高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.2 函数的简单性质 2.2.1 函数的单调性2学案 苏教版必修1

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1、 第2课时　函数的最值 1．理解函数最值的定义，知道最值是函数定义域上的一个整体性质． 2．会求一些简单函数的最值． 3．了解函数最值与函数单调性的关系． 1．最大值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A． 若存在定值x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)恒成立，则称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)． 【做一做1】函数y＝－x2＋5的最大值为________． 答案：5 2．最小值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A． 若存在定值x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)恒成立，则称f(x0)为y＝f(x)

2、的最小值，记为ymin＝f(x0)． 【做一做2】函数y＝3x＋1，x∈［1,4］的最小值为________． 答案：4 3．函数的最大值和最小值统称为函数的最值． (1)函数的值域是指函数值的集合．函数最大(小)值一定是值域中的元素．如果值域是一个闭区间，那么函数的最大(小)值就是闭区间右(左)端点的值．(2)函数的值域和最值既有区别又有联系．一般来讲，对于图象是连续不断的函数，知道函数在定义域上的最大值和最小值，可知函数的值域，而知道了函数的值域，不一定能确定最值． 【做一做3－1】函数y＝－3x＋1，x∈［－2,3］时的值域是__________． 解析：当x∈［－2,3

3、］时，ymax＝－3×(－2)＋1＝7，ymin＝－3×3＋1＝－8． 答案：［－8,7］ 【做一做3－2】函数y＝－x2－4x＋1，x∈［－3,3］的值域是__________． 解析：y＝－(x＋2)2＋5，当x＝－2时，y有最大值5；当x＝3时，y有最小值－20． 答案：［－20,5］ 求函数最值的三种方法 剖析：(1)作出函数的图象，从图象直接观察可得最值； (2)求出函数的值域，其边界值即为最值，此时要注意边界值能否取到(即是否存在)的问题； (3)由函数的单调性求最值． ①最大值：已知函数y＝f(x)的定义域是［a，b］，a＜c＜b，当x∈

4、［a，c］时，f(x)是单调增函数；当x∈［c，b］时，f(x)是单调减函数，则f(x)在x＝c时取得最大值． ②最小值：已知函数y＝f(x)的定义域是［a，b］，a＜c＜b，当x∈［a，c］时，f(x)是单调减函数；当x∈［c，b］时，f(x)是单调增函数，则f(x)在x＝c时取得最小值． 题型一 函数的最值 【例1】已知一次函数y＝kx＋b，当x∈［－1,3］时，ymax＝5，ymin＝－3．试求函数解析式． 解：若k＞0， 则由条件得 解得y＝2x－1． 若k＜0， 则由条件得 解得y＝－2x＋3． 反思：因一次函数y＝kx＋b的单调性由k来确定，所以当x∈［m

5、，n］时，y的最值应根据k来确定，若k＞0，则y∈［km＋b，kn＋b］；若k＜0，则y∈［kn＋b，km＋b］． 【例2】已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈［－1,1］，求函数f(x)的最小值． 解：函数f(x)的对称轴为x＝a，且开口向上，如图， 当a＞1时，f(x)在［－1,1］上单调递减，故f(x)min＝f(1)＝3－2a； 当－1≤a≤1时，f(x)在［－1,1］上先减后增，故f(x)min＝f(a)＝2－a2； 当a＜－1时，f(x)在［－1,1］上单调递增，故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a． 综上，可知f(x)的最小值为f(x)min＝ 反思：求二

6、次函数在闭区间上的最值的方法：一看开口方向；二看对称轴与区间的相对位置，简称“两看法”．只需作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合法就可以得到问题的解． 运用这个方法，同样可以解决对称轴确定而区间变化的问题，甚至开口方向、对称轴、区间同时都在变化的问题． 题型二 含参不等式恒成立问题 【例3】已知函数f(x)＝，x∈［1，＋∞)， (1)当a＝时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意x∈［1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围． 分析：问题(1)中，由a＝可确定函数解析式，由函数的单调性可确定最值；问题(2)为恒成立问题，常结合函数性质，合理构建． 解：(1

7、)当a＝时，f(x)＝x＋＋2， 设x1，x2是［1，＋∞)上的任意两个值，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)， 2x1x2＞2,0＜＜，所以1－＞0． 又x2－x1＞0，所以f(x2)－f(x1)＞0， 则f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在区间［1，＋∞)上为增函数，则f(x)在区间［1，＋∞)上的最小值为f(1)＝． (2)方法一：在区间［1，＋∞)上， f(x)＝＞0恒成立， 即x2＋2x＋a＞0恒成立． 设y＝x2＋2x＋a，x∈［1，＋∞)． 则y＝(x＋1)2＋a－1在区间［1，＋∞)上递增， 所以当x＝1时，ymin＝3＋a． 于是当且

8、仅当ymin＝3＋a＞0时， 函数f(x)＞0恒成立，故a＞－3． 方法二：f(x)＝x＋＋2，x∈［1，＋∞)， 当a≥0时，函数f(x)的值恒为正， 当a＜0时，函数f(x)递增， 故当x＝1时，f(x)min＝3＋a，于是当且仅当f(x)min＝3＋a＞0时，函数f(x)＞0恒成立，故a＞－3． 反思：求函数的最值，先求函数的定义域．函数的最值及值域经常与函数的单调性联系在一起，所以有时先求函数单调性再根据单调性求函数最值． 不等式f(x)≥a恒成立的条件是f(x)min≥a，f(x)≤a恒成立的条件是f(x)max≤a． 题型三 最值的应用 【例4】某工厂拟建造一座

9、平面图如图所示为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米．如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且无池盖)．求污水处理池的长和宽各为多少米时，总造价最低？并求出最低总造价． 解：设污水处理池的长为x米，0＜x≤16， 则宽为米，0＜≤16． 根据题意，总造价为y＝400×2×＋248×2×＋80×200＝800×＋16 000． 由得定义域为［12．5,16］． ∵函数y＝800×＋16 0

10、00在［12．5,16］上是单调减函数，∴当x＝16时，y取最小值为45 000． 故当污水处理池的长为16米，宽为12．5米时，总造价最低，最低总造价为45 000元． 反思：在利用函数的单调性处理有关实际问题的最值时，一定要注意函数的定义域要使实际问题有意义． 1函数f(x)＝3x＋a，x∈［－1,2］的最大值与最小值的差为__________． 解析：由题意知f(x)为增函数，最大值与最小值的差为f(2)－f(－1)＝3×2＋a－3×(－1)－a＝9． 答案：9 2函数f(x)＝的值域是__________． 解析：因为1－x(1－x)＝x2－x＋1

11、＝＋≥，从而f(x)max＝． 又f(x)＞0，所以f(x)的值域是． 答案： 3以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开(如图)，已知篱笆总长为定值L，写出场地面积y为一边长x的函数， 并求出函数的定义域及面积的最大值． 解：根据题意，可得y＝(L－3x)x， 由题意知解得0＜x＜． ∴函数y＝(L－3x)x的定义域为． ∵y＝(L－3x)x＝－3x2＋Lx ＝－3＋． ∴当x＝时，ymax＝． 4若不等式|x－2|＋|x＋3|≥a恒成立，求实数a的取值范围． 解：由f(x)＝|x－2|＋|x＋3| ＝ 得其图象如图所示， 所以f(x)

12、min＝5，从而a∈(－∞，5］． 5已知f(x)＝x2－4x＋3，求函数在区间［t，t＋2］上的最值． 解：f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，作出如图所示的图象， 图象的对称轴为x＝2． ①当t＋2＜2，即t＜0时，f(x)在区间［t，t＋2］上单调递减， 所以f(x)max＝f(t)＝t2－4t＋3， f(x)min＝f(t＋2)＝t2－1； ②当2≤t＋2＜3，即0≤t＜1时， f(x)max＝f(t)＝t2－4t＋3，f(x)min＝f(2)＝－1． ③当3≤t＋2＜4，即1≤t＜2时， 同上可知f(x)min＝f(2)＝－1， f(x)max＝f(t＋2)＝t2－1． ④当t＋2≥4，即t≥2时，f(x)在区间［t，t＋2］上单调递增，所以f(x)min＝f(t)＝t2－4t＋3， f(x)max＝f(t＋2)＝t2－1． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375