一轮优化探究理数苏教版练习：第十章 第三节　合情推理与演绎推理 Word版含解析

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1、 高考数学精品复习资料 2019.5 一、填空题 1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”； ③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”； ④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；

2、 ⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“＝”类比得到“＝”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________． 解析：只有①②正确，其余错误． 答案：2 2．请阅读下列材料： 若两个正实数a1，a2满足a＋a＝1，那么a1＋a2≤. 证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤. 根据上述证明方法，若n个正实数满足a＋a＋…＋a＝1时，你能得到的结论为_

3、_______．(不必证明) 解析：设g(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1， ∵g(x)≥0对x∈R恒成立， ∴Δ＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0， ∴a1＋a2＋…＋an≤. 答案：a1＋a2＋…＋an≤ 3．如图，第(1)个多边形是由正三角形“扩展”而来，第(2)个多边形是由正四边形“扩展”而来，……如此类推．设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为an，则a6＝________；＋＋＋…＋＝________. 解析：an＝n(n＋1)，∴a6＝6×7＝42. ＋＋…＋＝＋＋…＋ ＝－

4、＋－＋…＋－＝－＝. 答案：42　 4．对于等差数列{an}，有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)at＝(t－1)as”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题：“________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________.” 答案：若{bn}是等比数列，b1＝1，s，t是互不相等的正整数，则有b

5、＝b 5．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 ＝＋，＝＋，＝＋，…，则第7行第4个数(从左往右数)为________． 解析：由“第n行有n个数且两端的数均为”可知，第7行第1个数为，由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为－＝，同理易知，第7行第3个数为－＝，第7行第4个数为－＝. 答案： 6．观察下列等式： 32＋42＝52， 102＋112＋122＝132＋142， 212＋222＋232＋242＝252＋262＋272， 362＋

6、372＋382＋392＋402＝412＋422＋432＋442， …… 由此得到第n(n∈N*)个等式为________． 解析：由归纳推理直接写出即可． 答案：(2n2＋n)2＋(2n2＋n＋1)2＋…＋(2n2＋n＋n)2＝(2n2＋2n＋1)2＋(2n2＋2n＋2)2＋…＋(2n2＋2n＋n)2 7．两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(α＋)＋sin(α＋)＝0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为________． 解析：类比推理可知，四点等分单位圆时，α与α＋π的终边互为反向延

7、长线，α＋与α＋的终边互为反向延长线，如图． 答案：sin α＋sin(α＋)＋sin(α＋π)＋sin(α＋)＝0 8．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则＝________. 解析：由题知，O为正四面体的外接球、内切球球心，设正四面体的高为h，由等体积法可求内切球半径为h，外接球半径为h，所以＝3. 答案：3 9.正方形ABCD的边长是a，依次连结正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再

8、依次连结新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是________． 解析：由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a＝(a)2＝a2，第二段长度的平方为a＝(a)2＝a2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a＝a2为首项，为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S10＝＝a2. 答案：a2 二、解答题 10．通过观察下列等式，猜想出一个一般性结论，并证明结论的真假． sin

9、230°＋sin290°＋sin2150°＝； sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝； sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝； sin215°＋sin275°＋sin2135°＝. 解析：猜想：sin2(α－)＋sin2α＋sin2(α＋)＝. 证明：∵左＝(sin αcos－cos αsin)2＋sin2α＋(sin αcos＋cos αsin)2 ＝(sin2α＋cos2α)＝＝右，∴待证式成立． 11．圆x2＋y2＝R2(R

10、>0)上任一点P(不在x轴上)，与圆上两点A(－R,0)，B(R,0)的连线PA， PB的斜率kPA，kPB有下面的等式成立：kPAkPB＝－1，类比这个命题，写出椭圆＋＝1(a>b>0)中对应的命题，并加以证明． 解析：命题：对椭圆＋＝1(a>b>0)上任一点P(不在x轴上)，与椭圆上两点A(－a,0)，B(a,0)的连线PA，PB的斜率kPA，kPB有下面的等式成立：kPAkPB＝－. 证明：设P(x，y)，则有＋＝1，kPA＝，kPB＝，∴kPAkPB＝＝(1－)＝－. 12．小朋用第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”摆出如图(1)、(2)、(3)、

11、(4)这四个图案，现按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”． (1)试写出f(5)、f(6)的值； (2)归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并求出f(n)的表达式； (3)求证：＋＋＋…＋<. 解析：(1)f(5)＝1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41， f(6)＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝61. (2)因为f(2)－f(1)＝3＋1＝4，f(3)－f(2)＝5＋3＝8， f(4)－f(3)＝7＋5＝12，…，归纳得f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，则f(n＋1)－f(n)＝4n. f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1) ＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝2n2－2n＋1. (3)证明：当k≥2时，＝<＝(－)．则＋＋＋…＋<1＋·[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝1＋(1－)<1＋＝.