高三数学复习 第7篇 第5节 直线、平面垂直的判定与性质

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1、 高考数学精品复习资料 2019.5 第七篇　第5节 一、选择题 1. (20xx云南玉溪三模)设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是(　　) A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件 D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件 解析：与同一条直线垂直的两个平面平行，反之，当两个平行平面中有一个与一条直线垂直时，另一个也与这条直线垂直，选项A

2、正确；根据平面与平面垂直的判定定理，选项B正确；当m⊂α，m∥n时，n∥α或n⊂α，反之，m⊂α，n∥α时，也不能推出m∥n，选项C不正确；根据线面垂直的性质选项D正确． 答案：C 2．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当l⊥α时，l⊥m且l⊥n. 但当l⊥m，l⊥n时，若m、n不是相交直线，则得不到l⊥α. 即l⊥α是l⊥m且l⊥n的充分不必要条件．故选A. 答案：A 3. (高考广东卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同

3、的平面．下列命题正确的是(　　) A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β 解析：选项A中，在两个平面互相垂直时，分别位于两个平面内的直线位置关系不确定；选项B中，分别位于两个平行平面内的直线，只是不能相交，它们可能平行、也可能异面；选项C中，分别位于两个平面内的直线互相垂直时，两个平面的位置关系是不确定的；选项D中，若m⊥α，m∥n，可得n⊥α，当n∥β时，一定有α⊥β. 答案：D 4. (20xx山东莱芜4月模拟)设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有

4、以下四个命题： (1)⇒β∥γ (2)⇒m⊥β (3)⇒α⊥β (4)⇒m∥α，其中正确的是(　　) A．(1)(2)　　 B．(1)(3) C．(2)(3) D．(2)(4) 解析：根据面面平行的性质可知，(1)正确，根据线面垂直的性质，可知(3)正确，所以选B. 答案：B 5．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45，∠BAD＝90.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是(　　) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平

5、面ADC⊥平面ABC 解析：∵在四边形ABCD中， AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45，∠BAD＝90， ∴BD⊥CD. 又平面ABD⊥平面BCD， 且平面ABD∩平面BCD＝BD， 故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB. 又AD⊥AB，AD∩CD＝D， 故AB⊥平面ADC. 又AB⊂平面ABC， ∴平面ABC⊥平面ADC.故选D. 答案：D 6．把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角BADC，则BD与平面ABC所成角的正切值为(　　) A． B． C．1 D． 解析：如图所示，在平面ADC中，过D作DE⊥AC，交AC于点E，连接BE，因为二面角BAD

6、C为直二面角，BD⊥AD，所以BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，又DE∩BD＝D，因此AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ABC，所以平面BDE⊥平面ABC，故∠DBE就是BD与平面ABC所成的角， 在Rt△DBE中，易求tan ∠DBE＝，故选B. 答案：B 二、填空题 7．如图所示，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________． 解析：由PA⊥平面ABC， 得PA⊥AB，PA⊥AC. 故△PAB、△PAC都是直角三角形． 由BC⊥AC，得BC⊥PC， 故△BPC是直角三角形． 又△ABC显然是直角三角形， 故直角三角形的个数为4. 答案

7、：4 8. (20xx广东惠州4月模拟)已知集合A、B、C，A＝{直线}，B＝{平面}，C＝A∪B. 若a∈A，b∈B，c∈C，给出下列四个命题： ①⇒a∥c，②⇒a∥c，③⇒a⊥c ④⇒a⊥c，其中所有正确命题的序号是________． 解析：由题意知：C可以是直线，也可以是平面，当C表示平面时，①②③都不对，故选④正确． 答案：④ 9. (20xx陕西西安联考)四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，一个对角面的面积是一个侧面面积的倍，则侧面与底面所成锐二面角等于________． 解析：如图所示，根据＝，得＝，即为侧面与底面所成锐二

8、面角的正弦值，故侧面与底面所成锐二面角为. 答案： 10. 在空间中，有如下命题： ①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β； ③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β； ④若平面α内的三点A, B, C到平面β的距离相等，则α∥β. 其中正确命题的个数为________． 解析：①可能重合不正确；根据两个平面平行的性质，②正确；根据两个平面垂直的性质定理，③不正确；A，B，C可能在平面β两侧，平面α与平面β相交，即④不正确． 答案：1 三、解答题 11.

9、(高考安徽卷)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60.已知PB＝PD＝2，PA＝. (1)证明：PC⊥BD， (2)若E为PA的中点，求三棱锥PBCE的体积． 解：(1)连接AC，交BD于点O，连接PO. 因为底面ABCD是菱形， 所以AC⊥BD，BO＝DO. 由PB＝PD知，PO⊥BD. 再由PO∩AC＝O知，BD⊥平面APC，因此BD⊥PC. (2)因为E是PA的中点， 所以VPBCE＝VCPEB＝VCPAB＝VBAPC. 由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD. 因为∠BAD＝60， 所以PO＝AO＝，AC＝2，

10、BO＝1. 又PA＝，所以PO2＋AO2＝PA2， 即PO⊥AC，故S△APC＝POAC＝3. 由(1)知，BO⊥面APC，因此VPBCE＝VBAPC＝BOS△APC＝. 12.如图所示，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120，PA＝，∠ACB＝90. (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)求二面角DPCA的平面角的正切值． (1)证明：∵PA⊥底面ABCD， BC⊂平面ABCD， ∴PA⊥BC. ∵∠ACB＝90， ∴BC⊥AC. 又PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC. (2)解：∵AB∥CD，∠BAD＝120， ∴∠ADC＝60， 又AD＝CD＝1， ∴△ADC为等边三角形，且AC＝1. 取AC的中点O，连接DO， 则DO⊥AC， ∵PA⊥底面ABCD，DO⊂平面ABCD， ∴PA⊥DO， 又PA∩AC＝A，∴DO⊥平面PAC. ∴DO⊥PC. 过O作OH⊥PC，垂足为H，连接DH， 则PC⊥平面DOH， ∴DH⊥PC， 又OH⊥PC， ∴∠DHO为二面角DPCA的平面角． 易求得OH＝，DO＝， ∴tan∠DHO＝＝2.