浙江高考数学二轮复习教师用书：第1部分 重点强化专题 专题1 突破点1 三角函数问题 Word版含答案

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1、 高考数学精品复习资料 2019.5 专题一　三角函数与平面向量 建知识网络　明内在联系 [高考点拨]　三角函数与平面向量是浙江新高考的高频考点，常以“两小一大”的形式呈现，两小题主要考查三角函数的图象和性质与平面向量内容，一大题常考查解三角形内容，有时平面向量还与圆锥曲线、线性规划等知识相交汇．本专题按照“三角函数问题”“解三角形”“平面向量”三条主线分门别类进行备考． 突破点1　三角函数问题 (对应学生用书第7页) [核心知识提炼] 提炼1 三角函数的图象问题 　 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)

2、解析式的确定：利用函数图象的最高点和最低点确定A，利用周期确定ω，利用图象的某一已知点坐标确定φ. (2)三角函数图象的两种常见变换 提炼2 三角函数奇偶性与对称性 　 (1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得，对称中心的横坐标可由ωx＋φ＝kπ，(k∈Z)解得． (2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，对称中心的横坐标可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得． y＝Atan

3、(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；对称中心的横坐标可由ωx＋φ＝(k∈Z)解得，无对称轴. 提炼3 三角变换常用技巧 　 (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45等． (2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦. 提炼4 三角函数最值问题 　 (1)y＝asin x＋bcos x＋c型函数的最值：可将y转化为y＝sin(x＋φ)＋c其中tan φ＝的形式，这样通过

4、引入辅助角φ可将此类函数的最值问题转化为y＝sin(x＋φ)＋c的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解． (2)y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x型函数的最值：可利用降幂公式sin2x＝，sin xcos x＝，cos2x＝，将y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x转化整理为y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C，这样就可将其转化为(1)的类型来求最值． [高考真题回访] 回访1　三角函数的图象问题 1．(20xx浙江高考)函数y＝sin x2的图象是(　　) D　[∵y＝sin(－x)2＝sin x2， ∴函数为偶函数，可排除A

5、项和C项；当x＝时，sin x2＝sin ≠1，排除B项，故选D.] 2．(20xx浙江高考)为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象(　　) A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 C　[因为y＝sin 3x＋cos 3x＝sin ＝sin，又y＝cos 3x ＝sin＝sin， 所以应由y＝cos 3x的图象向右平移个单位得到．] 3．(20xx浙江高考)函数f(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分别是 (　　) 【导学号：68334026】

6、 A．π，1　　 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2 A　[f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以最小正周期为T＝＝π，振幅A＝1.] 回访2　三角函数的性质问题 4．(20xx浙江高考)设函数f(x)＝sin2x＋bsin x＋c，则f(x)的最小正周期(　　) A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 B　[当b＝0时，f(x)＝sin2x＋c＝＋c＝－cos 2x，其最小正周期为π. 当b≠0时，φ(x)＝sin2x＋c的最小正周期为π，g(x)＝bsin x的最小正周期为2

7、π，所以f(x)＝φ(x)＋g(x)的最小正周期为2π. 综上可知，f(x)＝sin2x＋bsin x＋c的最小正周期与b有关，但与c无关．] 5．(20xx浙江高考)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，最小值是________． 【导学号：68334027】 π　　[f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1 ＝＋sin 2x＋1＝＋sin. 故最小正周期T＝＝π.当sin＝－1时，f(x)取得最小值为－＝.] 6．(20xx浙江高考)已知函数f(x)＝sin2 x－cos2 x－2sin xcos x(x∈R)．

8、 (1)求f的值； (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间． [解]　(1)由sin＝，cos＝－， 得f＝2－2－2， 得f＝2. 6分 (2)由cos 2x＝cos2 x－sin2 x与sin 2x＝2sin xcos x得 f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin， 所以f(x)的最小正周期是π. 8分 由正弦函数的性质得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 12分 所以f(x)的单调递增区间是 (k∈Z). 14分 回访3　三角恒等变换 7．(20xx浙江高考)已知2cos2x＋si

9、n 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________. 　1　[∵2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝sin＋1＝Asin(ωx＋φ)＋b，∴A＝，b＝1.] 8．(20xx浙江高考)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝(　　) 【导学号：68334028】 A.　　　　 B. C．－　　　　 D．－ C　[把条件中的式子两边平方，得sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝，即3cos2α＋4sin αcos α＝， 所以＝，所以＝，即3tan2α－8tan α－3＝0，解

10、得tan α＝3或tan α＝－，所以tan 2α＝＝－.] (对应学生用书第9页) 热点题型1　三角函数的图象问题 题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两方面：一是考查三角函数解析式的求法；二是考查三角函数图象的平移变换，常以选择、填空题的形式考查，难度较低. 【例1】　(1)将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. (2)(20xx绍兴市方向性仿真考试)函数y＝sin x(0＜x＜π)的图象大致是 (　　) (

11、1)A　(2)B　[(1)设f(x)＝cos x＋sin x＝2＝2sin，向左平移m个单位长度得g(x)＝2sin.∵g(x)的图象关于y轴对称，∴g(x)为偶函数，∴＋m＝＋kπ(k∈Z)，∴m＝＋kπ(k∈Z)，又m＞0，∴m的最小值为. (2)法一：因为0＜x＜π，所以0＜sin x≤1，所以y＝sin x＝|cos x|≥0，排除A，C，D，故选B. 法二：当x＝时，y＝，排除C，D； 当x＝时，y＝，排除A，故选B.] [方法指津] 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的确定 (1)A由最值确定，A＝； (2)ω由周期确定； (3)φ由图象上的特殊点

12、确定． 提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先依据图象的升降分清零点的类型． 2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． [变式训练1]　(1)为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象(　　) 【导学号：68334029】 A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 (2)(20xx金华十校调研)函数f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)的部分图象如图11所示，

13、则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)的值为(　　) 图11 A．0　　　 B．2＋　　　 C．2　　　 D．2－ (1)B　(2)B　[(1)∵y＝cos 2x＝sin，∴y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin的图象．故选B. (2)由题图可得，A＝2，T＝8，＝8，ω＝， ∴f(x)＝2sinx. ∴f(1)＝，f(2)＝2，f(3)＝，f(4)＝0，f(5)＝－，f(6)＝－2，f(7)＝－，f(8)＝0， 而2 018＝8252＋2， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝2＋.] 热点题型2　三角函数

14、的性质问题 题型分析：三角函数的性质涉及周期性、单调性以及最值、对称性等，是高考的重要命题点之一，常与三角恒等变换交汇命题，难度中等. 【例2】　已知函数f(x)＝4tan xsincos－. (1)求f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论f(x)在区间上的单调性． [解]　(1)f(x)的定义域为. 1分 f(x)＝4tan xcos xcos－ ＝4sin xcos－ ＝4sin x－ ＝2sin xcos x＋2sin2x－ ＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 4分 所以f(x)的最小正周期T

15、＝＝π. 6分 (2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 8分 设A＝，B＝x－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝. 12分 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减. 14分 [方法指津] 研究函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的“两种”意识 1．转化意识：利用三角恒等变换把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式． 2．整体意识：类比于研究y＝sin x的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中

16、的“x”代入求解便可． [变式训练2]　(1)(名师押题)已知函数f(x)＝2sin，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g(x)的图象．关于函数g(x)，下列说法正确的是(　　) A．在上是增函数 B．其图象关于直线x＝－对称 C．函数g(x)是奇函数 D．当x∈时，函数g(x)的值域是[－2,1] (2)已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若是f(x)的一个单调递增区间，则φ的取值范围为(　　) 【导学号：68334030】 A. B. C. D.∪ (1)D　(2)C　[(1)因为f(x)＝2sin，把函数f(

17、x)的图象沿x轴向左平移个单位，得g(x)＝f＝2sin＝2sin＝2cos 2x. 对于A，由x∈可知2x∈，故g(x)在上是减函数，故A错；又g＝2cos＝0，故x＝－不是g(x)的对称轴，故B错；又g(－x)＝2cos 2x＝g(x)，故C错；又当x∈时，2x∈，故g(x)的值域为[－2,1]，D正确． (2)令2kπ＋＜2x＋φ＜2kπ＋，k∈Z， 所以kπ＋－≤x≤kπ＋－，k∈Z， 所以函数f(x)在上单调递增． 因为是f(x)的一个单调递增区间， 所以≤kπ＋－，且kπ＋－≤，k∈Z， 解得2kπ＋≤φ≤2kπ＋，k∈Z，又|φ|＜π，所以≤φ≤.故选

18、C.] 热点题型3　三角恒等变换 题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两个方面：一是直接利用和、差、倍、半角公式对三角函数式化简求值；二是以三角恒等变换为载体，考查y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质. 【例3】　(1)(20xx浙江五校联考)如图12，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α，若|BC|＝1，则cos2－sincos －的值为________． 图12 (2)已知函数f(x)＝sin2－cos2＋2sincos＋λ的图象经过点，则函数f(x)在区间上的最大值为________． (1)　(2)－

19、　[(1)由题意可知|OB|＝|BC|＝1，∴△OBC为正三角形． 由三角函数的定义可知，sin∠AOB＝sin＝， ∴cos2－sincos－＝－－＝cos α－sin α＝sin＝. (2)f(x)＝sin2－cos2＋2sincos ＋λ＝－cos＋sin＋λ＝2sin＋λ. 由f(x)的图象过点， 得λ＝－2sin＝－2sin＝－， 故f(x)＝2sin－. 因为0≤x≤，所以－≤－≤. 因为y＝sin x在上单调递增， 所以f(x)的最大值为f＝2sin－＝－.] [方法指津] 1．解决三角函数式的化简求值要坚持“三看”原则：一看“角”，通过看

20、角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分；二是“函数名称”，是需进行“切化弦”还是“弦化切”等，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，了解变式或化简的方向． 2．在研究形如f(x)＝asin ωx＋bcos ωx的函数的性质时，通常利用辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)把函数f(x)化为Asin(ωx＋φ)的形式，通过对函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的研究得到f(x)＝asin ωx＋bcos ωx的性质． [变式训练3]　(1)设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　) 【导学号：68334031】 A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋

21、β＝ (2)已知sin＋sin α＝－，－＜α＜0，则cos等于(　　) A．－ B．－ C. D. (1)B　(2)C　[(1)法一：由tan α＝得＝， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin. ∵α∈，β∈， ∴α－β∈，－α∈， 由sin(α－β)＝sin， 得α－β＝－α， ∴2α－β＝. 法二：tan α＝＝ ＝ ＝cot ＝tan ＝tan， ∴α＝kπ＋，k∈Z， ∴2α－β＝2kπ＋，k∈Z. 当k＝0时，满足2α－β＝， 故选B. (2)∵sin＋sin α＝－，－＜α＜0， ∴sin α＋cos α＝－， ∴sin α＋cos α＝－， ∴cos＝cos αcos －sin αsin ＝－cos α－sin α＝.]