高三数学复习 第十章第1节 椭圆及其性质

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1、 高考数学精品复习资料 2019.5 第十章 圆锥曲线 第一节 椭圆及其性质 题型115 椭圆的定义与标准方程 1．（20xx广东文9）已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是 A． B． C． D． 1.（20xx大纲文9）已知椭圆C：的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交C于A，B两点，若的周长为，则C的方程为（ ）. A． B． C． D． 2.（20xx辽宁文15）已知椭圆：，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，，线

2、段的中点在上，则 . 3.（20xx辽宁文20）如图所示，圆的切线与轴正半轴，轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为. （1）求点的坐标； （2）焦点在轴上的椭圆过点，且与直线交于，两点，若的面积为，求的标准方程. 4.（20xx天津文18）设椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为.已知. （1）求椭圆的离心率； （2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切于点，.求椭圆的方程. 5. （20xx新课标Ⅱ文20） 设分别是椭圆C：的左、右焦点，是上一点且与轴垂直.直线与的另一个交点为

3、. （1）若直线的斜率为，求的离心率； （2）若直线在轴上的截距为，且，求. 1.（20xx广东文8）已知椭圆（）的左焦点为，则（ ）. A． B． C． D． 1.解析 由左焦点为，可得. 由，即，得. 又，所以.故选B. 评注 本题考查椭圆的简单几何性质． 1.（20xx山东文21（1））已知椭圆的长轴长为，焦距为，求椭圆的方程. 1. 解析 设椭圆的半焦距为，由题意知，所以， 所以椭圆的方程为. 2.（20xx四川文20（1））已知椭圆：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上，求椭圆的方程. 2.

4、 解析 由已知得， 又椭圆过点，故，解得 所以椭圆的方程是 3.（20xx天津文19（1））设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率，求椭圆的方程. 3.解析 （1）由，即，可得. 又，所以，因此，所以椭圆的方程为 1.（20xx全国1文12）设，是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 1.解析 因为在上存在点，满足，所以.当点位于短轴端点时，取得最大值. ① 当时，如图1所示，有，则，所以 ，解得； 图1

5、 图2 ② 当时，如图2示，有，则，所以 ，解得. 综上可得，的取值范围是.故选A. 评注：先研究“椭圆，是长轴两端点，位于短轴端点时，最大”这一结论. 图3 如图3所示，因为， 所以. 设，因为（中点弦的一个结论），所以（当且仅当，即时等号成立，此时位于短轴端点处）. 2.（20xx山东卷文21）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，椭圆截直线所得线段的长度为. （1）求椭圆的方程； （2）动直线交椭圆于，两点，交轴于点.点是点关于的对称点，圆的半径为. 设为的中点，，与圆分别相切于点，，求的最小值. 2.解析 （1

6、） 由椭圆的离心率为 ，得， 又当时，，得，所以，. 因此椭圆方程为. (2) 设，，联立方程 ， 得，由，得 . 且，因此，所以， 又，所以， 因为，所以. 令，故.所以. 令 ，所以. 当 时，，从而在上单调递增. 因此，等号当且仅当时成立，此时，所以 ，. 设，则 ，所以的最小值为. 从而的最小值为，此时直线的斜率为. 综上所述，当，时，取得最小值为. 题型116 椭圆离心率的值及取值范围 1. （20xx四川文9）从椭圆上一点向轴做垂线，垂足恰为左焦 点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且（是坐标原点），则该椭圆的离心率是（

7、）. A. B. C. D. 2.（20xx江苏12）在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为， 右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的 距离为，若，则椭圆的离心率为 . 2. (20xx福建文15）椭圆的左、右焦点分别为 若直线 与椭圆的一个交点满足则该椭圆的离心率等于 . 3.（20xx北京文19）已知椭圆C：. （1）求椭圆C的离心率； （2）设O为原点，若点A在直线上，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值. F1 F2 O x y B C A

8、4.（20xx江苏17）如图所示，在平面直角坐标系中，，，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接． （1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程； （2）若，求椭圆离心率的值． 1.（20xx江西文14）设椭圆的左、右焦点为，过作轴的垂线与相交于两点，与轴相交于点，若，则椭圆的离心率等于 . 2. （20xx安徽文21）设，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，. （1）若的周长为16，求； （2）若，求椭圆的离心率. 1.（20xx福建文11）已知椭圆：的右焦点为．短轴的一个端

9、 点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的 距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 1. 解析 设左焦点为，连接，，则四边形是平行四边形，故， 所以，所以.设，则，故. 所以，，，所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选A. 评注 1. 椭圆的定义和简单几何性质；2. 点到直线距离公式． 2.（20xx浙江文15）椭圆（）的右焦点关于直线的 对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 ． 2. 解析 解法一:设，则，所以，又， 所以 ，所以，所以， 不妨取，所以中点，代入， 得，化简得或，所以. 解法二:取左焦点，

10、则：，所以原点到的距离. 又到的距离，由题意知，，所以，所以. 3.（20xx重庆文21）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，， 过的直线交椭圆于，两点，且. （1）若，，求椭圆的标准方程. （2）若，且， 试确定椭圆离心率的取值范围. 3. 解析 （1）由椭圆的定义，，故. 设椭圆的半焦距为，由已知， 因此， 即，从而. 故所求椭圆的标准方程为. （2）由，，得. 由椭圆的定义，，， 进而.于是， 解得，故. 由勾股定理得， 从而， 两边除以，得. 若记，则上式变为. 由，并注意到关于的单调性，得， 即.进而，即. 1.（20xx全国乙文5）直线经

11、过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）. A. B. C. D. 1. B 解析 由等面积法可得，故，从而.故选B. 2.（20xx江苏10）如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是 . 2. 解析 由题意得，直线与椭圆方程联立，可得，. 由，可得，，， 则，由，可得，则. 1.（20xx全国3文11）已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）. A． B．

12、C． D． 1.解析 因为直线与圆相切，即，整理得.令，则有，，，.故选A. 评注 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，以及圆锥曲线的离心率公式和圆的方程，考查的知识点比较多，但总的难度不大，属于跨板块的综合类问题，基础中偏上的学生一般都能搞定. 2.（20xx浙江卷2）椭圆的离心率是（ ）. A. B. C. D. 2.解析 由椭圆方程可得，，所以，所以，， .故选B． 题型117 椭圆的焦点三角形 1.（20xx重庆文21）如图所示，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，， ，的面积为. （1） 求该椭圆的标准方程； （2） 是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由. 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org