与名师对话高三数学文一轮复习课时跟踪训练：第三章 导数及其应用 课时跟踪训练15 Word版含解析

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1、 高考数学精品复习资料 2019.5 课时跟踪训练(十五) [基础巩固] 一、选择题 1．已知函数f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是(　　) [解析]　设g(x)＝f′(x)＝2x－2sinx，g′(x)＝2－2cosx≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增． [答案]　A 2．若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，－2) C．(－2，－1) D．(－2,0) [解析]　设幂函数

2、f(x)＝xα，因为图象过点，所以＝α，α＝2，所以f(x)＝x2，故g(x)＝exx2，令g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)<0，得－2<x<0，故函数g(x)的单调递减区间为(－2,0)． [答案]　D 3.如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数f(x)在区间(－3,2)上是减函数 C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数f(x)在区间(－3,2)上是单调函数 [解析]　由图可知，当－3<x<0时，f′(x)<0，所

3、以f(x)在(－3,0)上是减函数．故选A. [答案]　A 4．函数f(x)＝2lnx－ax(a>0)的单调递增区间为(　　) A. B． C. D．(－∞，a) [解析]　由f′(x)＝－a>0，得0<x<.∴f(x)的单调递增区间为.故选A. [答案]　A 5．(20xx·江西临川一中期中)若函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(0，＋∞) [解析]　由题意知x>0，f′(x)＝1＋.要使函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则需方程1＋

4、＝0在x>0上有解，所以a<0. [答案]　C 6．(20xx·湖北襄阳模拟)函数f(x)的定义域为R.f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) [解析]　由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0.设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2.因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝

5、0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1，选B. [答案]　B 二、填空题 7．函数f(x)＝x2－ax－3在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________． [解析]　f′(x)＝2x－a， ∵f(x)在(1，＋∞)上是增函数， ∴2x－a≥0在(1，＋∞)上恒成立． 即a≤2x，∴a≤2. [答案]　(－∞，2] 8．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导数f′(x)<，则不等式f(x2)<＋的解集为________． [解析]　设F(x)＝f(x)－x， ∴F′(x)＝

6、f′(x)－，∵f′(x)<， ∴F′(x)＝f′(x)－<0， 即函数F(x)在R上单调递减． ∵f(x2)<＋，∴f(x2)－<f(1)－， ∴F(x2)<F(1)， 而函数F(x)在R上单调递减，∴x2>1， 即x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [答案]　(－∞，－1)∪(1，＋∞) 9．已知函数f(x)＝ax－x3，若对区间(0,1)上的任意x1，x2，且x1<x2，都有f(x2)－f(x1)>x2－x1成立，则实数a的取值范围是________． [解析]　问题等价于函数g(x)＝f(x)－x在区间(0,1)上为增函

7、数，即g′(x)＝a－1－3x2≥0，即a≥1＋3x2在(0,1)上恒成立，即a≥4，所以实数a的取值范围是[4，＋∞)． [答案]　[4，＋∞) 三、解答题 10．已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x. (1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间． [解]　(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝. (2)由(1)知f(x)＝＋－lnx－，则f′(x)＝. 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5. 因为x＝－1

8、不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x∈(0,5)时，f′(x)<0， 故f(x)在(0,5)内为减函数； 当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0， 故f(x)在(5，＋∞)内为增函数． 综上，f(x)的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)． [能力提升] 11．已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为(　　) A．f>f(1)>f B．f(1)>f>f C．f>f(1)>f D．f>f>f(1) [解析]　由f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsinx＝f(

9、x)，知f(x)是偶函数． f′(x)＝sinx＋xcosx，当0<x<时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，)上为增函数．又0<<1<<，所以f<f(1)<f.因为f＝f， 所以f>f(1)>f.故选A. [答案]　A 12．(20xx·湖北华北师大附中模拟)若f(x)＝ex＋ae－x为偶函数，则f(x－1)<的解集为(　　) A．(2，＋∞) B．(0,2) C．(－∞，2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞) [解析]　由f(x)＝ex＋ae－x为偶函数，得f(x)－f(－x)＝(1－a)(ex

10、－e－x)＝0恒成立，所以a＝1，即f(x)＝ex＋e－x，则f′(x)＝ex－e－x.当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且图象关于y轴对称．由f(x－1)<＝f(1)得|x－1|<1，解得0<x<2，即f(x－1)<的解集为(0,2)，故选B. [答案]　B 13．(20xx·福建福州质检)已知函数f(x)＝alnx＋x2＋(a－6)x在(0,3)上不是单调函数，则实数a的取值范围是________． [解析]　f′(x)＝＋2x＋a

11、－6＝(x>0)． 设g(x)＝2x2＋(a－6)x＋a(x>0)， 因为函数f(x)在(0,3)上不是单调函数， 等价于函数g(x)＝2x2＋(a－6)x＋a(x>0)在(0,3)上不会恒大于零或恒小于零． 又g(0)＝a，g(3)＝4a，所以 解得0<a<2， 所以实数a的取值范围为(0,2)． [答案]　(0,2) 14．(20xx·山东卷)若函数exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________． ①f(x)＝2－x

12、；②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3；④f(x)＝x2＋2. [解析]　①因为f(x)＝2－x的定义域为R，又exf(x)＝ex·2－x＝x在R上单调递增，故f(x)＝2－x具有M性质． ②因为f(x)＝3－x的定义域为R，又exf(x)＝ex·3－x＝x在R上单调递减，故f(x)＝3－x不具有M性质． ③因为f(x)＝x3的定义域为R，又exf(x)＝ex·x3，构造函数g(x)＝ex·x3，则g′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝x2ex(x＋3)，当x>－3时，g′(x)>0，当x<－3时，g′(x)&

13、lt;0，所以exf(x)＝ex·x3在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，故f(x)＝x3不具有M性质． ④因为f(x)＝x2＋2的定义域为R，又exf(x)＝ex(x2＋2)，构造函数h(x)＝ex(x2＋2)，则h′(x)＝ex(x2＋2)＋ex·2x＝ex[(x＋1)2＋1]>0，所以exf(x)＝ex(x2＋2)在R上单调递增，故f(x)＝x2＋2具有M性质．故填①④. [答案]　①④ 15．(20xx·全国卷Ⅱ改编)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)在(2，＋∞)上

14、为单调函数，求实数a的取值范围． [解]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减． ∴综上当a≤0时f(x)在(0，＋∞)单调递增． 当a>0时f(x)在单调递增，在单调递减． (2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合要求；当a>0时，f(x)在上单调递减，则2≥，即a≥.∴实数a的取值范围是(－∞，0]∪. 16．(20xx·全国

15、卷Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.讨论f(x)的单调性． [解]　f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)． (ⅰ)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． (ⅱ)设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)． ①若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增． ②若a>－，则ln(－2a)<1，故当x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f

16、′(x)>0；当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a)，1)上单调递减． ③若a<－，则ln(－2a)>1，故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a))上单调递减． [延伸拓展] 　已知函数f(x)＝－2x2＋lnx(a>0)．若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，则a的取值范围是________． [解析]　f′(x)＝－4x＋，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0在[1,2]上恒成立即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．令h(x)＝4x－，则h(x)在[1,2]上单调递增，所以≥h(2)或≤h(1)，即≥或≤3，又a>0，所以0<a≤或a≥1. [答案]　∪[1，＋∞)