高一数学人教A版必修3课时作业：10 最小二乘估计 含解析

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1、 人教版高中数学必修精品教学资料 课时作业10　最小二乘估计 (限时：10分钟) 1．变量y与x之间的线性回归方程(　　) A．表示y与x之间的函数关系 B．表示y与x之间的不确定性关系 C．反映y与x之间真实关系的形式 D．反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合 解析：由回归方程的求解过程及意义可知D正确． 答案：D 2．设有一个回归方程y＝3－5x,变量x增加一个单位时(　　) A．y平均增加3个单位 B．y平均减少5个单位 C．y平均增加5个单位 D．y平均减少3个单位 解析：由回归方程中x的系数－5可知．x增加一个单位时,y平均减少5个单位． 答案

2、：B 3．已知x与y之间的一组数据如下表： x 0 1 2 3 y 1 2 4 6 则y与x的线性回归方程y＝bx＋a,必过点(　　) A．(2,3)　　　 B．(1.5,3) C．(1.5,3.25) D．(2,3.25) 解析：＝＝1.5,＝＝3.25,回归直线必过点(,)． 答案：C 4．已知变量x,y具有线性相关关系,在某次试验中测得(x,y)的4组值为(0,2),(3,3),(－3,0),(6,5),求y与x之间的回归方程． 解析：＝＝1.5,＝＝2.5, x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＝02＋33＋(－3)0＋65＝39, x＋x

3、＋x＋x＝02＋32＋(－3)2＋62＝54, ∴b＝＝,a＝－b＝2.5－1.5＝1.7, ∴回归方程为y＝x＋. (限时：30分钟) 1．利用最小二乘法估计回归直线方程中系数a,b时,使函数Q(a,b)取最小值,其中函数Q(a,b)等于(　　) A.xiyi B. (xi－)2 C.y D. (yi－bxi－a)2 解析：根据求回归直线方程中系数a、b的过程可知Q(a,b)＝ (yi－bxi－a)2. 答案：D 2．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i＝1,2,…,n),用最小二乘法建立的回

4、归方程为＝0.85x－85.71,则下列结论中不正确的是(　　) A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(,) C．若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg 解析：由于线性回归方程中x的系数为0.85,因此y与x具有正的线性相关关系,故A正确．又线性回归方程必过样本中心点(,),因此B正确．由线性回归方程中系数的意义知,x每增加1 cm,其体重约增加0.85 kg,故C正确．当某女生的身高为170 cm时,其体重估计值是58.79 kg,而不是具体值,因此D不正确． 答

5、案：D 3．若在一次试验中,测得(x,y)的四组数值分别是A(1,3),B(2,3.8),C(3,5.2),D(4,6)．则y与x之间的回归直线方程是(　　) A．y＝x＋1.9 B．y＝1.04x＋1.9 C．y＝0.95x＋1.04 D．y＝1.05x－0.9 解析：＝＝2.5,＝＝4.5,将(2.5,4.5)代入选项验证得B正确． 答案：B 4．为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x(cm) 174 176 176 176 178 儿子身高y(cm) 175 175 176 177 177 则y对

6、x的线性回归方程为(　　) A．y＝x－1 B．y＝x＋1 C．y＝88＋x D．y＝176 解析：由题意得：＝＝176, ＝＝176, 由于(,)一定满足线性回归方程,经验证知C正确． 答案：C 5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x(万元) 4 2 3 5 销售额y(万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　) A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元 解析：＝＝3.5,＝＝42,又y＝bx＋a,必过(

7、,)． ∴回归方程为y＝9.4x＋9.1, ∴当x＝6时,y＝9.46＋9.1＝65.5(万元)． 答案：B 6．期中考试后,某班对50名学生的成绩进行分析,得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为y＝6＋0.4x,由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分,则他们的数学成绩相差__________分． 解析：y1－y2＝0.4(x2－x1),故x2－x1＝50时,y1－y2＝20. 答案：20 7．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系： 时间x 1 2 3 4

8、5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为__________；用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为__________． 解析：设这5天的平均投篮命中率为P, 则P＝(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5, 由题可求得：b＝0.01,a＝0.47, ∴线性回归方程为y＝0.01x＋0.47, 当x＝6时,y＝0.016＋0.47＝0.53. 答案：0.5　0.53 8．某单位为了解用电量y千瓦时与汽温x ℃之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表： 气温(℃)

9、 18 13 10 －1 用电量(千瓦时) 24 34 38 64 由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b＝－2,预测当气温为－4 ℃时,用电量约为__________千瓦时． 解析：＝＝10,＝＝40, 则a＝－b＝40＋210＝60,则y＝－2x＋60, 则当x＝－4时,y＝－2(－4)＋60＝68. 答案：68 9．假若某公司的广告费支出x(百万元)与销售额y(百万元)之间有如下数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)如果已知y与x之间具有线性相关关系,求回归方程． (2)若实际销售额不少于60百万

10、元,则广告费支出应不少于多少？ 解析：(1)＝5,＝50,x＝145,xiyi＝1 380, 故b＝＝＝6.5,a＝－b＝50－6.55＝17.5. 故所求的回归方程为y＝6.5x＋17.5. (2)令y≥60,即6.5x＋17.5≥60,x≥6.54,故广告费支出不应少于6.54百万元． 10．在某种产品表面进行腐蚀深度实验,得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如下表： x(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 y(μm) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 (

11、1)画出表中数据的散点图,由散点图判断y与x是否具有线性相关关系？ (2)若y与x具有线性相关关系,求回归直线方程． 解析：(1)散点图如图所示： 由图知,y与x具有线性相关关系． (2)先把数据列成表. i xi yi x xiyi 1 5 6 25 30 2 10 10 100 100 3 15 10 225 150 4 20 13 400 260 5 30 16 900 480 6 40 17 1 600 680 7 50 19 1 500 950 8 60 23 3 600 1 380

12、 9 70 25 4 900 1 750 10 90 29 8 100 2 610 11 120 46 14 400 5 520 合计 510 214 36 750 13 190 由上表可得＝,＝代入公式得 b＝≈0.304,a＝－0.304＝5.36. 即所求的回归直线方程为y＝0.304x＋5.36. 11．假设关于某设备使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 (1)请画出上表数据的散点图,判断它们是否具有线性相关关系；若线性相关,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程． (2)试根据(1)求出的线性回归方程,预测使用年限为10年时,维修费用是多少？ 解析：(1)散点图如图所示： 由散点图可知,两变量之间具有相关关系,且为线性相关关系． 下面用最小二乘法求线性回归方程： 设所求回归方程为：y＝bx＋a,则由题中数据可得 b＝＝＝＝1.23, a＝－b＝5－1.234＝0.08. 所以线性回归方程为y＝1.23x＋0.08. (2)把x＝10代入(1)中所求得的线性回归方程为： y＝1.2310＋0.08＝12.38, 即使用年限为10年时,维修费用约是12.38万元．