高中数学人教A版必修五 第二章 数列 学业分层测评12 含答案

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1、起 学业分层测评（十二） (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．2＋与2－的等比中项是(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．2 【解析】　2＋与2－的等比中项为G＝±＝±1，故选C. 【答案】　C 2．在等比数列{an}中，a2 016＝8a2 015，则公比q的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 【解析】　因为a2 016＝8a2 015， 所以a1q2 015＝8a1·q2 014， 解得q＝8. 【答案】　D 3．已知一等比数列的前三项依次为x,2x＋2,3x＋3，那么－13是此数

2、列的(　　) A．第2项 B．第4项 C．第6项 D．第8项 【解析】　由x,2x＋2,3x＋3成等比数列， 可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x＝－4， ∴该数列是首项为－4，公比为的等比数列，其通项an＝－4n－1，由－4n－1＝－13，得n＝4. 【答案】　B 4．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是(b，c)，则ad等于(　　) A．3 B．2 C．1 D．－2 【解析】　由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 得b＝1，c＝2. 又a，b，c，d成等

3、比数列，即a,1,2，d成等比数列， 所以d＝4，a＝，故ad＝4×＝2. 【答案】　B 5．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　) A．21 B．42 C．63 D．84 【解析】　∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21， ∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去)． ∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B. 【答案】　B 二、填空题 6．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝

4、 . 【解析】　设等比数列{an}的公比为q，由已知条件得a＝4·aq4. ∴q4＝，q2＝， ∴a3＝a1q2＝2×＝1. 【答案】　1 7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝ . 【解析】　由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2. 所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3. 【答案】　3×2n－3 8．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5＝ . 【解析】　由已知

5、a1＋a2＝1，a3＋a4＝9， ∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍)， ∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27. 【答案】　27 三、解答题 9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝. (1)求数列{an}的通项公式； (2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？ 【解】　(1)因为2an＝3an＋1， 所以＝，数列{an}是公比为的等比数列，又a2·a5＝， 所以a5＝3，由于各项均为负， 故a1＝－，an＝－n－2. (2)设an＝－，则－＝－n－2，n－2＝4，n＝6，所以－是该数列的项，为第6项． 10．数列{a

6、n}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1，an＋2＝，bn＝an＋1－an. (1)求证：{bn}是等比数列； (2)求{bn}的通项公式． 【解】　(1)证明：∵2an＋2＝an＋an＋1， ∴＝＝＝－. ∴{bn}是等比数列． (2)∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－， ∴bn＝1×n－1＝n－1. [能力提升] 1．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于(　　) A.＋1 B．3＋2 C．3－2 D．2－3 【解析】　设等比数列{an}的公比为q， 由于a1，a3,2a2成等差数列， 则2＝a1＋2a2，即

7、a3＝a1＋2a2， 所以a1q2＝a1＋2a1q. 由于a1≠0， 所以q2＝1＋2q，解得 q＝1±. 又等比数列{an}中各项都是正数， 所以q>0，所以q＝1＋. 所以＝＝＝＝3－2. 【答案】　3－2 2．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　) A．2 B．1 C. D． 【解析】　法一　∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)， ∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8， ∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故选C. 法二　∵a3a

8、5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)， 将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0， 解得q＝2， ∴a2＝a1q＝，故选C. 【答案】　C 3．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝ ，d＝ . 【解析】　∵a2，a3，a7成等比数列，∴a＝a2a7， ∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.① 又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.② 由①②解得a1＝，d＝－1. 【答案】　　－1 4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)求证：数列{an＋1}是等比数列； (2)求an的表达式. 【导学号：05920070】 【解】　(1)证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)． 由a1＝1，故a1＋1≠0， 由上式易知an＋1≠0，∴＝2. ∴{an＋1}是等比数列． (2)由(1)可知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列， ∴an＋1＝2·2n－1，即an＝2n－1.