高三数学复习 第2篇 第10节 导数的概念与计算

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1、 高考数学精品复习资料 2019.5 第二篇　第10节 一、选择题 1．(20xx四川广元二诊)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，则容器中水面的高度h随时间t变化的函数图象可能是(　　) 解析：由三视图知容器为锥形漏斗，在向容器中匀速注水过程中，水升高得越来越慢，高度h随时间t的变化率越来越小，表现在切线上就是切线的斜率在减小，故选B. 答案：B 2．(20xx广东惠州模拟)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为(

2、　　) A．[－1，－] B．[－1,0] C．[0,1] D.[，1] 解析：设P(x0，y0)，P点处切线倾斜角为α， 则0≤tan α≤1， 由f(x)＝x2＋2x＋3， 得f′(x)＝2x＋2， 令0≤2x0＋2≤1， 得－1≤x0≤－. 故选A. 答案：A 3．(20xx东北三省三校联考)已知函数f(x)＝＋1，g(x)＝aln x，若在x＝处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为(　　) A. B. C．1 D．4 解析：在x＝处两函数图象的切线平行， 即两个函数的导数值相等． 由f′(x)＝，g′(x)＝， 所以＝，

3、 即1＝4a， 得a＝. 答案：A 4．函数f(x)＝sin2的导数是(　　) A．f′(x)＝2sin B．f′(x)＝4sin C．f′(x)＝sin D．f′(x)＝2sin 解析：由于f(x)＝sin2 ＝ ＝－cos， ∴f′(x)＝4sin ＝2sin， 故选D. 答案：D 5．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为(　　) A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0 解析：∵点(0，－1)不在f(x)＝xln x上， ∴设切点为(x0，y0)

4、． 又f′(x)＝1＋ln x， ∴ 解得x0＝1，y0＝0. ∴切点为(1,0)， ∴f′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l的方程为y＝x－1， 即x－y－1＝0. 故选B. 答案：B 6．(20xx河北保定一模)设函数f(x)＝|sin x|的图象与直线y＝kx(k>0)有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为α，则α等于(　　) A．－cos α B．tan α C．sin α D．π 解析：如图，若直线与函数有且仅有三个公共点， 则直线y＝kx与曲线y＝－sin x(x∈[π，2π])相切， 设切点为(α，－sin α)， 则－sin

5、α＝kα且k＝－cos α， 所以α＝tan α. 故选B. 答案：B 二、填空题 7．(20xx江西南昌模拟)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，且f′(x)＝2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则＝________. 解析：f′(x)＝cos x－sin x， 由f′(x)＝2f(x)得－cos x＝3sin x， 即tan x＝－. ＝ ＝ ＝ ＝. 答案： 8．(20xx广东江门调研)曲线y＝ln(2x)上任意一点P到直线y＝2x的距离的最小值是________． 解析：如图，所求最小值即曲线上斜率为2的切线与y＝2x两平行线间的距离，

6、也即切点到直线y＝2x的距离． 由y＝ln x， 则y′＝＝2， 得x＝，y＝ln(2)＝0， 即与直线y＝2x平行的曲线y＝ln(2x)的切线的切点坐标是(，0)，y＝ln(2x)上任意一点P到直线y＝2x的距离的最小值，即＝. 答案： 9．(20xx山师大附中期末)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f(x)在点M(1，f(1))处的切线方程为________________． 解析：f′(x)＝2f′(1)＋，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)＋1， 即f′(1)＝－1， 此时f(x)＝－2x＋ln x，f(1)＝－2，

7、故所求的切线方程为y＋2＝－(x－1)， 即x＋y＋1＝0. 答案：x＋y＋1＝0 10.定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，已知y＝f′(x)的图象如图所示，若两个正数a、b满足f(2a＋b)<1，则的取值范围是________． 解析：观察图象，可知f(x)在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数， 由f(2a＋b)<1＝f(4)，可得 画出以(a，b)为坐标的可行域(如图阴影部分所示)， 而可看成(a，b)与点P(－1，－1)连线的斜率，可求得选项C为所求． 答案：(，5) 三、解答题 11．设函数f(x)＝ax＋(a

8、，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 解：(1)f′(x)＝a－， 于是 解得或 因a，b∈Z， 故f(x)＝x＋. (2)在曲线上任取一点x0，x0＋. 由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为 y－＝1－(x－x0)． 令x＝1得y＝， 切线与直线x＝1交点为1，. 令y＝x 得y＝2x0－1， 切线与直线y＝x交点为(2x0－1,2x0－1)． 直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为 －1|2x0－1－1| ＝|2x0－2| ＝2. 所以，所围三角形的面积为定值2. 12．(20xx浙江永嘉县联合体第二学期联考)已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l的倾斜角α的取值范围． 解：(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1， ∴当x＝2时，y′＝－1，y＝， ∴斜率最小的切线过， 斜率k＝－1， ∴切线方程为x＋y－＝0. (2)由(1)得k≥－1， ∴tan α≥－1， ∴α∈∪.