≤3， 所以这个函数的定义域为{x|x∈R，且1≤x≤3}． (3)要使函数有意义，必须满足成立，解得x＞－1，所以这个函数的定义域为{x|x＞－1}． 反思：一般地，求函数的定义域就是求使函数解析式有意义

7、的自变量的取值的集合： (1)解析式是整式的函数，其定义域为R； (2)解析式是分式的函数，其定义域为使分母不为零的实数的集合； (3)解析式是偶次根式的函数，其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合； (4)如果解析式是由实际问题得出的，则其定义域是同时使实际问题和解析式有意义的实数的集合； (5)求函数的定义域的步骤通常是先根据题意列不等式(组)，再解不等式(组)，而后得出结论． 题型三 求函数的值域 【例3】求下列函数的值域： (1)y＝；(2)y＝． 分析：求函数的值域没有统一的方法．如果函数的定义域是有限个值，那么就可将函数值都求出得到值域；如果函数的定义域是无数

8、个值时，则可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，如观察法、配方法、换元法等． 解：(1)(观察法)y＝＝2＋． 因为x≠3，≠0， 所以y≠2．故所求函数的值域为{y|y≠2}． (2)(逐步求解法)先分离常数，y＝＝＝1－．∵x2＋1≥1，∴0＜≤1． ∴－2≤1－＜1．∴y∈［－2,1)． 题型四 求已知函数的函数值 【例4】已知f(x)＝x2＋1，g(x)＝， (1)求f(2)和g(a)； (2)求f［g(1)］和g［f(x)］． 分析：求某个函数的某个函数值，就是将自变量用相应的代数式或数替换，然后化简即可；求f［g(a)］时，一般遵循先里后外的原则，先

9、求g(a)，然后将f(x)解析式中的x代换为g(a)，同时要注意函数的定义域． 解：(1)f(2)＝22＋1＝5，g(a)＝． (2)f［g(1)］＝＋1＝； g［f(x)］＝g(x2＋1)＝＝． 反思：要正确理解f(a)的含义．如果自变量取a，则由对应法则f确定的y的值称为函数在a处的函数值，记作f(a)；求某个函数的函数值时，还要正确理解对应法则“f”和“g”的含义． 1已知函数f(x)＝，则函数f［f(x)］的定义域是__________． 解析：由条件得：f［f(x)］＝， 从而由得之． 答案：{x|x≠－1，且x≠－2} 2设f(x)＝，又记f1(x)＝f(x)

10、，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2，…，则f2010(x)等于__________． 解析：因f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f(f1(x))＝＝－， f3(x)＝f(f2(x))＝＝， f4(x)＝f(f3(x))＝＝x， 所以它的规律是以4为周期，从而由2 010＝4×502＋2，得f2 010(x)＝f2(x)． 答案：－ 3函数y＝(x∈R)的值域是______． 解析：(方法一)由y＝，得x2＝． ∴≥0．解之，得0≤y＜1． (方法二)y＝＝1－， ∵x2＋1≥1，∴－1≤－＜0．∴0≤y＜1． 答案：［0,1) 已知P＝{x|

11、0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列对应不表示从P到Q的函数的有__________． (1)f：x→y＝x (2)f：x→y＝x (3)f：x→y＝x (4)f：x→y＝ 解析：因为当x＝4时，y＝6不在集合Q中，(3)不符合函数的定义，其他均符合． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375