高一数学人教A版必修3：第2章 算法初步 达标检测 含解析

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1、 人教版高中数学必修精品教学资料 第三章　学业水平达标检测 时间：120分钟　满分：150分 　　　　　　　　　　 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．下列说法正确的是(　　) A．如果一事件发生的概率为一百万分之一,说明此事件不可能发生 B．如果一事件发生的概率为,那么在10次试验中,该事件发生了3次 C．如果某奖券的中奖率是10%,则购买一张奖券中奖的可能性是10% D．如果一事件发生的概率为99.999 999 9%,说明此事件必然发生 解析：某一事件发生的概率很小或很大,都还说明此事

2、件是随机事件,概率描述刻画了该事件发生可能性大小,所以A,D均不正确,B不正确,C正确,故选C. 答案：C 2．从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2个球,下列情况是互斥而不对立的两个事件是(　　) A．至少有一个红球,至少有一个白球 B．恰有一个红球,都是白球 C．至少有一个红球,都是白球 D．至多有一个红球,都是红球 解析：A中,“至少有一个红球”可能为一红一白,“至少有一个白球”,可能为一白一红,两事件可能同时发生,故不是互斥事件．B中“恰有一个红球”,则另一个必是白球,与“都是白球”是互斥事件,而任选两球还有两球都是红球的情况,故不是对立事件．C为对立事件,D为对立事件．

3、 答案：B 3．取一个正方形及其外接圆,随机向圆内抛一颗豆子,则豆子落在正方形外的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：设圆的半径为a,则S圆＝πa2,S正方形＝(a)2＝2a2, 故豆子落在正方形外的概率为＝. 答案：B 4．如图所示,在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：作PE⊥BC,AD⊥BC,垂足分别为E,D.当△PBC的面积刚好等于时,PE＝AD,要想S△PBC>S,则PB>AB,故概率为P＝＝. 答案：C 5．设a是甲抛掷一枚骰子得到的点数,则方程x2＋ax＋2＝0

4、有两个不相等的实数根的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：若方程有实根,则a2－8>0.a的所有取值情况共6种,满足a2－8>0的有4种情况,故P＝＝. 答案：A 6．在一个袋子中装有分别标注着数字1,2,3,4,5,6的六个小球,这些小球除标注的数字外,完全相同．现从中随机地一次取出两个小球,则取出的小球标注的数字之和为5或6的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：用(x,y)表示取出两球上标注的数字,则所有的基本事件是：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5)

5、,(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共有15个．数字之和为5或6包含的基本事件有：(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),共有4个．则所求概率为. 答案：C 7．在三棱锥的六条棱中任意选择两条,则这两条棱是一对异面直线的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：在三棱锥的六条棱中任意选择两条直线共有15种情况,其中异面的情况有3种,则两条棱异面的概率为P＝＝. 答案：C 8．某游人上山游玩,从前山上山的道路有3条,从后山下山的道路有2条,其中有一条路最近,若该游人从上山到下山随意选择道路,那么所走路程最短的概率为(　　) A. B. C. D.

6、 解析：设上山的路分别为A1,A2,A3.下山的路分别为B1,B2,则可能的走法有A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2共6种,且每一种走法发生的可能性是相同的,而其中只有一条路最近,所以游人所走路程最短的概率为. 答案：B 9．甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4},若|a－b|≤1,则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：总的基本事件的个数为44＝16,甲乙“心有灵犀”包含的基本事件为(1

7、,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),共10个,其中前一个数字是甲在心中任想的一个数字,后一个数字是乙猜的数字,所以,甲乙“心有灵犀”的概率为：＝. 答案：B 10．甲、乙两人玩猜数字,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a－b|≤1.就称甲乙“心有灵犀”,现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：由于a,b∈{1,2,3,4,5,6},则满足要求的事件可能的结果有：(1,

8、1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16种．而依题意得基本事件的总数有36种,故P＝＝. 答案：D 11．从装有4粒相同的玻璃球的瓶中,随意倒出若干粒玻璃球(至少1粒),记倒出奇数粒玻璃球的概率为P1,倒出偶数粒玻璃球的概率为P2,则(　　) A．P1＜P2 B．P1＞P2 C．P1＝P2 D．P1,P2大小不确定 解析：我们将4粒玻璃球编号为1、2、3、4号,倒出1粒有4种情况,倒出2粒有6种情况,倒出3粒有4种情况,倒出4粒有

9、1种情况,我们可认为基本事件总数为4＋6＋4＋1＝15,则倒出奇数粒玻璃球的概率为,倒出偶数粒玻璃球的概率为. 答案：B 12．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：由题意,从五位大学毕业生中录用三人,所有不同的可能结果有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10种,其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙,丁,戊)这1种,故其对立事件“甲或乙被

10、录用”的可能结果有9种,所求概率P＝. 答案：D 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分． 13．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点p的坐标,则点p落在圆x2＋y2＝25外的概率是__________． 解析：易知p(x,y)共有36种,其中p落在x2＋y2＝25外的有(1,5),(5,1),(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(3,6),(6,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,4),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)共有21种, ∴P＝＝. 答案： 14．在正方

11、形ABCD内任取一点P,则使∠APB<90的概率是__________． 解析：如图所示,以AB为直径作半圆,当点P落在上时,∠APB＝90,所以使∠APB<90的点落在图中的阴影部分．设正方形的边长为1,“在正方形ABCD内任取一点P,则使∠APB<90”为事件A,则μΩ＝1,μA＝1－π2＝1－, ∴P(A)＝1－. 答案：1－ 15．先后2次抛掷一枚骰子,所得点数分别为x,y,则是整数的概率是__________． 解析：先后两次抛掷一枚骰子,得到的点数分别为x,y的情况一共有36种,其中是整数的情况有(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(4,1),

12、(4,2),(4,4),(5,1),(5,5),(6,1),(6,2),(6,3),(6,6)共14种．故是整数的概率为. 答案： 16．设集合A＝{1,2},B＝{1,2,3},分别从集合A和B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5,n∈N),若事件Cn的概率最大,则n的所有可能值为__________． 解析：点P的所有可能值为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),点P(a,b)落在直线x＋y＝n上(2≤n≤5,n∈N),且事件Cn的概率最大,当n＝3时,P点可能是(1,2

13、),(2,1)．当n＝4时,P点可能为(1,3),(2,2),即事件C3,C4的概率最大,故n＝3或4. 答案：3或4 三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 甲盒中有一个红色球,两个白色球,这3个球除颜色外完全相同,有放回地连续抽取2次,每次从中任意地取出1个球,计算下列事件的概率． (1)取出的2个球都是白球； (2)取出的2个球中至少有一个白球． 解析：设红色球为A,白色球为B、C.如图．有放回地连续抽取2次共有9种情形． (1)其中取出的2个球都是白球有4种．∴“取出的2个球都是白球”的概率为P＝；

14、 (2)“取出的2个球中至少有一个白球”的对立事件是“取出的2个球均为红球”仅有一种． ∴P＝1－＝. 18．(本小题满分12分) 某学校成立三个社团,共60人参加,A社团有39人,B社团有33人,C社团有32人．同时只参加A、B社团的有10人,同时只参加A、C社团的有11人,三个社团都参加的有8人,随机选取一个成员．求： (1)他至少参加两个社团的概率为多少？ (2)他参加不超过两个社团的概率是多少？ 解析：解题时需先求出同时只参加B、C社团的人数和单独参加一个社团的人数,然后弄清每个要求的事件中包含哪些基本事件,注意“至少”和“不超过”的理解,画出Venn图可得参加各社团

15、的情况如图所示,用M表示“他至少参加两个社团”,用N表示“他参加不超过两个社团”,则有： 方法一：(1)“他至少参加两个社团”的概率为： P(M)＝＝. (2)“他参加不超过两个社团”的概率为： P(N)＝＝. 方法二：从对立事件的角度考虑． (1)“他至少参加两个社团”的对立事件为“他只参加一个社团”,则P(M)＝1－＝. (2)“他参加不超过两个社团”的对立事件为“他参加三个社团”,则P(N)＝1－＝. 19．(本小题满分12分) 盒中装有标有数字1,2,3,4的卡片各2张,从盒中任意取3张,每张卡片被抽出的可能性都相等,求： (1)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率

16、； (2)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率； (3)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率． 解析：(1)记“抽出的3张卡片上最大的数字是4”为事件A,由题意得试验的结果为2个(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,2,2),(1,3,3),(1,4,4),(2,2,3),(2,2,4),(2,3,3),(2,4,4),(3,3,4),(3,4,4)；8个(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4), 所以结果总数为212＋84＝56,而事件A所包含的结果数为36,P(A)＝＝. (2)记“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件为B,则P(B

17、)＝＝. (3)记“抽出的3张卡片上的数字互不相同”为事件C,“抽出的3张卡片上的两个数字相同”的事件记为D,由题意,事件C与事件D是对立事件, 因为P(D)＝＝＝, 所以P(C)＝1－＝. 20．某小组共有 A,B,C,D,E五位同学,他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示： A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率； (2)从该小组同学中

18、任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率． 解析：(1)从身高低于1.80的同学中任取2人,其一切可能的结果组成的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个． 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的． 选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A,B),(A,C),(B,C),共3个． 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝＝. (2)从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),

19、(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个． 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的． 选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C,D),(C,E),(D,E),共3个． 因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P ＝. 21．(本小题满分12分) 为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查,已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂． (1)求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数； (2)若从抽得的7个工

20、厂中随机抽取2个进行调查结果的对比,用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率． 解析：(1)工厂总数为18＋27＋18＝63,样本容量与总体中的个体数比为＝,所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2. (2)设A1,A2为在A区中抽得的2个工厂,B1,B2,B3为在B区中抽得的3个工厂,C1,C2为在C区中抽得的2个工厂,在这7个工厂中随机抽取2个,全部可能的结果有：(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),(B1,B2),(B1,B

21、3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2),共有21种． 随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有：(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2, B3),(A2,C1),(A2,C2)共有11种,所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝. 22．(本小题满分12分) 某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,1

22、4)；第二组[14,15)……第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图： (1)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人数； (2)设m、n表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知m,n∈[13,14)∪[17,18]．求事件“|m－n|＞1”的概率． 解析：(1)由题中的直方图知,成绩在[14,16)内的人数为50(0.161)＋50(0.381)＝27(人), 所以该班成绩良好的人数为27人． (2)设事件M：“|m－n|＞1” 由频率分布直方图知,成绩在[13,14)的人数为500.061＝3人,设这3人分别为x

23、,y,z； 成绩在[17,18)的人数为500.081＝4人, 设这4人分别为A,B,C,D. 若m,n∈(13,14)时,则有xy,xz,yz共3种情况； 若m,n∈[17,18]时,则有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种情况； 若m,n分别在[13,14)和[17,18]内时, 此时有|m－n|＞1. A B C D x xA xB xC xD y yA yB yC yD z zA zB zC zD 共有12种情况． 所以基本事件总数为3＋6＋12＝21种, 则事件“|m－n|＞1”所包含的基本事件个数有12种． ∴P(M)＝＝.