高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 平均不等式素材 新人教A版选修45

《高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 平均不等式素材 新人教A版选修45》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 平均不等式素材 新人教A版选修45（3页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 平均不等式 一、引入： 1．定理1：如果，那么（当且仅当时取“=”） 证明： 指出定理适用范围： 强调取“=”的条件。 2．定理2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”） 证明：∵ ∴ 即： 当且仅当时 注意：（1）这个定理适用的范围：； （2）语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 3．定理3：如果，那么（当且仅当时取“=”） 证明：∵ ∵ ∴上式≥0 从而 指出：这里 ∵就不能保证。 推论：如果，那么。（当且仅当时取“=”） 证明： 4．算术—几何平均不等式：

2、①如果 则：叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的几何平均数； ②基本不等式： ≥（） 这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略） 语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 ③的几何解释： 以为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’^AB 则， 从而，而半径。 二、典型例题： 例1 已知为两两不相等的实数，求证：。 证：∵ 以上三式相加： ∴ 例2 设为正数，求证：。 例3 设，，，…，为正数，证明：。 例4 若，设 求证： 加权平均；算术平均；几何平均；调和平均 证：∵ ∴即：（俗称幂平均不等式） 由平均不等式 即： 综上所述： 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375