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1、
高考数学精品复习资料
2019.5
1．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e B．e
C．2 D．1
答案 C
解析 ∵y′＝x′ex－1＋x(ex－1)′＝(1＋x)ex－1，∴曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.故选C.
2.下列四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－4)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(1)＝( )
A. B.
C．－ D．1
答案 C
解析 f′(x)＝x2＋2ax＋(a
2、2－4)，由a≠0，结合导函数y＝f′(x)的图象，知导函数图象为③，从而可知a2－4＝0，解得a＝－2或a＝2，再结合－>0知a<0，所以a＝－2，代入可得函数f(x)＝x3－2x2＋1，可得f(1)＝－，故选C.
3．已知t为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于( )
A．0 B．－1
C. D．2
答案 C
解析 依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，∴f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即t＝.
4.设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．
3、
答案 (1,1)
解析 y′＝ex，则y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k切＝1，又曲线y＝(x>0)上点P处的切线与y＝ex在点(0,1)处的切线垂直，所以y＝(x>0)在点P处的切线的斜率为－1，设P(a，b)，则曲线y＝(x>0)上点P处的切线的斜率为y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y＝上，所以b＝1，故P(1,1)．
5．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________．
答案 (e，e)
解析 y′＝ln x＋1，设P(x0，y0)，ln x0＋1＝2得x0＝e，则y0＝e，∴P点坐标为(e，e)．
4、
6．若对于曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)＝ax＋2cosx的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为________．
答案 [－1,2]
解析 易知函数f(x)＝－ex－x的导数为f′(x)＝－ex－1，设l1与曲线f(x)＝－ex－x的切点为(x1，f(x1))，则l1的斜率k1＝－ex1－1.易知函数g(x)＝ax＋2cosx的导数为g′(x)＝a－2sinx，设l2与曲线g(x)＝ax＋2cosx的切点为(x2，g(x2))，则l2的斜率k2＝a－2sinx2.由题设可知k1k2＝－1，从而有(－ex1－1)(a－2sinx
5、2)＝－1，∴a－2sinx2＝，故由题意知对任意x1，总存在x2使得上述等式成立，则有y1＝的值域是y2＝a－2sinx2值域的子集，则(0,1)⊆[a－2，a＋2]，则
∴－1≤a≤2.
7．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
解 (1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，
∵f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.
(2)
6、存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x＋6x0＋12)．
∵g′(x0)＝6x0＋6，
∴切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，
将(0,9)代入切线方程，解得x0＝1.
当x0＝－1时，切线方程为y＝9；
当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.
由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，
①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.
在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；
在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，
∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.
②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，
解得x＝0或x＝1.
在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；
在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；
∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.
综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.
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