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1、
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2019.5
第十四篇 第2节
一、填空题
1．若a>b>c，则与的大小关系为________．
解析：∵a>b>c，∴a－c>b－c>0，
∴<.
答案：<
2．若a>b>1，则a＋与b＋的大小关系是________．
解析：a＋－＝a－b＋＝.
由a>b>1得ab>1，a－b>0，
所以>0.
即a＋>b＋.
答案：a＋>b＋
3．若0<α<β<，sin
2、 α＋cos α＝a，sin β＋cos β＝b，则a与b的大小关系是________．
解析：a2＝1＋sin 2α，b2＝1＋sin 2β，
又0<2α<2β<，
∴sin 2α<sin 2β，
∴a2<b2，
又∵a，b均大于0，
∴a<b.
答案：a<b
4．已知函数f(x)＝x，a>0，b>0，a≠b，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C中最大的为________．
解析：∵a>0，b>0，a≠b，
∴>>，
又函数f(x)＝x在R上单调递减，
∴f<f()<f.
3、即A<B<C.
答案：C
5．若P＝＋＋(x>0，y>0，z>0)，则P与3的大小关系为________．
解析：∵1＋x>0,1＋y>0,1＋z>0，
∴＋＋<＋＋＝3.即P<3.
答案：P<3
6．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x>y，则a、b应满足的条件是________．
解析：x－y＝(a2b2＋5)－(2ab－a2－4a)＝(ab－1)2＋(a＋2)2>0，
∴ab－1≠0或a＋2≠0，
故a，b满足的条件为ab≠1或a≠－2.
答案：ab≠1或a≠－2
7．已知a&
4、gt;b>c，n∈N*，且＋≥恒成立，则n的最大值为________．
解析：∵a－c>0，
∴n≤＋＝＋＝2＋＋恒成立，
∵a－b>0，b－c>0，
∴＋≥2＝2.
∴n≤4.即n的最大值为4.
答案：4
8．设x>5，P＝－，Q＝－，则P与Q的大小关系为________．
解析：－＝－＝－＝＋－－<0.
∴<，
又∵P>0，Q>0，
∴P>Q.
答案：P>Q
9．已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最大值为________．
解析：(＋)2
＝a＋1＋b＋1＋2
＝a＋b＋2＋2
5、
≤3＋2×
＝6.
当且仅当a＝b＝时等号成立．
即(＋)2≤6，
故＋≤.
答案：
10．某品牌彩电厂家为了打开市场，促进销售，准备对其生产的某种型号的彩电降价销售，现有四种降价方案：
(1)先降价a%，再降价b%；
(2)先降价b%，再降价a%；
(3)先降价%，再降价%；
(4)一次性降价(a＋b)%.
其中a>0，b>0，a≠b，上述四个方案中，降价幅度最小的是________．
解析：设降价前彩电的价格为1，降价后彩电价格依次为x1、x2、x3、x4.
则x1＝(1－a%)(1－b%)
＝1－(a＋b)%＋a%·b%
6、x2＝(1－b%)(1－a%)＝x1，
x3＝
＝1－(a＋b)%＋[(a＋b)%]2，
x4＝1－(a＋b)%<1－(a＋b)%＋a%·b%＝x1＝x2，
x3－x1＝2－a%·b%>0，
∴x3>x1＝x2>x4.
答案：方案(3)
二、解答题
11．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a、b、c，若a、b、c三边边长的倒数成等差数列，求证∠B<90°.
证明：假设∠B<90°不成立，
即∠B≥90°，
从而∠B是△ABC的最大角，
∴b是△ABC的最大边，
即b>a，b>c.
∴>，>，
相加得＋>＋＝.
这与已知＋＝矛盾，
故∠B≥90°不成立，
从而∠B<90°.
12．若正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：
(1)a2＋b2＋c2≥；
(2)＋＋≥.
证明：(1)∵1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤3(a2＋b2＋c2)，
∴a2＋b2＋c2≥.
(2)∵(a＋1＋b＋1＋c＋1)
＝3＋＋＋＋＋＋≥9.
∴＋＋≥＝.
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